湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷-附解析

数学（考试时间：120分钟考试总分：150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数z满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（）A. B. C. D.3.若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（）A. B.C. D.5.已知向量满足，且与的夹角为，则（）A.6 B.10 C.15 D.216.已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（）A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.0.57.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（）A.1 B. C. D.28.2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（）A.这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台B.这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台C.自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降D.这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则下列结论正确的是（

）A.的取值范围为B.若，则的取值范围为C.若且，则最大值为D.若，则的最小值为10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件11.在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（）A.B.直线与直线相交C.三棱锥外接球的表面积为D.平面截正方体所得的截面面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是关于的方程的一个根，则______．13.在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.14.若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16.已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．17.如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.18.如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，．（1）证明：；（2）当角在变化时，（ⅰ）求边上高的取值范围；（ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围．19.已知，存在，使得成立，且的最小值为.（1）求的值；（2）若函数，(i)求函数的值域；(ii)若函数，求的最小值.

数学（考试时间：120分钟考试总分：150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数z满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部.解答过程：，则，故的虚部为.故选：D.2.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据正弦定理得出边长关系结合余弦定理求出边长，最后根据面积公式计算即可.解答过程：由，得，∴，解得，．∴．故选：D.3.若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：B解析：思路：由，分析出与的所有位置关系即可判断A，由，分析出的所有位置关系，即可判断B，由，分析出与的所有位置关系即可判断C；由，分析出的所有位置关系，即可判断D.解答过程：由，得与相交或或，故A错误；由，得，故B正确；由，得或，故C错误；由，得或相交或异面，故D错误.故选：B4.如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：设直线AB的方程，与抛物线联立，设，，由旋转体的体积公式，利用韦达定理，结合面积公式以及基本不等式求解即可.解答过程：设，，，设直线：，m显然存在，则，可得，则：，，设M、N关于y轴的对称点分别为、，记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，则所求旋转体体积为：.当且仅当，即时等号成立，此时所求旋转体体积的最小值为．故选：D.5.已知向量满足，且与的夹角为，则（）A.6 B.10 C.15 D.21答案：C解析：思路：利用平面向量的线性运算结合数量积的定义求解即可.解答过程：由，且与的夹角为，，，故C正确.故选：C6.已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（）A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.0.5答案：C解析：解答过程：记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，，记击中目标为事件，则，所以，又，所以.7.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：通过向量的数量积化简后根据正弦定理将边转化为角，通过诱导公式及两角和的余弦公式解方程即可.解答过程：如图，取的中点D，由外心的性质可知，所以.由可得.对两边同时点乘，得，所以，由，知，所以，由正弦定理得，所以.在中，，所以，又，所以，所以，解得.8.2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（）A.这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台B.这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台C.自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降D.这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4答案：D解析：思路：根据中位数、平均数、极差的定义进行计算判断即可.解答过程：将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，中位数为第5个数与第6个数的平均数，即，A错误；这10个月我国彩电月度平均产量为万台，B错误；自2024年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与-8.3%，故其极差为，故D正确.故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则下列结论正确的是（

）A.的取值范围为B.若，则的取值范围为C.若且，则最大值为D.若，则的最小值为答案：ABD解析：思路：利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D.解答过程：当、、能围成三角形，且、、时，有，则，当、、共线且同向时，有，故，故的取值范围为，故A正确；若，则，则当与反向时，取最大值，，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确；，即，则可设，，则，其中，故最大值为，故C错误；，由，则，则，故，故的最小值为.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件答案：BCD解析：思路：先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.解答过程：设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；，故B对；而，故C对；两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：BCD.11.在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（）A.B.直线与直线相交C.三棱锥外接球的表面积为D.平面截正方体所得的截面面积为答案：CD解析：思路：对于A：可证平面，结合线面关系分析判断；对于B：根据异面直线的判定定理可知直线与直线异面；对于C：分析可知三棱锥外接球即为长方体外接球，结合长方体的结构特征求外接球的半径和表面积；对于D：平面截正方体所得的截面为梯形，进而分析求解.解答过程：对于选项A：连接，，，因为，且，可知为平行四边形，则，，又因为为正方形，则，且平面，平面，则，又因为，平面，可得平面，且平面，所以与不垂直，故A错误；对于选项B：因为平面，平面，，可知直线与直线异面，故B错误；对于选项C：设，，的中点分别为，，，可知为长方体，且，，则三棱锥外接球即为长方体外接球，可知外接球半径，外接球的表面积为，故C正确；对于选项D：连接，，，因为分别为的中点，则，，且，，可得，，可知平面截正方体所得的截面为梯形，则，，可知等腰梯形的高，所以截面面积为，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是关于的方程的一个根，则______．答案：解析：思路：将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可.解答过程：因为是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，故，故答案为：．13.在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.答案：1解析：思路：以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.解答过程：以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，，有，由得：，而的取值范围为，于是得，而m为正数，解得：，所以.故答案为：114.若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______．答案：解析：思路：根据条件由正弦定理表示，判断唯一解时的范围解答过程：已知，则由正弦定理，则，又，当时，有两解；当或时，有唯一解，故．故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.答案：（1），150（2）解析：思路：（1）由频率分布直方图中频率和为1求得后，再根据频率的定义可得人数；（2）根据分层抽样的定义确定各组人数，并设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，用列举法写出所有基本事件后可计算出概率．（1）由频率分布直方图知：，可得，所以估计500名志愿者中年龄在的人数为.（2）由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为，则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，则抽取两人的基本事件有，，共15个，而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16.已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模.（1）因为，，由，可得，解得．（2）依题意，若，则有，解得，所以，．17.如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.答案：（1）连接，由于，所以，且，所以，又点为线段上靠近的三等分点，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）连接，由相似三角形可得，所以.，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证得面，即,再由等体积法求解即可.（1）略（2）由题知且，，得，，又，所以由余弦定理得：，所以，所以，所以.面，所以面，因为面，所以.又知，设到面的距离为，所以，即，解得，即点到平面的距离为.18.如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，．（1）证明：；（2）当角在变化时，（ⅰ）求边上高的取值范围；（ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围．答案：（1）在中，由余弦定理得，所以．又因为，由余弦定理得．由正弦定理得，所以．因为，所以，从而．（2）（ⅰ