南京理工大学高等数学作业上(答案)

第一章函数极限连续§1函数解：（1）要使有意义，必须所以定义域为[-2，2].（2）当有意义;而要使有意义，必须故函数的定义域为：（3）即定义域为（4）要使有意义，则必有;即函数定义域为（5）当故函数的定义域为：（6）有意义；有要使有意义，必须有所以函数的定义域为：2．3．解：，即的定义域为[1，3]。4．解。5．故其定义域为。6．故。7解：设8.为奇函数为偶函数9．证：当所以对任意有界。10．解：（1）由的反函数为（2）由（3）当反函数为：11．解：（1）（2）；（3）12．设证圆锥的高为又利用两直角三角形相似可得：.§2数列极限定义及性质解：（1）（错）例如（2）（对）（3）（对）.２．（１）证：（２）证：３．证：，又４．证：存在，.５．证：有界，又，.数列极限运算法则及存在准则解：（１）（对）（２）（错）例如：（３）（错）例如：证：由数列极限的定义及性质和上节习题5可知。解：（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）；（８）记证：证0<,设则，数列有界,有极限，设极限为解：解：§3函数极限的定义及性质解：（1）（2）（3）（4）２．解：（１）（２）（３）（４）3．（3）可知：4证：，§5函数极限运算法则解：（１）D.（２）B.（3）D.（4）D（5）B.2．解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3.4．解：§6极限存在准则两个重要极限解：（1）.（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）原式=(10)=同理所以原极限=3-1=2.§7无穷小的比较解：（1）（2）；（3）（4）解：（1）；（2）原式=（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）原式=3.解：4.解：（1）（2）为比高阶的无穷小；（3）无穷小是的同阶无穷小.§8连续及连续函数的性质（—）解：（1）函数无定义的点为为第一类间断点。，为可去间断点，补充定义，则函数在（2）函数无定义的点为第一类间断点（3）设a)b)为间断点且为第一类间断点即为整数点时函数间断。（4）解：a)在点肯定不连续，证明如下：若在连续，有因在点连续，故在点也连续，此与题设矛盾。b)在的连续性不能确定。例：若为任一在不连续的函数，则在不连续。又例：若则，满足题目要求，但=证：当<1时，f(x)=，当x=1时f(x)=,当x=时f(x)=，当>1时f(x)=由此f(x)为一分段函数，由分段函数在分段点处连续性讨论可得a=0,b=1证明：取因在点连续，故存在，使，即时，即于是a)若b)是其跳跃间断点.图略.解：其中均为其跳跃间断点.解：（二）证明：连续2证明：为方程的根。下证唯一性：显然，.证明：，由闭区间上连续函数的最值定理，设在由连续函数介值定理，无零点矛盾。同法可证，若有在上最大值，则证明：证明：设即时，，从而，又因f(x)在闭区间上连续，从而有界，设在上，，记N=max则当时，恒有。证明：7。解：（1）；；（2）8．证明：当时,,从而,当时，,又因为,而=第二章导数及其运算（一）§1导数概念（1）（2）瞬时速度瞬时速度2.f(x)在x=1可导，则(1)存在，亦即=存在，a+1<0即a<13.设f(x)在点(1,1)处,切线为y=ax+b则1=a+b,当y=0时,,故4．（1）；（2）；5.= 6．（1）（2）7．。8．9．为切点为，则在切点处函数值相等，导数值（斜率）相等，即有10．11．要存在，必须§2导数的运算法则一导数的四则运算法则1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）二复合函数求导法则1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）f(t)=t2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）,（10）（11）（12）3.4．