江苏省常州市常州高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末质量检查数学试卷-附解析

数学总分为150分，考试时间为120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.22.数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.73.已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（）A. B. C. D.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则5.甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（）A. B. C. D.6.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（）A. B. C. D.7.如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（

）A. B. C. D.8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.对应的点在第四象限 B.C.的共轭复数为 D.的虚部为110.下列值为的式子有（）A. B.C. D.11.棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面PMN截正方体表面所得截面为五边形B.平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为C.若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为D.若交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的内角所对的边分别为，若，，则角________．13.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______．14.甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．16.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面.17.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面与交于点．（1）设平面交平面于直线，求证：；（2）若，且是棱的中点，点到平面，平面，平面的距离分别为．求的值；（3）若分别是线段、线段上的点，且满足，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值．19.已知的内角所对的边分别为的角平分线交于.（1）若，求的值；（2）若，证明：；（3）若的三条角平分线相交于点的面积为，求.

数学总分为150分，考试时间为120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：解答过程：由为纯虚数，则，可得.2.数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：B解析：解答过程：易知共6个数据，且，因此第60百分位数取第四个数即可，即为5.3.已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据圆锥的底面半径和体积公式求出高，利用勾股定理即可求解.解答过程：记圆锥高为h，底面半径为r，因为该圆锥底面面积为，所以，故底面半径．体积，解得，故母线长．4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：D解析：思路：解答过程：对于A，若，，则或或l与相交，故A错误；对于B，若，，则或或l与相交，故B错误；对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误；对于D，若，，则，又因为，则，故D正确.5.甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为，乙比赛完三局才获胜的概率为.所以乙获胜的概率为.6.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：矩形中，，分别为，的中点，为中点，故.7.如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果.解答过程：因为平面，平面，所以，又，所以两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，设和平面所成角为，则，即和平面所成角的正弦值为.故选：C.8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围.解答过程：由已知得：，即，所以，又，所以，由正弦定理得：，所以，所以又所以由是锐角三角形得：，，即的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.对应的点在第四象限 B.C.的共轭复数为 D.的虚部为1答案：BCD解析：思路：利用复数的几何意义即可判断.解答过程：对于A选项，因为，所以复数z对应的点为，在第一象限，故A错误；，故B正确；，故C正确；，的虚部为1，故D正确.10.下列值为的式子有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据两角和的正切公式可判断A和C，根据二倍角公式可判断B，利用两角差的正余弦公式化简可判断D.解答过程：对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.11.棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面PMN截正方体表面所得截面为五边形B.平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为C.若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为D.若交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为答案：BC解析：思路：作出正方体被平面截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A；建系后写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可判断B；由线线角确定点的轨迹，即可求得轨迹长判断C；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体积及三棱锥体积计算公式即可判断D．解答过程：A，因M，N，P分别为棱，，的中点，而点同在平面和平面上，点同在平面和平面上，点同在平面和平面上，故平面PMN截正方体所得截面为六边形，可作图如下：其中点分别是边的中点，分别连接，易证，，，故得，同理可得，故平面PMN截正方体所得截面为六边形，故A错误；B，如图建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，故可取.又平面的一个法向量显然为，设平面与平面夹角为，则，故B正确；C，若与的夹角为，则Q点轨迹是以为顶点，为轴，母线与的夹角为的圆锥被平面PMN所截得到的曲线，由平面PMN可得轨迹为圆，由对称性可得点到平面PMN的距离为，所以该轨迹圆的半径为，所以Q点的轨迹长度为，故C正确；D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面内，分别过点作的平行线，过点作的平行线，设平行线依次相交于点，连接，则易得为正方形，而是上底面和下底面都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1，故，因为，所以，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的内角所对的边分别为，若，，则角________．答案：##解析：思路：已知两边及一边的对角，根据正弦定理求另一边的对角即可．解答过程：由正弦定理可知，化简得，因为，故．13.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______．答案：解析：思路：把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解．解答过程：解：如图，在轴截面梯形中，，，设球O的半径为r，．，解得：，因为，所以，所以球O的表面积为，故答案为：．14.甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________.答案：解析：思路：固定乙的出牌顺序，从而得到甲的所有出牌顺序个数，及甲的总得分不小于2的出牌顺序个数，得到答案解答过程：不妨设乙的出牌的顺序为，而甲的卡片上分别标有数字，1有4个位置可以选择，7有3个位置可以选择，剩余的两个3位置确定，故出牌的顺序有种情况，其中甲要多得分，需保证出牌时，用3对乙的2，用7对乙的4，故最多得2分，若甲的总得分为2，则甲的出牌顺序为或或或，有4种选择，甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式及辅助角公式求出，进而求出其周期；（2）由（1）及已知求出，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解．（1）依题意，，所以函数的最小正周期．（2）由（1）知，则，所以．16.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面.答案：（1）∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.∵四边形是菱形，∴.又平面，平面平面，∴平面．（2）取棱的中点，连接.∵分别是棱的中点，∴∥，∥.∵∥，∴∥.∵平面，平面，∴∥平面；同理由∥，得∥平面.∵平面，∴平面∥平面；又平面，∴∥平面.解析：思路：（1）由平面与平面垂直的性质定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理得平面平面，最后由平面与平面垂直的性质定理得平面；（2）取棱的中点，连接，由平面与平面平行的判定定理得平面∥平面，进而证得∥平面.（1）略（2）略17.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．答案：（1），平均年龄为（2）解析：思路：（1）在频率分布直方图中，根据各个小长方形面积总和为1列式进行计算a的值；（2）先根据分层抽样确定第四组和第五组抽到的使者人数，根据古典概型计算公式进行计算概率即可．（1）由，解得；则平均年龄为；（2）根据频率分布直方图可知第四组的频率为，抽到的人数为；第五组的频率为，抽到的人数为；由甲年龄36岁可知，甲在第四组；乙年龄42岁可知，乙在第五组；随机抽取2名作为组长：选甲未选乙的概率为；选乙未选甲的概率为；甲乙都选的概率为；综上，甲、乙两人至少有一人被选上的概率为．18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面与交于点．（1）设平面交平面于直线，求证：；（2）若，且是棱的中点，点到平面，平面，平