湖北省孝感市高中2026届高三上学期1月测试（1.4）数学试卷-附解析

数学满分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数为纯虚数，则实数（）A. B.1 C.3 D.或13.已知数列满足，，则（）A. B. C.1 D.34.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则（）A. B. C. D.5.在底面边长为2的正三棱柱中，，分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C. D.6.若，为锐角，则（）A. B. C. D.7.已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（）A.1 B. C. D.28.已知，，且，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（

）A.若事件满足，且，则相互独立B.数据的第75百分位数为11C.若，，则相应于样本点的残差为3D.回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好10.若，则下列结论正确的是（

）A.B.C.D.被16除的余数是1511.数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（）A.曲线由两条抛物线的一部分组成B.线段的长度与点到直线的距离相等C.若线段的长度为，则直线的斜率为D.若，则直线的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________.13.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为______．14.已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为__________四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，，，．（1）若，求；（2）若，，求的值．16.2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为.看现场直播未看现场直播男同学x女同学150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及.参考公式：.参考数据：0.10.010.001k2.7066.63510.82817.在三棱锥中，，，与平面所成的角为．（1）若，如图，过点作平面，分别交，于点，．求证：平面；（2）若，，求二面角的取值范围．18.已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点．（1）当时，在轴上方，求、的坐标；（2）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值．19.现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；（2）设结束后，细胞数量为的概率为.（i）求；（ii）证明：.

数学满分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解分式不等式求集合，再由集合的交补运算求集合.解答过程：由，则，即，故，所以，则或，所以.故选：C2.已知复数为纯虚数，则实数（）A. B.1 C.3 D.或1答案：B解析：思路：利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可.解答过程：因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：B.3.已知数列满足，，则（）A. B. C.1 D.3答案：A解析：思路：整理可得，分析可知数列的一个周期为3，结合周期性运算求解.解答过程：因为，即，且，则，，，可知数列的一个周期为3，且，所以.故选：A.4.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用条件概率公式有，结合排列组合数分别求出、即可得结果.解答过程：由，而，，所以.故选：A5.在底面边长为2的正三棱柱中，，分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用空间向量夹角公式，由求出三棱柱的侧棱长，再利用正三棱柱的对称性找到该三棱柱外接球的球心，求出该三棱柱外接球的半径.解答过程：设侧棱长为，则，，由，解得（舍负），正三棱柱的底面三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，所以外接球的表面积.故选：D.6.若，为锐角，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据三角恒等变换化简条件求得，利用同角关系求得，最后利用两角和的正弦公式化简计算即可.解答过程：由得，所以，即，即，所以，所以，又为锐角，所以，所以.故选：B7.已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解.解答过程：设，由，，得点为的中点，则.又，，则，，因此，即，点在以为圆心，为半径的圆上，设直线OM（O为原点）斜率为，由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.故选：B8.已知，，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，求导分析单调性可得，选项A错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B正确；由条件得，根据可得，选项C错误；令可得选项D错误.解答过程：对于A选项：令，，，令，，令，则，当时，，单调递减，单调递减；当时，，单调递增，单调递增，所以有最小值，所以在区间上单调递增，故，所以，即，故A选项错误；对于B选项：由A可知，要证，即证，即证，即证，即证.令，则，令，，令，则，当时，，单调递减，单调递减；当时，，单调递增，单调递增，所以有最小值，由得，所以在区间上单调递增，故，所以成立，故B选项正确；对于C选项：由得，因为，所以，所以，故C选项错误；对于D选项：令，则，故D选项错误.故选：B.方法提示：关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（

）A.若事件满足，且，则相互独立B.数据的第75百分位数为11C.若，，则相应于样本点的残差为3D.回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好答案：AD解析：思路：根据条件概率公式及相互独立事件的定义判断A，根据百分位数的定义判断B，根据残差的定义判断C，根据决定系数的定义判断D.解答过程：对于A：已知，由于，所以，即.所以事件与事件相互独立，故A正确；对于B：将数据由小到大排列：，共个数据，由，因此数据的第百分位数为，故B错误；对于C：相应于样本点的残差为，故C错误；对于D：决定系数越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D正确.故选：AD10.若，则下列结论正确的是（

