【新教材】人教版（2024）七年级上册数学第3章 代数式 教案

第第页【新教材】人教版（2024）七年级上册数学第3章代数式教案课题：3.1.1列代数式表示数量关系（1）教学目标1.进一步理解用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系.2.经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识.重点难点理解字母表示数的意义，正确分析实际问题中的数量关系并用含有字母的式子表示数量关系，感受其中“抽象”的数学思想.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情境导入问题1.在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用，看下面的问题.

智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人可以1s完成5m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题：

（1）该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？（2）该机器人识别nm²范围内的苹果需要多少秒？（3）若该机器人搭载了10个机械手，它与采摘工人同时工作1h，假设工人ms可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？

回答上面的问题，要用到含有字母的式子，即本章将要研究的代数式.通过对本章的学习，你将进一步体会到代数式可以简明地表示数量和数量关系，为后续学习打下基础。今天学习3.1列代数式表示数量关系（1）——代数式的意义（板书课题）二、合作探究探究点1代数式的概念问题2.实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式子简明地表达.我们来探究问题1中，用字母表示数量和数量关系，这里有哪些量？数量和数量关系如何？怎样用字母表示？问题1中（1）其中包含三个量：工作量、工作效率和工作时间，它们之间的关系为：工作量=工作效率×工作时间

回答问题②该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？（2）该机器人识别nm2范围内的苹果需要多少秒？（3）若该机器人搭载了m个机械手（m＞1），它与采摘工人同时工作1h，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？分析提问：根据上面的分析，最终我们可以列出如下的式子：问题2（1）某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队每天铺设的管道长度.（2）一个正方形的边长是ɑ，这个正方形的周长l是多少？面积S呢？这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.上述问题中列出的式子5t，n5，450m-720,2d，4ɑ，ɑ2，它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.注意：单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式.【对应训练】判断下列式子是否符合代数式的书写规范，不符合的请改正.x×y，2eq\f(5,6)ɑb,-1n,x3,m÷3.解：均不符合，改正如下：x×y2eq\f(5,6)ɑb-1nx3m÷3xyeq\f(17,6)ɑb-n3xeq\f(m,3)探究点2用代数式表示数量关系例1（教材P70例1）（1）苹果原价是p元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；（2）一个长方形的长是0.9m，宽是pm，用代数式表示这个长方形的面积；（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；（4）一个长方体水池底面的长和宽都是ɑm，高是hm，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）苹果的售价是0.9p元/kg；（2）这个长方形的面积是0.9pm2；（3）去年的产量是（2n-10）件；（4）由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积是ɑ·ɑ·hm3，即ɑ2hm3，故池内水的体积为eq\f(1,3)ɑ2hm3.追问（1）观察（1）（2）小题的结果，你有什么发现？它说明了什么问题？所列代数式一样，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积.它说明：用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.（2）0.9p还可以表示什么？请你再举出一个例子.某人走路的速度为0.9m/s，若他行走ps，则走了0.9pm.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第1题.三、例题分析探究点3代数式的意义例2（教材P71例2）说出下列代数式的意义：（1）2ɑ+3；（2）2（ɑ+3）；（3）eq\f(c,ɑb)；（4）x2+2x+8.解：（1）2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和；（2）2（ɑ+3）的意义是ɑ与3的和的2倍；（3）eq\f(c,ɑb)的意义是c除以ɑ，b的积的商；（4）x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和.问题举例说明2ɑ+3，2（ɑ+3）所表示的实际问题中的数量关系.在相同情境下：李明买了一些水果，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；若再多买3个橘子，买到橙子的数量就刚好是橘子数量的2倍，则橙子买了2（ɑ+3）个.在不同情境下：李明买了一些橘子和李子，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；小宝今年3岁，爸爸今年ɑ岁，爷爷的年龄是小宝和爸爸的年龄和的2倍，则爷爷今年的年龄是2（ɑ+3）岁.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第2，3题.课堂练习1.填空题.（1）温度由t℃下降2℃后是（t-2）℃；（2）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话nmin收费mn元;（3）ɑ个人n天完成一项工作，那么平均每人每天完成的工作量为eq\f(1,ɑn)；（4）李明和张华都是集邮爱好者，已知李明收集了x张邮票，张华收集的邮票张数比李明收集的邮票张数的一半多5，则张华收集了eq\f(x,2)+5张邮票.2.说出下列代数式的意义：①0.2x-8；②10%（m+5）；③ɑ2+b2；④eq\f(n+1,n-1)．解：①0.2x-8的意义是x的0.2倍与8的差；②10%（m+5）的意义是m与5的和的10%；③ɑ2+b2的意义是ɑ的平方与b的平方的和；④eq\f(n+1,n-1)的意义是n与1的和除以n与1的差的商.代数式0.5x+12可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明.解：①一根弹簧长12cm，在弹性限度内，所挂物体质量每多1kg，弹簧伸长0.5cm，则所挂物体质量为xkg时，弹簧长度为（0.5x+12）cm.②某件衣服的标价是x元，现在打五折后又提价12元出售，则现在的售价为（0.5x+12）元.课堂总结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是代数式？你能用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系吗？2.同一个代数式在不同实际问题中表示的数量或数量关系相同吗？举例说明.3.你能说出某个代数式的数学意义吗？能赋予它实际意义吗？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：3.1.1列代数式表示数量关系（2）教学目标1.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.2.初步培养学生的观察、分析能力，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与实际生活的密切联系.重点难点根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情境引入在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.回忆上节课所学内容，解答下面的问题：如图，在国庆阅兵式上，有女民兵和三军女兵两种特殊方队.(1)若女民兵方队有ɑ人，三军女兵方队有b人，则两种方队共有（ɑ+b）人；(2)若三军女兵方队的平均年龄为m岁，比女民兵方队的平均年龄大n岁，则女民兵方队的平均年龄为（m-n）岁；(3)若三军女兵方队共有m排，且每排有25人，则三军女兵方队的人数为25m；(4)女民兵方队用ts走了sm，则她们的平均速度可以表示为eq\f(s,t)m/s.这就是列代数式，这节课我们将更深入地对这方面进行探究，让我们准备好一起进入今天的探索之旅吧！二、探究新知探究点1列代数式表示数学运算中的数量关系如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

