湖北省襄阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则（）A. B. C. D.2.如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中的值为（）A. B. C. D.3.在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.4.襄阳古城墙现存多个墩台（俗称“马面”），是古代城墙向外凸出的防御设施．为进行修缮，工作人员对其中一个墩台进行了详细测量．该墩台的外形近似于一个正四棱台，它的上、下底面边长分别是6米和10米，侧棱长是米，则该棱台的体积是（）立方米A. B. C. D.5.如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，，，所有点在同一平面内，则点A与间的距离是（）米A. B. C. D.6.某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（）A.平均数为4，中位数为5 B.平均数为4，极差为5C.平均数为5，方差为1.6 D.中位数为5，标准差为1.27.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，点P在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.在复数范围内，对于实系数一元二次方程的两个根为虚数与，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则10.已知点，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.的最小值为4C.当时，在上的投影向量的坐标为D.若与夹角为锐角，则11.已知正四面体的棱长为，点为棱上一动点，且；点为面内（包含边界）的动点，下列说法正确的是（）A.若，平面，则最小值为B.若，，则的最小值为C.若点为的重心，则的最小值为D.已知平面上任意一点满足，则平面截四面体所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知话剧社抽取了人，则摄影社抽取的人数为__________13.如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，点O是的内心，动点M满足，其中，则M的轨迹所覆盖的图形的面积为__________四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，点是的中点，点是的中点，点是的中点，且，，．（1）求四面体的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16.学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数50100150125m（1）求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线．（3）这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，）17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，．（1）求的值；（2）若是锐角三角形，求面积的取值范围．18.如图，四棱锥中，，，，．（1）若，，证明：．（2）若，，求二面角的正弦值．（3）若，求四棱锥的体积取得最大时的值．19.三角形是最简单的平面图形，其内部特殊点的性质却非常丰富．若在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为，设P为三角形内部一点．（1）当为等边三角形时，，求的最小值，并说明此时P的位置．（2）试从简单的等角关系入手（i）若点P使得张角均分，即时，求的值．（ii）若点P使得等角循环，即时，，求的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题设，则.2.如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，且是等腰梯形，所以，在原直角梯形中，，则，所以.3.在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用中点将换成，结合共线得到，把用代换，转化为关于的二次函数，配方求出的最小值．解答过程：因为是线段的中点，所以，又，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．4.襄阳古城墙现存多个墩台（俗称“马面”），是古代城墙向外凸出的防御设施．为进行修缮，工作人员对其中一个墩台进行了详细测量．该墩台的外形近似于一个正四棱台，它的上、下底面边长分别是6米和10米，侧棱长是米，则该棱台的体积是（）立方米A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设该正四棱台的上、下底面积分别为，.上、下底面对角线的一半分别为，，由侧棱长为，得棱台的高.该棱台的体积是.5.如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，，，所有点在同一平面内，则点A与间的距离是（）米A. B. C. D.答案：C解析：思路：判断与的形状，即可求得的长度解答过程：中，，，所以为等边三角形.又，所以为线段的垂直平分线.所以，又，所以是以为直角的等腰直角三角形.所以米.6.某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（）A.平均数为4，中位数为5 B.平均数为4，极差为5C.平均数为5，方差为1.6 D.中位数为5，标准差为1.2答案：C解析：解答过程：对于A，5次射击的结果为1，1，5，5，8，其平均数为4，中位数为5，A不是；对于B，5次射击的结果为3，3，3，3，8，其平均数为4，极差为5，B不是；对于C，平均数为5时，含8时的方差不低于，C是；对于D，5次射击的结果为5，5，5，5，8，其中位数为5，平均数为，标准差为，D不是.7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用正弦边角关系及三角形内角的性质、三角恒等变换，将条件化为，再由和角正切公式得，应用基本不等式求最大值.解答过程：由及正弦边角关系，且内角和，所以，故，所以，故，由，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为.8.如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，点P在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取中点中点，连接，应用线面、面面平行的判定定理证明面平面，进而得到点在AE上运动，令外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为，结合，求得最小，即可求.解答过程：如图，取中点中点，连接，因为点分别是棱的中点，所以，由平面，平面，则平面，显然，则四边形为平行四边形，所以，由平面，平面，则平面，由且平面，所以平面平面，由平面平面，所以点在AE上运动，三棱锥即三棱锥，且平面，令外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为，则，要使外接球的表面积最小，只需最小，即最小，由正弦定理，，则时取得最小值，即，所以，面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.在复数范围内，对于实系数一元二次方程的两个根为虚数与，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则答案：ABC解析：解答过程：设的两个根为，且，A，，正确，B，，，则，正确，C，由B分析，，则，正确，D，若，则，故，错误.10.