湖南省株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14 B.16 C.18 D.202.在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（）A. B. C. D.3.若曲线在处的切线的斜率为（）A.2 B. C.1 D.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.5.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.6.若函数的最小值为，则正实数的值为（）A. B. C. D.7.已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（）A.5 B.7 C.9 D.108.已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（）A.增大，增大 B.增大，减小C.减小，增大 D.减小，减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.的共轭复数为C.在复平面内所对应的点位于第二象限 D.10.已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（）A.若为线段上的动点，则与所成的范围为B.若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为C.若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为D.若为侧面上的动点，则存在点满足11.设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（）A.直线过定点B.C.当时，的最小值为D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.13.已知函数在区间上单调递减，则___________.14.已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面之间的距离.16.已知的内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若为边上一点，，求.17.某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．（1）求甲以获胜的概率；（2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望；（3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？18.已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程；（3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，.19.已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合．（1）设，求集合；（2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；（3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14 B.16 C.18 D.20答案：B解析：思路：由中位数定义即可得.解答过程：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解法一是由三角形的重心性质易知；解法二是用向量的共线运算和中线向量公式，利用向量三点共线的性质：即三点A、B、C共线等价于且，即可求得结果.解答过程：解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知.解法二：设，则，又由B，D，N三点共线，可知，解得，所以，故，故选：C.3.若曲线在处的切线的斜率为（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：先对给定的函数求导，然后将带入即可.解答过程：由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为，故选：.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以.5.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可知，，则焦点坐标为．6.若函数的最小值为，则正实数的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解.解答过程：已知函数，则，令，由于，正实数，所以得，令，则，由于，正实数，所以恒成立，所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，；因此方程有且仅有一个实数根，设为，即，因为，当时，有，解得，矛盾，因此，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增；所以函数在处取得最小值，由于函数的最小值为，即，则有，同时极值点满足，代入上式得，解得，则有，解得，故A正确.7.已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（）A.5 B.7 C.9 D.10答案：B解析：思路：先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项.解答过程：45个正奇数的和不小于，因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数.取，则中共有元素个数为，这个数的和为，故的最小值为7.故选：B.方法提示：思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可.8.已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（）A.增大，增大 B.增大，减小C.减小，增大 D.减小，减小答案：B解析：解答过程：随机变量服从两点分布，其分布列为：，，当增大时，减小，因此增大，两点分布的方差公式为，其中，故：，由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小．综上，增大，减小．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.的共轭复数为C.在复平面内所对应的点位于第二象限 D.答案：BCD解析：解答过程：化简复数选项A：的虚部为，不是，A错误；选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确；选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确；选项D：先求，，，，D正确.10.已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（）A.若为线段上的动点，则与所成的范围为B.若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为C.若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为D.若为侧面上的动点，则存在点满足答案：BC解析：思路：利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；证明面面平行，可得点的轨迹可判断B；判断轨迹形状并求出长度判断C；利用“将军饮马”模型，化折为直，结合勾股定理，可判断D.