（1）（2）（3）三反函数的求导法则1．（1）故（2）故2．（1）（2）（3）（4）3．依题设条件可知四隐函数求导法与参数方程所确定的函数求导法解：（1）（2）解：解得：（3）解：先取对数：解：切线方程为：法线方程为：解：（1）（2）解：证：曲线上任一点的法线方程为：化简后为：(原点至法线的距离解：将曲线方程化为参数方程：所求的切线方程为：.五高阶导数解：（1）（2）（3）（4）2．解：因f(x)=,两边对x求导得,当时,,此时填(C)4.解：5.解：。6.方程两边对x求导，从而=,7．解：8：（1）（2）.（3）y==（4）9．10．解：建立坐标系，依题意有：，等式两端对求导有：从而有：（1）（米/秒）.（2）令（米/秒）代入式得：（3）令（米/秒）代入式得：11．解：建立直角坐标系，直线OA方程为，在时刻，容器中水的体积为：两端对求导有：§3微分及其应用1．解：2.(1)2x+c(2)(3)sint+c(4)(5)ln(1+x)+c(6)(7)2(8)3.解：：（1）（2）两边取微分得：（3）（4）两边取微分得：5．解：（1）（2）6．解：设从而有：因为所以7．解：未镀铜前圆柱体体积为所镀铜的体积约为代入得所需铜约为（克）.8．扇形面积当第三章§1微分中值定理解：在区间上满足罗尔定理的条件.解：在区间上满足拉格朗日定理的条件.又而3.证明：设F(x)=，由题设知，F(x)在上连续，在内可导，又F(a)=，由罗尔定理，存在使即4．证明：所以满足拉格朗日中值定理的条件.对所有上满足拉格朗日中值定理的条件，有5．证明：f(x)在上满足拉格郎日中值定理，因此，至少分别存在一点使得,由A,B,C三点位于同一直线上，因此,不妨设,在上,满足罗尔定理条件，故至少存在一点,使得6.证明：（1）上应用拉格朗日中值定理，得：（2）上应用拉格朗日中值定理，得：（3）上应用拉格朗日中值定理，得：故时，等式显然成立.7.证明：上应用拉格朗日中值定理，得：对在上应用拉格朗日中值定理,得：显然均在[0，c]上单调下降，又因为在[0，c]上单调下降，8.证明：用反证法，假设在内有界，即存在M>0,使对一切有在内任取一点为常数，x为内任一点，由拉格朗日中值定理，有从而有：因而在内有界，与已知矛盾，因此在内无界.§2罗必塔法则（1）解：原式=（2）解：原式==.（3）解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式=（8）解：原式=解：证明：由已知，g(x)连续，且当时，而显然连续而从而在内是连续函数.§3泰勒公式解：即：解：5.y(4)=2,,,6.解：7解：处的泰勒公式为：故比较可得：8.证：9.解：取。§4函数的单调性、极值、最值1．[1,3].1,8;3,4.8,2．0,小，0.3．4．.1,小，e.5．1，大，5.6由于*0=0所以x=0的某领域内因而而f(0)=0这证明f(x)在x=0处取极小值，即D正确。7．为极大值点，极大值为1.函数无极限.8解：上递减,因而9．解：是极大值点，极大值为10．（1）单调增加区间是（2）令时当的单调减少区间是单调增加区间是11．解：处的切线方程为它在两坐标轴上的截距分别为12．令证明：令故有：§5函数图形的凹凸性，拐点及函数图形的描绘1．2．3．4．5．6．解：的某一邻域内不变号，的某一邻域内不变号，不是极值点.是拐点.证明：上是凹的，解：由题设知驻点和拐点都在曲线上，从而有8a+4b+d=44,(1),a+b+c+d=10,(2),,由驻点和拐点条件可得12a4b+c=0,(3),6a+2b=0,(4),由(1)(2)(3)(4):a=1,b=,c=,d=169.解：(1)为增区间，（0，2）为减区间(2)因故凹区间，无拐点，(3)因，a=b=为垂直渐近线，y=x为斜渐近线10．解：的定义域为§6曲率1.2.2.3.4.K=5.解：6.解：7.解：8.解：取最大值，9.解：由上式可知：当时，K最大，即当时曲率半径最小.故曲线y=sinx,x在()点处曲率半径最小，最小值R=110.解：令在点处有最大值11．证明：第四章§1不定积分的概念与性质解：（1）；（2）；（3）2．