吉林省吉林市省实验中学2025-2026学年高二下学期学程性考试（三）数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知全集，设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（）A. B. C. D.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.5.已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.6.从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.120种7.设，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.8.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（）A.B.数据点P对应的残差的绝对值为5C.该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米D.乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好10.已知实数满足且，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.的最小值是 D.的最小值是111.定义在上的函数满足：，则（）A. B.C. D.三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数，则的定义域为__________.13.已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______.14.现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最值．16.某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出．（1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）；（2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：）17.当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.（1）求出10个样品中有几个不合格产品；（2）若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列；（3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？18.篮球是吉林省实验中学亮眼的校园名片，篮球队凭借稳定的发挥和顽强的拼搏精神，长期在耐高联赛中保持超强竞争力.篮球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：

球队输球球队赢球总计甲参加23032甲未参加81018总计104050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；（2）从统计的50场比赛中任选一场，表示事件“甲球员参加了该场比赛”，表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为．①证明：；②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出的估计值．附：．参考数据：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82819.已知函数在点处的切线为．（1）若时，与x轴平行，求a的值；（2）若在处取得极大值，求a的取值范围；（3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围．附加题．（本小题满分10分）20.在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立.（1）若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率；（2）若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知全集，设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解不等式化简集合A，B，再利用补集、并集的定义计算作答.解答过程：解不等式得：，即，解不等式得：，则，，所以故选：C2.已知，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由，且，可得；反之，由不一定得到，且，比如，时，，所以“”是“，且”的必要不充分条件．3.如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可.解答过程：因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，则有，故选：A4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确.解答过程：定义域为，又，故为偶函数，排除BD；当时，，故，排除C选项，A正确.故选：A5.已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分析可知在定义域上单调递增，由不等式可得恒成立，参变分离结合二次函数最值分析求解.解答过程：当时，在上单调递增，且；当时，在上单调递增，且；如图所示，可知在定义域上单调递增，因为不等式恒成立，则恒成立，即在上恒成立，且，当且仅当时，等号成立，可得，所以实数a的取值范围为.故选：D.6.从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.120种答案：B解析：思路：先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解．解答过程：先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种，再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，所以不同的选择方案共有种．故选：B7.设，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，且，即；，即；，即.所以.8.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得函数的图象与的图象有3个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.解答过程：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，所以时，，又因为对任意的，都有，所以，即，又因为，即，所以，所以，即函数以4为周期，又由方程恰有3个不同的实数根，得函数的图象与的图象有3个不同的交点，，当时，如图，要使两函数图象有3个交点，则，解得，当时，如图，要使两函数图象有3个交点，则，解得，综上，故选：D二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（）A.B.数据点P对应的残差的绝对值为5C.该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米D.乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好答案：BCD解析：思路：A选项，相关系数的正负决定正负相关，可根据线性回归方程的正负进行判断；B选项，根据数据点与预测值的差判断残差；C选项，可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积；D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可．解答过程：A选项，因为，故房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，A错误；B选项，代入，可得的预测值：，残差为：，故B正确；C选项，，因为线性回归方程恒过点，故，解得：，C正确；D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，D正确．10.已知实数满足且，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.的最小值是 D.的最小值是1答案：ABC解析：解答过程：对于A，由，则，即，故A正确；对于B，，因为，，即，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，由，则，故，当时，取得最小值，故D错误.11.定义在上的函数满足：，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得．解答过程：解：令，则，解得，故A正确；令，则，解得，故B错误；令，则，，故C正确；令，则，又，，又不恒为零，，即，，即，故D错误．三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数，则的定义域为__________.答案：解析：解答过程：由已知，则，解得，即函数的定义域为.13.已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______.答案：解析：思路：根据二项式系数的性质及二项展开式的公式求解即可.解答过程：由展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，得，解得.展开式通项公式为.令，则，故常数项为.14.现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______．答案：解析：思路：设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解.解答过程：设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以，，，，，由全概率公式，.所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最值．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）最大值为，最小值为.解析：思路：（1）直接求导根据导函数的正负确定单调区间即可；（2）计算区间端点值和极值，比较大小即可.（1）函数定义域为

，，令

得

，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故函数的单调递增区间为(0,e)，单调减区间为.（2）由（1）知在[1,e]上单调递增，在上单调递减，又，，故函数在上的最大值为，最小值为1.16.某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出．（1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）；（2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：）答案：（1）（2）生产量为12吨时，总利润最小为56千元解析：思路：（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解，（2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解.（1）由已知可得，又，当时，，当时，，故；（2）当时，，．当时，，易知函数单调递增，故．因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元．17.当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.（1）求出10个样品中有几个不合格产品；（2）若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列；（3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？答案：（1）10个样品中有3个不合格产品（2）（3）元0123解析：思路：（1）利用，可以求出不合格品概率，即可求出结果；（2）利用超几何分布求出分布列；（3）由样本频率估计总体，利用二项分布求出200件产品中不合格品的个数，即可求出预计维修费用.（1）∵，且视为不合格，∴∴，即10个样品中有3个不合格产品.（2）由（1）可知，10件样品中有3件不合格产品，有7件合格产品；∴的可能值为0，1，2，3.∴，，，，∴分布列为:0123（3）由（1）可知，不合格品的概率为，∴不合格品的个数，∴200块电池中，不合格品的个数为个，所以维修费用元.18.篮球是吉林省实验中学亮眼的校园名片，篮球队凭借稳定的发挥和顽强的拼搏精神，长期在耐高联赛中保持超强竞争力.篮球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：

球队输球球队赢球总计甲参加23032甲未参加81018总计104050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；（2）从统计的50场比赛中任选一场，表示事件“甲球员参加了该场比赛”，表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为．①证明：；②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出的估计值．附：．参考数据：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828答案：（1）能认为该球队赢球与甲球员参赛有关联（2）①证明：因为

，因此，同理可得

，两式相乘得，故原等式成立；②.解析：思路：（1）提取列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设；（2）①利用条件概率公式分别展开等式左右两侧，验证二者相等；②用频率估计概率，代入数据计算各概率及的估计值.（1）设零假设：球队赢球与甲球员参赛无关联，则，故拒绝，所以根据小概率值的独立性检验，能认为球队赢球与甲球员参赛有关联.（2）①略②用频率估计概率：球队输球共10场，其中甲参赛2场，故的估计值为；球队赢球共40场，其中甲参赛30场，故的估计值为；代入①的公式得的估计值：

.19.已知函数在点处的切线为．（1）若时，与x轴平行，求a的值；（2）若在处取得极大值，求a的取值范围；（3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1求导得，由已知可得，求解即可.（2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，，右侧..因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围.（3）当时，求导得，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率切线的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简计算可得其范围.（1）已知，求导得，当时，直线与x轴平行