思考我们在上一节课曾探讨过代数式的意义，如2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和.反过来，如果已知某种数学运算，如ɑ,b两数的和与差的积，那么该如何用代数式表示呢？如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

可以按下面的步骤列代数式：所以ɑ，b两数的和与差的积为（ɑ+b）（ɑ-b）.例1用代数式表示：（1）比m的3倍小3的数；（2）m的平方的3倍与5的和；（3）m的倒数与n的积.解：（1）3m-3；（2）3m2+5；（3）nm.【对应训练】教材P73练习第1题.探究点2列代数式表示实际情境中的数量关系例2（（教材P72例3）用代数式表示：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数.（2）把ɑ元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？（3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为（2ɑ+3b）元.（2）根据题意，得ɑ×2.75%×3=8.25%ɑ，因此到期时的利息为8.25%ɑ元.（3）现在的售价为（1.1x-80）元.从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性.【对应训练】教材P73练习第2，3，4题.探究点3代数式的意义例3（教材P72例4）甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为vkm/h.（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？分析提问：（1）本题包含了几个量？它们之间有什么关系？本题包含路程、速度和时间三个量.它们之间具有关系：时间=eq\f(路程,速度).（2）早到的时间与原来需要行驶的时间和加快速度后需要行驶的时间有什么联系？早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.解：（1）汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v)h.（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v+3)h.汽车加快速度后可以早到(eq\f(240,v)-eq\f(240,v))h.【对应训练】张华同学报名参加了某市越野赛10km体验组的比赛，计划以xkm/h的平均速度跑完全程，为了取得更好的成绩，实际比赛时他以计划平均速度的1.2倍跑完了全程．（1）用代数式表示张华同学实际跑完全程所用的时间________h；（2）王老师也报名参加了此次越野赛10km体验组的比赛，他计划一半路程以ɑkm/h的平均速度前进，而另一半路程以bkm/h(ɑ≠b)的平均速度前进，用代数式表示王老师跑完全程所用的时间.三、课堂练习1.用代数式表示：①比x的立方的4倍大y的数；②m的3倍与n的差的平方；③ɑ，b两数的和的平方减去它们的积的2倍；④ɑ，b两数的平方的差除以ɑ，b两数的和的平方的商.一个两位数，个位上的数字是ɑ，十位上的数字比个位上的数字大1，则这个两位数是________.某工厂需生产n个零件，原计划每天生产ɑ个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少________天.四、课堂总结一起回顾本节课所学主要内容，并回答以下问题：你能分析实际问题中的数量关系，并列出代数式吗？（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：3.1.1列代数式表示数量关系（3）教学目标1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系.2.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识.重点难点反比例关系的概念及识别.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）回顾旧知1.回忆：小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么？如果两个变化的量的比值保持不变，或用符号表示为yx=k（k是一个确定的值，且k≠0），这时称这两个量y和x为成正比例的量.2.复习：第1课时活动二中的问题1：3.猜想我们不难回答上面“猜想”中的特点，但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢？让我们开始今天的学习吧！二、合作探究探究点反比例关系问题（教材P73问题）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题：（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？概念引入：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示.想一想：正比例关系与反比例关系有什么区别和联系？思考生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种商品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？①泳池里水的体积一定，将水放完，排水的速度与所用时间成反比例关系；②路程一定，行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.【对应训练】教材P75练习第1，2题.三、实际应用例（教材P74例5）如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高=eq\f(圆柱的体积,底面积).解：（1）四个容器中水的高度分别为eq\f(300,10)=30（cm），eq\f(300,20)=15（cm），eq\f(300,30)=10（cm），eq\f(300,60)=5（cm）.（2）xy=300.y与x成反比例关系.【对应训练】1.给一间教室铺地砖，每块地砖的面积（单位：cm2）与所需地砖的数量（单位：块）如下表所示.（1）这间教室的地面面积是多少平方米？（2）所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的？（3）若用n表示所需地砖的数量，m表示每块地砖的面积，用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系？解：（1）这间教室的地面面积是300×1600=480000（cm2）=48m2.（2）由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小，但它们的乘积一定，都为480000.（3）mn=480000.n与m成反比例关系.【对应练习】教材P75练习第3题.四、课堂练习1.下列选项中y与x的关系是反比例关系的是（B）A.xy=0B.2xy=5C.eq\f(y,x)=32D.x2y=12.下列数量关系中，成反比例关系的是（C）A.橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量B.学校计划种植500棵树，已种的棵数与未种的棵数C.两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数D.一个人的体重与他的年龄3.某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位：N·m)和转速n（发动机曲轴的转动速度，单位：kr/min)的数据如表：（1）用式子表示M与n的关系，M与n成什么比例关系？（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩是多大？当转速为5kr/min时呢？解：（1）由表可知，表中所有扭矩与对应转速的乘积为定值600，所以Mn=600.M与n成反比例关系.（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩为eq\f(600,2.4)=250（N·m）；当转速为5kr/min时，扭矩为eq\f(600,5)=120（N·m）.五、课堂总结一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是反比例关系？两个相关联的量何时满足反比例关系，你能举例说明吗？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：3.2代数式的值（1）教学目标1.了解代数式的值的概念，会把具体数代入代数式进行计算.2.感受代数式求值是一个转换过程或某种算法，锻炼学生的计算能力和解题能力.重点难点会求代数式的值教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）情景导入如图就是刘伟设计的一个程序.当输入x的值为3时，你能求出输出的y的值吗？像上面这样，我们在列出代数式的情况后，往往还需要求出所需的数值.怎么求呢？这就是本课时需要解决的问题.探究新知探究点求代数式的值问题为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配5个，学校另外留20个.学校总共需要购置多少个排球？记全校的班级数是n，则需要购置的排球总数是5n+20.如果班级数是15，用15代替字母n，那么需要购置的排球总数是5n+20=5×15+20=95.如果班级数是20，用20代替字母n，那么需要购置的排球总数是5n+20=5×20+20=120.结论：当班数n取不同的值时，代数式5n+20的计算结果也不同。即代数式5n+20的值随着n的变化而变化；只要给n一个确定的值，代数式5n+20就有唯一确定的值与它对应.代数式5n+20的值随字母n的取值的变化而变化。一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.注意：代数式的值一般不是一个固定的值，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的。但所取数值必须使代数式和它代表的实际数量有意义，比如ba三、典例解析例1根据下列x，y的值，分别求代数式2x+3y的值：(1)x=15，y=12；(2)x=1，y=12注意：每一个数值均应代入相应字母，有两个字母时，不要代错.解：(1)当x=15，y=12时，2x+3y=2×15+3×12=66；(2)当x=1，y=122x+3y=2×1+3×12

