湖北省孝感市孝感高级中学2025-2026学年高一上学期阶段性诊断考试数学试卷-附解析

数学考试时间：2025年9月15日14：20-16：20试卷满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知全集，若集合，则（）A. B. C. D.2.已知命题p：，，则（）A.命题p的否定为，，且p是真命题B.命题p的否定为，，且p是真命题C.命题p的否定为，，且p是假命题D.命题p的否定为，，p是假命题3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.5.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知集合，则集合的真子集的个数为（）A. B. C. D.7.设集合，，函数，若，且，则的取值范围是A. B. C. D.8.设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设全集为U，集合A，B满足，则（）A. B.C. D.10.下列说法中正确的为（）A.已知，则“”是“”的必要不充分条件B.若，则的最小值为2C.若正实数满足，则的最小值为D.若，且，则的最大值为711.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（）A.B.的解集为C.若，则D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设集合，，已知且，则的取值集合为________.13.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________．14.已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戒演算步骤.15.已知集合．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围；（3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.设函数（）（1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式：.17.已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．（1）请根据基本不等式，证明：；（2）请利用（1）的结论，证明：；（3）如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?18.定义在上的函数满足，且.（1）求；（2）证明：；（3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.19.已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．（1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由；（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？（3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．

数学考试时间：2025年9月15日14：20-16：20试卷满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知全集，若集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由补集的概念即可求解.解答过程：由题意，若集合，则.故选：C.2.已知命题p：，，则（）A.命题p的否定为，，且p是真命题B.命题p的否定为，，且p是真命题C.命题p的否定为，，且p是假命题D.命题p的否定为，，p是假命题答案：C解析：思路：根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论.解答过程：，则.由，得，即，解得，所以命题为假命题.故选：C3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可.解答过程：依题意有，故，，于是即，充分性获证，取，则，但，故无必要性，故选：A.4.若函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可．解答过程：由题：的定义域为，即，所以的定义域为，又中，综上：的定义域为，故选：D．5.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案.解答过程：方法一：设，则，所以解得即，因为则因此．方法二：设，则，所以，又因为，所以，因此．故选：D6.已知集合，则集合的真子集的个数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数解答过程：解：集合，所以集合中的元素个数为9，故其真子集的个数为个，故选:7.设集合，，函数，若，且，则的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据，根据函数解析式，即可求出的取值范围.解答过程：根据函数解析式，可得当时，，当时，因为，故可得，解得，又因为，故令，解得.故.故选：B.方法提示：本题考查由分段函数的函数值范围求解自变量范围的问题，属基础题.8.设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先设函数与x轴的两个交点的横坐标为：，，，根据题意有，且，结合求根公式，列式可求的值.解答过程：设函数与x轴的两个交点的横坐标为：，，，且由题意可得，所以函数的定义域为，且.由题意可知，，，所以函数的值域为，即，因为所有的点（s，）构成一个正方形区，所以，所以，所以，整理可得，，因为，所以.故选：B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设全集为U，集合A，B满足，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由集合的运算即可得解.解答过程：全集为U，集合A，B满足，当且仅当，所以，故A正确；，即不一定成立，故B错误；对于C，若是的真子集，则不成立，对于D，正确.故选：AD.10.下列说法中正确的为（）A.已知，则“”是“”的必要不充分条件B.若，则的最小值为2C.若正实数满足，则的最小值为D.若，且，则的最大值为7答案：ACD解析：思路：对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断.解答过程：对于A选项，中，，中，所以可以推出，但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误；对于C选项，因为，所以则，当且仅当时，即时，取“=”，故C正确；对于D选项，设，，则，且，则，其中，当且仅当时，等号成立，故，故D正确.故选：ACD.11.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（）A.B.的解集为C.若，则D.答案：BD解析：思路：对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可.解答过程：对于A：取，故A错误；对于B：因为，可得，又因为，即，可得，即，故B正确；对于C：若，则，又因为，则，当时，；当时，；综上所述：，故C错误；对于D：设，则，所以，当时，，可得，故当时，成立；当时，则，可得，故当时，成立；故D正确；故选：BD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设集合，，已知且，则的取值集合为________.答案：解析：思路：根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.解答过程：因为，即，所以或，若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或，又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为.故答案为：13.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________．答案：解析：思路：根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围.解答过程：由题意，函数，，根据二次函数的性质，当时，，记，对任意，总存在，使成立，当，在上是增函数，，记．所以，则，解得；当，在上是减函数，，记，所以，则，解得，综上，实数的取值范围是．方法提示：关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键.14.已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________.答案：解析：思路：先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值.解答过程：由题意可得，，，即有，由，可得，当且仅当，即时，取得最小值；同理可得在时，取得最小值；在时，取得最小值.则，即.可得M的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戒演算步骤.15.已知集合．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围；（3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．答案：（1）（2）；（3）．解析：思路：利用交集运算即可；利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.（1）当时，，所以；（2）因为，所以由，得，当时，，解得，满足题意；当时，则，解得，综上，，故实数的取值范围为；（3）由是的充分不必要条件，可得

，又，则，且式等号不同时成立，解得，故实数的取值范围是．16.设函数（）（1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式：.答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可；（2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.（1）恒成立等价于，恒成立.当时，不等式可化为，满足题意.当时，有，即，解得，综上，a的取值范围是.（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式化为，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为或；综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．（1）请根据基本不等式，证明：；（2）请利用（1）的结论，证明：；（3）如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）米解析：思路：（1）用基本不等式，整理化简可得答案；（2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证；（3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值.（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立,所以当且仅当，时等号成立.所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.（2）解：由于，当且仅当时等号成立，令,得，即，故.所以，当且仅当时等号成立.（3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为.所以.由（2）中已证的不等式，可知，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立.所以，因此，综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米.18.定义在上的函数满足，且.（1）求；（2）证明：；（3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）2（2）法一：由（1）知当时，；又由题意，当时，；而当时，，，令，可得，所以.综上所述，，.法二：，若存在使，则有，这与题设矛盾，所以，.（3）解析：思路：（1）由，令求解；（2）法一：由（1）知当时，，再根据时，判断时即可；法二：由，再排除不存在使即可；（3）令，方法，再结合（2）的结论，令，将问题转化为对任意，恒成立求解.（1）解：由，令，得，因为不恒为0，所以.（2）略（3）在条件式中令，可得，又由（2）知，，所以.令，则对任意，，即恒成立.记，，取时，有最大值1，所以的取值范围为.方法提示：思路点睛：本题第三问基本思路是先得到，再令，将问题转化为对任意，恒成立，令，求得其最大值而得解.19.已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．（1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由；（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？（3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．答案：（1）由于，不符合定义，故不具有性质；集合具有性质，对应集合，