解答过程：对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图，由平面，平面，得，有，显然，则为与所成的角，，当与重合时，当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大，因此，，当与点重合时，有，，所以与所成角的范围为，A错误；对于B,取的中点,的中点,连接，如图，由中位线可知，,,平面，则平面，同理可得：平面，又且都在面GNF内,所以面平面,因为平面，所以点,则点的轨迹的轨迹的长度，故B正确；对于C，由平面，易得是直角三角形，，，如图，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，由,则，同理,所以,轨迹长度为，C正确；对于D，在平面内延长，截取，连接交于点，（如图）,点与点重合时，,点与点不重合时，，所以不存在点满足，D错误.故选：BC11.设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（）A.直线过定点B.C.当时，的最小值为D.当时，答案：BC解析：思路：直线过定点问题将含参数部分合并同类项，令其为零即可得到定点；判断定点与圆的位置关系结合两点间距离公式得到判断半径的范围；根据向量的数量积定义将数量积的最小值转化为求的最小值求解；利用弦长公式和圆心到直线距离的范围求解.解答过程：选项，将直线整理为，令得，故直线过定点，故错误.选项，由题可知直线与圆总有两个交点，则说明定点在圆内，圆心为，半径为，可得，因为在圆内，所以，即，故正确.选项，当时，，要使最小，只需要最小即可，圆心到直线的距离，且，则.由，将上式代入得，整理得，由，解得，故最小值取，因此最小值为，故正确.选项，当时，弦长公式，因为,则，故,故错误.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.答案：3解析：思路：利用双曲线的定义求解即可.解答过程：由双曲线的定义，则.故答案为：313.已知函数在区间上单调递减，则___________.答案：2解析：思路：依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解.解答过程：易知，由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心；所以，即；又在区间上单调递减，所以，解得；当时，此时，满足题意.故答案为：214.已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________．答案：解析：思路：根据数列的通项公式，判断出数列为严格递减数列，进而确定集合的所有非空子集中的最小元素及其个数，从而利用等差乘以等比数列求和的方法，求出，最后求出实数的取值范围.解答过程：解：因为，所以数列为递减数列，则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素，所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集），因此，又，所以.因为①，所以②，①②错位相减得，化简得，所以，易知当时，，则，所以，所以，即实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面之间的距离.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）过点作的平行线交于点，连接.由已知条件证得四边形为平行四边形，得出.由线面平行的判断定理可得证；（2）由（1）得平面，有直线与平面之间的距离等于点与平面之间的距离.运用等积法可求得与平面之间的距离.解答过程：证明：（1）过点作的平行线交于点，连接.因为，，所以，，所以，又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得平面，所以直线与平面之间的距离等于点与平面之间的距离.如下图，连接，.因为，，，，.所以，.因为面，所以，又，，所以平面，所以.设点与平面之间的距离为.由，得，即，解得.即点与平面之间的距离为.故直线与平面之间的距离为.方法提示：本题考查空间中的线面平行的判定定理，线面之间的距离，运用等体积法求点到面的距离，属于中档题.16.已知的内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若为边上一点，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理求解即可；（2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可；法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可；法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可；法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可.（1）因为，且，则，即，得，则，因为，所以.（2）由（1）得，，因为，所以，所以，法①：如图在中，由余弦定理可得：，即，在中由正弦定理，即，所以，因为，故，在中，.法②：同解法①，在中由正弦定理，即，所以，又因为，即，所以.法③：同上，在直角中，，所以，由（1）问知，所以，即，得即，所以，.法④：由（1）知，则，因为，所以，即，解得，所以，即，在中，由正弦定理，即，解得.17.某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．（1）求甲以获胜的概率；（2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望；（3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？答案：（1）（2）的概率分布列为：345，（3）甲应该采用“五局三胜制”．解析：思路：（1）根据乘法公式计算即可求解；（2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出；（3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论.（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为，所以．（2）易知取值为3，4，5．，，，故的概率分布列为：345所以的数学期望为：．（3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：；采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：因为，所以甲应该采用“五局三胜制”．18.已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程；（3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，.答案：（1）（2）（3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，联立方程，消去可得，该方程有两个正根，则，解得，直线的方程为，而，即，直线的方程为，而，即，联立方程，解得，即，，又，则，，所以，设，则直线方程为，即，则，，而，，所以，为定值.解析：思路：（1）根据题设求出，进而求解即可；（2）由（1）得渐近线为，设直线l的方程为，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得的中点即为的中点，进而得到，即，再表示出，进而求解即可；（3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得，设，直线方程为，进而利用两点之间的距离公式求证即可.（1）由题意，得，且，则，即，则双曲线C的标准方程为.（2）渐近线为，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立，得，则，且，则，所以，联立，解得，设直线l与交于点，联立，解得，则，即，而，因此，，则的