湖南省长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷-附解析

湖南长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．3．若向量与垂直，则（

）A． B． C． D．4．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（

）A．11 B．13 C．22 D．335．设复数，则复数的虚部为A． B． C． D．26．已知，则的最小值是（

）A． B．1 C．4 D．77．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（

）A．若，则方差不变 B．若极差不变，则C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则8．在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题9．关于平面向量，下列说法正确的（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则10．先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（

）A．样本空间中一共含有4个样本点B．事件“两次正面向上”发生的概率是C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件11．如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，．则（

）A．B．的面积为C．若在有n个解依次为，则D．把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为．三、填空题12．已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________.13．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________．14．设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________．四、解答题15．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？16．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，.(1)求；(2)求的面积.17．已知函数(1)求的最小正周期；(2)求函数在的值域.18．如图，在直三棱柱中，，.(1)设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；(2)求证：；(3)若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S.19．教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.(1)已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值.(2)已知函数的图象关于点中心对称.（i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）；（ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案1．C解析：由题意，故选：C.2．C解析：命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是.故选：C3．A解析：，所以，所以，所以.故选：A4．D解析：该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，由题意且，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故D正确.故选:D．5．D解：，∴的虚部为2.故选：D.6．A解析：由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：A7．D解析：原数据的平均数为：，原数据的方差为：.对A：若，则满足，此时所得新数据的平均数为：，方差为：，方差变小，故A错误；对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误；对C：若，如，则新数据的中位数是3，因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误；对D：新数据的平均数为：，由，故D正确.故选：D.8．C解析：依题意，∵，，，∴，，所以，所以，又因为，所以，所以，即.在平面内满足条件的点的轨迹为，该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为；同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为；在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为；同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为.故轨迹的总长度为.故选：C.9．BD解析：对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误；对于B，相等向量是共线向量，B正确；对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误；对于D，由，，得，D正确.10．ABD解析：对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确；对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确；对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时，事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生，故不是互斥事件，故C错误；对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确.故选：ABD.11．ACD解析：因为，则点为的中点，可知，且，则函数的最小正周期，且，则，即，即，可知为函数的最大值点，则，即，因为，则，可得，即，则，又因为，则，即，所以，故A正确；的面积为，故B错误；若，因为，则，可得，解得，可知在内的解依次为，所以，故C正确；把函数的图象向右平移个单位，可得，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，可得，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，可得，最后向上平移一个单位，所以，可得的图象，如图所示，当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，则，所以正数k的取值范围为，故D正确.12．解析：由题如图正方体的各顶点都在一个球面上，求得直径为正方体的体对角线，故答案为：13．解析：在上的投影向量为.14．；.解析：作出函数的图象，如图所示：因为方程有三个实数根，即直线与的图象有三个交点，由图象可知，所以实数的取值范围为；令，得，令，得或，又因为，所以，由题意可得，即所以，所以，令，则，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以在上单调递增，所以,即的取值范围是.15．(1)，众数为5，平均数5.6(2)200人解析：（1）∵∴众数为5，平均数（2）由频率分布直方图可知，平均费用不少于8元的频率为：∴∴试估计该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元.16．(1)(2)解析：（1），，，且由余弦定理可得，则，，又，（2）根据三角形的面积公式可得，的面积为.17．(1)(2)解析：（1），所以，最小正周期，所以函数的最小正周期为.（2）方法1：因为函数，令，解得：，所以函数的单调递增区间为，又因为，所以函数在单调递增，在单调递减.函数，所以函数的值域为.方法2：因为，所以，由正弦函数图象可知，当时，函数有最大值3，当时，函数有最小值，所以函数的值域为.18．(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)解析：（1）解：判断.证明如下：∵为直三棱柱，∴平面平面ABC，∵平面，∴平面ABC，又平面平面，平面，∴，又∵，∴；（2）证明：连接，∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，∴，又，，∴AB⊥平面，又平面，∴，又∵直三棱柱中，，∴四边形为正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴；（3）解：过作，垂足为D，连接CD，如图所示，∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，又平面，∴，∵，，∴平面，∴为直线与平面所成的角，即，∵，∴，∴，∴，∴在中，，∴，又，∴.设三棱锥内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，，则由得，即，∴三棱锥内切球的表面积.19．(1)(2)（i），在上是增函数（ii）解析：（1）因为函数的图象关于点中心对称，所以为奇函数，所以，令，则有，故；令，则有，所以.（2）（i）由（1）可知，因为，所以，则解得此时，所以，所以，即为奇函数，符合题意，所以.因为函数的图象可由先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故函数在上也是增函数.（ii）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域