湖南省天一联盟2025-2026学年高一下学期期末数学试卷-附解析

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（）A. B. C. D.3.某社区共有、、三个小区，为了解社区居民对“健康生活方式”的认知情况，工作人员从、、三个小区中按比例用分层随机抽样的方法抽取名居民进行问卷调查．已知小区有人，小区有人，小区有人，则应从小区抽取的人数为（）A. B. C. D.4.已知向量与的夹角为，，，且，则实数（）A. B. C. D.5.已知事件A，B相互独立，若，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.42 D.0.586.如图，圆台的上底面半径，下底面半径，一球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则该球的表面积为（）A.36π B.64π C.100π D.144π7.已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数b的值不可能是（）A. B.5 C. D.38.设单位向量的夹角为锐角，若对于任意满足的实数对，都有，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知样本数据的平均数为7，方差为2，则（）A.的平均数为3 B.的方差为1C.的平均数为 D.的方差为210.如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别为，AB的中点，则（）A.四点共面 B.点E，F到平面的距离相等C.三棱锥的表面积为12 D.三棱锥的体积为11.已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（）A. B.C.是增函数 D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则_________．13.如图，是利用斜二测画法画出的水平放置的（为直角）的直观图，点在轴上，，若的面积为，则________．14.如图，在长方体中，，E是矩形内（包括边界）的动点，F是矩形ABCD内（包括边界）的动点，若，则四面体的体积的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司为了解年龄（单位：岁）在内的员工对AI技术的应用程度，随机选取了该公司100名年龄在内的员工进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第组的分组区间分别为，，，，）．（1）估计这100名员工年龄的分位数；（2）若从第3，4组中按人数比例用分层随机抽样的方法选取5名员工进行座谈，再从中随机选取2人分享经验，求分享经验的员工中至少有1人的年龄在第4组的概率．16.已知幂函数在区间上单调递增．（1）求的解析式；（2）若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围．17.如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点．（1）用向量表示；（2）求的最大值；（3）若，求的最小值．18.在锐角中，角所对的边分别为，且．（1）证明：；（2）求的取值范围；（3）若的平分线交于点，，，求．19.如图，在四面体中，，P为OA的中点，Q为BC的中点．（1）证明：．（2）设二面角的大小为，四面体的体积为V．（i）若，求V的值；（ii）当V最大时，求异面直线PQ与OB所成角的余弦值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为集合，且集合，所以.2.若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：令可得，当时，由题意可得，解得.3.某社区共有、、三个小区，为了解社区居民对“健康生活方式”的认知情况，工作人员从、、三个小区中按比例用分层随机抽样的方法抽取名居民进行问卷调查．已知小区有人，小区有人，小区有人，则应从小区抽取的人数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由分层抽样可知，应从小区抽取的人数为人.4.已知向量与的夹角为，，，且，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用平面向量数量积的定义可求出的值，根据题意得出，结合平面向量数量积运算性质可求得的值.解答过程：因为向量与的夹角为，，，由平面向量数量积的定义可得，因为，则，解得.5.已知事件A，B相互独立，若，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.42 D.0.58答案：D解析：解答过程：因为事件A，B相互独立，则，即，可得，所以.6.如图，圆台的上底面半径，下底面半径，一球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则该球的表面积为（）A.36π B.64π C.100π D.144π答案：B解析：思路：作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆半径，即可得球的表面积.解答过程：作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面圆相切，如图所示：则，，可知圆台的母线长，可得圆台的高，则该球的半径为，所以该球的表面积为.7.已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数b的值不可能是（）A. B.5 C. D.3答案：B解析：思路：通过最小正周期求解出后判断函数值域，并通过题目条件求解的范围.解答过程：因为最小正周期为，所以，解得.，，.所以.要使存在，即可，解得.8.设单位向量的夹角为锐角，若对于任意满足的实数对，都有，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过数量积的运算和均值不等式求解向量夹角余弦值范围并确定数量积最小值.解答过程：设夹角为，对于，有，因为为单位向量，所以.代入，得，又，所以.，又，所以.