解：（1）（B）（2）（C）3．解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）4．解：解：由题意知，由已知x=3,y=2,代入上式：2=9+c,得c=－7故所求曲线方程为解：设距离函数为s=,则有由已知t=0,=0,得c=0,故求出距离函数为（1）（米）（2）（秒）解：§2.1第一类换元积分法解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）故原式§2.2第二类换元积分法解：1.（1）（2）（3）（4）说明：解法见第（2）题.（5）（6）（7）（8）2.(1)令x=sint,,令x=tgt,,令x=sect,§3分部积分法解：（1）=（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）移项可得：（12）（13）（14）（15）,所以原式（16）（17）（18）解：。又所以原式§4.1有理函数的积分解：（1）（2）设即，比较系数得方程组：解得：.（3）设即令，则令，则令，则（4）设即令，则令，则令，则（5）设即令，则比较系数得，则（6）设即比较系数得：，解得：解：（1）（2）§4.2§4.3三角函数有理式及简单无理函数的积分解：（1）令则（2）（3）（4）（5）（6）（7）令，则（8）令，则（9）令，则（10）令，则第五章定积分§1定积分概念与性质解：因为在上连续，故可积，所以积分与区间得分法及点的取法无关，因此不妨把分成n等分，分点为取，则对应的积分和答：（1）单位圆在第一象限的面积等于.（2）正弦曲线与及x轴之间各部分面积的代数和为0，即.解：（1）在区间[1,4]上，函数是增函数，即最大值最小值即（2）在区间上，故在区间上递减，即最大值最小值,即4.在上连续，由积分中值定理，存在使得，又f(x)在上满足罗尔定理条件，故在(0,c)(0,1)内至少存在一点，使得。5.证明：记则及驻点x=0,因为从而6．解：（1）在区间上，，故（2）记则即（3）在区间上，故（4）在区间上，故7．证：（1）反证法，假设在内有一点使得由上连续可知，必有的邻域使则与已知矛盾；对和同理可证，故在上(2)因为，所以.假设,则由（1）结论可得在上，与不恒等于零矛盾，故。：不妨设在上，因为在上连续，必有最大值M,最小值m,所以两边积分当时，有记则有因为在上连续，故必有，使得，即所以当时，有于是在上任取一点，都有综上可得.同理可证的情形.§2微积分基本公式解：解：将方程两边对求导（y看作x的函数）,即解：（1）该极限是“”型，应用罗比塔法则该极限是“”型，应用罗比塔法则解：（1）==2x（2）解：，令，得驻点且故当时，取最小值解：（1）（2）（3）（4）7.,,=,,8.解：当时，当时，当时，9.证明：因为又，故，故10.证：（1）（2）由连续函数介值定理可知，在内必有使得，又因为故在上单调增加，从而在内必有且仅有一根.§3。1定积分换元法解：（1）令则当时，，当时，，故原式（2）原式（3）原式（4）令则当时，，当时，，故原式（5）令则当时，，当时，故原式（6）令则当时，；当时，故原式（7）令则当时，；当时，故原式（8）原式（9）令原式（10）原式（11）原式(12)解：（1）为上奇函数，故原式=0.（2）为奇函数原式证：又，.解：令则当时，；当时，于是而故原式证明：（1）又（2）是以为周期的偶函数解：令.设a=则2a=7．（1）原极限=（2）原极限=，考虑f(x)=,将n等分,则,于是原式==8.(1)令(x为参数)，则F(x)=于是(2)=§3。2§4定积分的分步积分法与广义积分解：（1）原式原式原式原式移项得：原式原式移项得：原式（6）原式（7）令则当时，；当时，于是原式解：原式解：（1）原式原式原式.原式；（5）为瑕点，且即广义积分发散， 广义积分发散.（6）原式（7）原式原式.（8）解：由得解：故当时，积分收敛于当时，则积分发散，利用极值理论，易知当时，积分取得最小值.第六章定积分应用一解：由解得，交点为所围图形的面积解：由求得交点所围图形的面积解：因为所以水平渐近线为所求面积为解：由求得交点由对称性，所求面积