已知点，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.的最小值为4C.当时，在上的投影向量的坐标为D.若与夹角为锐角，则答案：BC解析：解答过程：A，由题设，则，可得，错误，B，由，当且仅当时取等号，即最小值为4，正确，C，由时，则在上的投影向量为，正确，D，若与夹角为锐角，则且与不同向，即，故且，错误.11.已知正四面体的棱长为，点为棱上一动点，且；点为面内（包含边界）的动点，下列说法正确的是（）A.若，平面，则最小值为B.若，，则的最小值为C.若点为的重心，则的最小值为D.已知平面上任意一点满足，则平面截四面体所得的截面面积为答案：BCD解析：思路：对A和B，根据条件，求出点的轨迹，即可求解；对于C，延长DP交线段BC于点，根据条件可得点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，再将空间问题转化成平面，即可求解；对于D，根据条件可得点所在的平面为线段的中垂面，进而可找出截面，再结合题设条件，即可求解.解答过程：对A选项，如图1，过点作交于点，过点作交于点，连接，因为，平面，平面，所以平面BCD，同理可证平面BCD，又因为平面，所以平面平面，又平面，则平面，点的轨迹为线段，因为，所以，则，同理可得，又因为，则是边长为的等边三角形，当点为的中点时，，此时的长取最小值，此时，所以A错误；对于B，如图2所示，连接，因为都是边长为的等边三角形，且为的中点，所以，，又因为平面，，所以平面，当时，平面，则，故点的轨迹为线段，由勾股定理可得，同理可得，故当为的中点时，，此时的长取最小值，，所以B正确，对于C，如图3所示，延长DP交线段BC于点，则点为线段BC的中点，因为均为等边三角形，所以，，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，因为四面体是正四面体，点为的重心，则平面，又平面，所以，易知，，设点关于直线的对称点分别为，由对称性可知，所以，在中，，，由余弦定理可得，所以，由余弦定理可得，所以，由对称性知，所以，故C正确，对于D，因为，即，则．取的中点为，则，所以，故点所在的平面为线段的中垂面，如图4，取棱的中点，连接，则四边形即为平面截正四面体所得的截面图形，因为四面体是正四面体，易知截面图形为边长为1的正方形，故所求面积为1，所以D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知话剧社抽取了人，则摄影社抽取的人数为__________答案：解析：解答过程：汉服社、话剧社、书法社、摄影社的人数之比依次为，所以，得．则摄影社抽取的人数为．13.如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________答案：##解析：解答过程：连接，两者交于点，连接，在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则，故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角.不妨设，易得，，，在中，由余弦定理，，故异面直线与所成角的余弦值为．14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，点O是的内心，动点M满足，其中，则M的轨迹所覆盖的图形的面积为__________答案：解析：思路：由三角形内角的性质、正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得并求出其正弦值，再由和二倍角正余弦公式求，进而求得，应用正弦定理求其它两条边，设内切圆半径为，应用三角形面积公式及求，从而有，最后由向量的线性关系知点的轨迹所覆盖的图形是以与为邻边的平行四边形，即可求.解答过程：由题设及正弦边角关系，得，所以，得，由，则，且，则，，所以，又，所以，且，由，，由正弦定理，解得，则，设内切圆半径为，且，则，所以，结合，其中，点的轨迹所覆盖的图形是以与为邻边的平行四边形，其面积是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，点是的中点，点是的中点，点是的中点，且，，．（1）求四面体的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先证和，利用线面垂直的判定定理证得平面，由，可推得平面，结合中点条件和三棱锥体积公式即可求得；（2）方法一：设点到平面的距离为，利用（1）的结论求得，根据线面所成角定义即可求解；方法二：先证平面，可得为与平面所成角，借助于直角三角形中三角函数的定义即可求解.（1）在中，，，，满足，故，在中，，，满足，故，又平面，所以平面．在中，是AD的中点，Q是AC的中点，故，且所以平面，即到平面的距离为．因为分别是的中点，所以，故四面体A-MPQ的体积；（2）方法一：因为点是的中点，且，所以，由（1）可知平面，又平面，所以，所以，设点到平面的距离为，则四面体的体积，，设与平面所成角为，则，故AQ与平面MPQ所成角的正弦值为.方法二：由（1）可知平面，则因为是等边三角形，是的中点，所以．，且平面，所以平面．故为与平面所成角，在中，，，故AQ与平面MPQ所成角的正弦值为.16.学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数50100150125m（1）求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线．（3）这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，）答案：（1），，平均成绩为（2）优秀分数线约为（3）平均数与标准差分别为和解析：思路：（1）利用总人数减去前四组频数求出，用组频率除以组距得，取每组区间中点值乘以对应频率相加算出平均分；（2）前优秀对应第百分位数，累加低分段频率至后，在内列方程补齐频率，解出分数线；（3）先通过加权平均求人新均值，再由方差公式反推原人平方和，加上新增分数平方，代入方差公式求得方差后开方得到标准差．（1），设该校学生这次测验的平均成绩为；（2）学校规定成绩为前的学生为“优秀”，即求第百分位数，设优秀分数线为，，解得，所以优秀分数线约为；（3）方法一：这10个成绩的平均数为，因为原8个成绩的方差，所以，所以10个成绩的方差，即这10个成绩的平均数与标准差分别为和．方法二：原8名学生的成绩的平均数为，方差为．再新增加两名学生的成绩的平均数为，方差为，此时这10个成绩的平均数为，这10个成绩的方差为，即这10个成绩的平均数与标准差分别为和．17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，．（1）求的值；（2）若是锐角三角形，求面积的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平面向量垂直的坐标表示得出，利用三角恒等变换以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，根据为锐角三角形可得出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可得出的取值范围，即可得出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得该三角形面积的取值范围.（1）因为，，且，．所以，即，即，即，所以，由正弦定理可得，因为、、，所以，，，所以，即，则，故.（2）由正弦定理可得，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，则，故，故，故的面积的取值范围是.18.如图，四棱锥中，，，，．（1）若，，证明：．（2）若，，求二面角的正弦值．（3）若，求四棱锥的体积取得最大时的值．答案：（1）平面，平面，且平面平面在中，由余弦定理得，可求得．，底面，且底面，，且平面平面，平面，平面（2）（3）解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理证明垂直于所在平面，即可证线线垂直；（2）结合图形确定即为二面角的平面角，再结合三角形性质求解正弦值；（3）设，由余弦定理可得，根