）A.B.C.D.被16除的余数是15答案：BC解析：思路：赋值，化简计算，可判断A的正误；根据展开式的通项公式，分析r的奇偶，可得，赋值，化简计算，可判断B的正误；对求导，赋值，结合可判断C的正误；根据的表达式，结合二项式的展开式，分析整理，可判断D的正误.解答过程：选项A：已知，令，可得，即，故错误.选项B：展开式的通项为，当为偶数时，；当为奇数时，，所以，令，则，则，故B正确.选项C：因为，故，又，所以，故C正确；选项D：，根据二项式定理展开可得：，所以则被16除的余数是1，故D错误.故选：BC.11.数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（）A.曲线由两条抛物线的一部分组成B.线段的长度与点到直线的距离相等C.若线段的长度为，则直线的斜率为D.若，则直线的斜率为答案：ABD解析：思路：对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果.解答过程：对于A选项，设曲线上任意一点，由定义可知，满足，移项，平方可得：，即，为两条抛物线，故A正确；对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，，，解得，则，故C错误.对于D选项，易知为抛物线和的焦点，前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此，由于，则，因此，所以，故D正确，故选：ABD方法提示：关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________.答案：解析：思路：根据分布列的性质即可求出.解答过程：由题意知，，解得或，若，则，符合题意；若，则，不符合题意，故.故答案为：13.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为______．答案：解析：思路：利用向量减法、数乘运算进行转化，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值.解答过程：.故答案为：14.已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为__________答案：##解析：思路：由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率.解答过程：设O为坐标原点，因为，可得，且两渐近线关于轴对称，则，又因为直线斜率为，则，令，则，，在中，由正弦定理得，可得，解得，可得，所以的离心率.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，，，．（1）若，求；（2）若，，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..（1）∵，∴，∴，即，∴．又，∴，∴．（2）在中，①，在中，②，①÷②得又，，∴，所以16.2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为.看现场直播未看现场直播男同学x女同学150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及.参考公式：.参考数据：0.10.010.001k2.7066.63510.828答案：（1）；（2）有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关；（3），期望为.012解析：思路：（1）应用频率估计概率，列方程求参数；（2）由（1）写出列联表，求出卡方值，结合独立检验基本思想得结论即可；（3）由题设9人中有4名女同学、5名男同学，从9人任取2人，抽到女同学的人数，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列并求期望.（1）由题设，可得；（2）由（1）得列联表如下：

看现场直播未看现场直播

男同学200500女同学150250400

450450900，所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关；（3）由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学，从9人任取2人，抽到女同学的人数，则，，，所以的分布列如下，012.17.在三棱锥中，，，与平面所成的角为．（1）若，如图，过点作平面，分别交，于点，．求证：平面；（2）若，，求二面角的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）根据题意，分别证得⊥和⊥，由，证得⊥平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，设，求得平面和平面的法向量分别为和，由向量的夹角公式，求得，结合三角函数的性质，即可求解.（1）证明：由⊥平面，平面，可得⊥，与平面所成的角为，且，所以⊥平面BCD，因为平面，可得⊥，又因为，，且平面，所以⊥平面，因为平面，则，又因为，且平面，所以平面PCD.（2）解：因为，可得与平面BCD所成的角为，以为坐标原点，以所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，可得，因为与平面BCD所成的角，，可得点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，设，，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又由平面的法向量为，设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，即，则，令，则，又因为在上单调递减，可得，所以二面角的取值范围为.18.已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点．（1）当时，在轴上方，求、的坐标；（2）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值．答案：（1），（2）解析：思路：（1）设，则，由，可得，联立椭圆方程可得，进而求得直线AB的方程为，再次联立椭圆方程求解点坐标即可；（2）当直线垂直于轴时，分析可得，当直线不垂直于轴时，设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，可得点坐标，进而可得直线的方程，根据点到直线的距离，可得的表达式，将点坐标代入，化简整理求解范围即可.（1）由题意得，则，所以，设，则，因为，所以，则，即，又，联立可得，，所以，即，所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为，联立，得，解得或，因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标为，所以.（2）当直线垂直于轴时，，点到直线的距离；当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，，联立，得，，所以，