2026-2027学年高二上学期开学摸底考试数学试题+答案

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026-2027学年高二上学期开学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．样本数据的60%分位数为（

）A．4.0 B．4.1 C．4.2 D．4.54．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（

）A． B． C． D．5．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．点与点是直线上的两个不同的点，则（

）A． B． C．1 D．-18．已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（

）A．4 B． C．16 D．8二、多选题9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，，则，是异面直线B．若，，，则C．若，，则与可能相交D．若，，则10．已知圆O：，则下列说法正确的有（

）A．圆在点处的切线方程为B．直线与圆相切C．直线截圆所得的弦长为D．圆C：与圆外离11．若是空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（

）A．B．C．D．三、填空题12．在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______.13．已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________.14．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______．四、解答题15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.16．用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数；(2)若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数；(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和.求总样本的平均数和方差.17．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且．(1)证明：；(2)当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值．18．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为.(1)求边所在直线的一般式方程；(2)求的面积.19．已知圆．(1)若直线与圆C相交于A，B两点，求；(2)自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）参考答案题号1234567891011答案CACBDAADBCADABD1．C【详解】因为，，则，，所以在上的投影向量为.2．A【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可.【详解】因为平面，，平面，所以，.长方形中，，在中，，同理可得.取，，，中点，，，连接，，，，.则，；；，；，.所以与所成的角即为异面直线与所成角.因为平面，所以底面.又底面，所以，所以.在中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.3．C【详解】将这组数据升序排列为：.因，则60%分位数为第个数.4．B【分析】第二次取到红球，可分为两种情况：第一次取到红球、第二次再取到红球；或第一次取到绿球、第二次取到红球.利用分步概率相加即可.【详解】设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则.因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，.故.【点睛】求“不放回抽取”中的某一步事件概率时，可按前一步分类讨论，也可利用对称性：第二次取到红球的概率等于总体中红球所占比例.5．D【详解】因为，，则，又平面的法向量为，则点到平面的距离为.6．A【分析】通过条件证明平面，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解.【详解】设，由知：，，又，平面，所以平面，以为原点，为轴，过在平面内作为轴，为轴建立空间直角坐标系，又，可得，，，，，则，，设直线与直线所成角为，则.即与所成角的余弦值为.7．A【分析】根据斜率公式即可求解.【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以，故选：A．8．D【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可.【详解】因为，是圆上的两个动点，所以，所以.因为，所以.故选：D.9．BC【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系，及面面平行、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于A，由，，，可得，异面或平行，错误；对于B，因为，，所以，又，所以，正确；对于C，由，，可得与相交或平行，正确；对于D，由，，可得或相交或，错误.10．AD【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误.【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确；对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误；对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误；对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确.11．ABD【分析】根据空间向量共面定理及基底的定义逐项判断即可.【详解】对于A，假设共面，则可设，方程组无解,不共面，可以作为空间一组基底，A正确；对于B，假设共面，则可设，方程组无解,不共面,可以作为空间一组基底，B正确；对于C，，共面，不能作为空间一组基底，C错误；对于D，假设共面，则可设，方程组无解,不共面，可以作为空间一组基底，D正确；故选：ABD12．【分析】利用平行四边形对角线互相平分，可得，从而.【详解】由题意，，，.因为四边形为平行四边形，所以，即.代入得，故点D对应的复数为.【点睛】本题考查复数与平面向量的对应关系，解决平行四边形中的复数问题，可把复数看成点的坐标，利用进行计算.13．【分析】先根据对立事件的概率公式求出，再结合相互独立事件的概率乘法公式计算；【详解】因为随机事件与对立，根据对立事件的概率性质，得：，因为与相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式，得：故答案为：.14．2【详解】由直线，得，解得，所以．15．(1)(2)【分析】(1)

直接利用正弦定理边化角进行运算；(2)

运用正弦定理将面积转化成角的正切值，再根据锐角三角形求出角的范围，从而求出三角形面积的范围.【详解】（1）因为，，所以，即，根据正弦定理得，因为，，所以，根据二倍角公式得，因为，，所以，即，.（2）因为，，所以面积，根据正弦定理，代入得，又，所以，所以面积，因为，所以，即，又为锐角三角形，所以，代入解得，，所以面积.16．(1)，(2)人(3)，【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及上四分位数的定义计算可得；（2）先计算样本中成绩“优秀”的频率，再估计总体中成绩“优秀”的频率，进而可得成绩优秀的人数.（3）直接根据分层抽样中，由各层的平均数及方差计算总体的平均数及方差可得.【详解】（1）因为，所以.在内的成绩占比为，在内的成绩占比为，因此上四分位数一定在内．设为，则，解得，所以估计上四分位数约为.（2）样本中成绩不低于分的频率为，所以总体中成绩不低于分的频率为.高一年级男生总人数为，所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：，因此估计高一年级男生中成绩优秀人数为人.（3）因为男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为，设总样本的平均数为，方差为，．．所以总样本的平均数和方差分别为和．17．(1)连接AG，，．在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以．因为G，F分别是BC，AB的中点，所以，即，进而.因为，所以，所以．又平面，所以平面，又平面，所以．(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.【详解】（1）略（2）在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设为平面CEF的法向量，因为，，所以令，则．因为平面CEF，所以，解得，所以．设直线EH与平面CEF所成的角为θ，则，即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为．18．(1)(2)【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案；（2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案.【详解】（1）由题可得中线，与边上的高