令，解得，即最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知样本数据的平均数为7，方差为2，则（）A.的平均数为3 B.的方差为1C.的平均数为 D.的方差为2答案：ACD解析：解答过程：设的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为，即，解得，故A正确，B错误；的平均数为，方差为，故CD正确.10.如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别为，AB的中点，则（）A.四点共面 B.点E，F到平面的距离相等C.三棱锥的表面积为12 D.三棱锥的体积为答案：ABD解析：思路：可证，平面，即可判断AB；求相应长度，进而可得三棱锥的表面积，即可判断C；利用转换顶点法可得，结合锥体体积公式判断D.解答过程：对于选项AB：连接，因为E，F分别为，AB的中点，则，又因为，且，可知为平行四边形，则，可得，所以四点共面，故A正确；且平面，平面，可得平面，所以点E，F到平面的距离相等，故B正确；对于选项C：由题意可得：，，在三角形中，，可得，所以三棱锥的表面积，故C错误；对于选项D：因为，因为三棱锥的高，所以三棱锥的体积，故D正确.11.已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（）A. B.C.是增函数 D.不等式的解集为答案：BD解析：思路：利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可.解答过程：因为，，对于选项A：令，得，解得，故A错误对于选项B：令，得，即，可知为奇函数，所以，故B正确；对于选项C：任取，则，可得，则，即，可知在定义域上单调递减，故C错误；对于选项D：因为，令，得，即，可得，因为，因为在定义域上单调递减，则，即，即，所以不等式的解集为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则_________．答案：解析：解答过程：因为，则，可得，所以.13.如图，是利用斜二测画法画出的水平放置的（为直角）的直观图，点在轴上，，若的面积为，则________．答案：解析：解答过程：设的高为，则，解得，由题意可知，所以，由斜二测画法可知，，，所以.14.如图，在长方体中，，E是矩形内（包括边界）的动点，F是矩形ABCD内（包括边界）的动点，若，则四面体的体积的最大值为_________．答案：解析：思路：取的中点，求出，得到点到平面的距离最大值，再求出的面积的最大值，进而可得四面体体积的最大值.解答过程：由题可知，取的中点，连接，则，在长方体中，平面，可得，因为，则，所以，可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的半圆，则点到平面的距离最大值为，又因为点是矩形（包括边界）上的动点，当且仅当点与点或点重合时，的面积取到最大值，最大值为，所以四面体体积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司为了解年龄（单位：岁）在内的员工对AI技术的应用程度，随机选取了该公司100名年龄在内的员工进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第组的分组区间分别为，，，，）．（1）估计这100名员工年龄的分位数；（2）若从第3，4组中按人数比例用分层随机抽样的方法选取5名员工进行座谈，再从中随机选取2人分享经验，求分享经验的员工中至少有1人的年龄在第4组的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）分析可知分位数在内，设为，结合百分位数的定义列式求解即可；（2）根据分层抽样可知第3组应抽取人，第4组应抽取人，利用列举法结合古典概型运算求解.（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为：，，，，，因为，，可知分位数在内，设为，则，解得，所以估计这100名员工年龄的分位数为.（2）因为第3，4组的频率比为，且按人数比例用分层随机抽样的方法选取5名员工，则第3组应抽取人，设为；第4组应抽取人，设为；样本空间为，设分享经验的员工中至少有1人的年龄在第4组为事件A，则，可得，，所以分享经验的员工中至少有1人的年龄在第4组的概率.16.已知幂函数在区间上单调递增．（1）求的解析式；（2）若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：(1)通过幂函数单调性的性质求解.(2)通过不等式化简构造新函数利用对称性确定的范围.（1）因为在单调递增，所以，解得，因为，所以，.（2）求解，即有个整数解.因为，恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外个整数解为，，，所以.17.如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点．（1）用向量表示；（2）求的最大值；（3）若，求的最小值．答案：（1）（2）20（3）解析：思路：(1)通过向量相加的定义求解.(2)通过基底法拆解求解.(3)通过数量积和均值不等式求解范围.（1）因为为中点，所以.（2），.因为，所以，当时，所以.（3），因为，所以.令，，.求，即求.因为，所以,，.所以，解得.，所以，解得.所以.18.在锐角中，角所对的边分别为，且．（1）证明：；（2）求的取值范围；（3）若的平分线交于点，，，求．答案：（1）由，得，所以，即，所以，因为，所以，所以，在锐角中，，，所以，所以，即；（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，从而得到；（2）在锐角中，，，令，则，根据在上单调递增，可求得的取值范围；（3）因为，所以由，得，代入数值可求得．（1）略（2）在锐角中，，，，可得，所以，，令，则，，因为，所以在上单调递增，又因为，，所以，即；（3）因为，为锐角，所以，所以，因为，所以，即，解得．19.如图，在四面体中，，P为OA的中点，Q为BC的中点．（1）证明：．（2）设二面角的大小为，四面体的体积为V．（i）若，求V的值；（ii）当V最大时，求异面直线PQ与OB所成角的余弦值．答案：（1）由，得，取的中点，连接，则，而平面，则平面，又平面，所以.（2）（i）4；（ii）.解析：思路：（1）取的中点，