例2根据下列a，b的值，分别求代数式a2-ba(1)a=4，b=12；(2)a=-3，b=2.解：(1)当a=4，b=12时，a2-ba

=42-12(2)当a=-3，b=2时，a2-ba

=(-3)2-2因为代数式的值是由所含字母的取值确定的，所以在代入字母的值之前，必须写出“当……时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求得的.总结提升求代数式的值的一般步骤：(1)写出条件：当……时；(2)抄写代数式；(3)代入：用给定的数代替代数式中相应的字母。(4)计算：按照代数式中指明的运算，计算出代数式的值.【对应训练】教材P80练习第1，2题.四、实际应用科技改变生活.刘伟是一名摄影爱好者，他最近新入手了一台如图所示的无人机进行航拍，刘伟将这台无人机放在距离地面1.5m的台子上，以ɑm/s的速度匀速上升40s后进行拍照，然后以（b-2）m/s的速度匀速下降25s后进行第二次拍照.（1）用代数式表示无人机两次拍照时距地面的高度；（2）当ɑ=12，b=10时，求无人机第二次拍照时距地面的高度.解：（1）第一次拍照时距地面的高度是（1.5+40ɑ）m，第二次拍照时距地面的高度是[（1.5+40ɑ）-25（b-2）]m.（2）当ɑ=12，b=10时，（1.5+40ɑ）-25（b-2）=（1.5+40×12）-25×（10-2）=281.5.因此，无人机第二次拍照时距地面的高度为281.5m.【对应训练】教材P80练习第3题.五、课堂练习1.根据下面a，b的值，求代数式a2+b2和(a+b)2的值.(1)a=12，b=12；(2)a=4，b2.已知x-2y=3，则代数式6-2x+4y的值为0.解析：本题采用整体代入法6-2x+4y=6-2(x-2y)因为x-2y=3，将其整体代入得:6-2x+4y=6-2×3=0六、课堂总结一起回顾本节课所学主要内容，回答以下问题：1.什么是代数式的值？你会把具体数代入某个代数式进行求值吗？2.代数式求值时要注意运算符号和运算顺序，你能举例说明吗？3.字母的取值和代数式的值之间有何联系？你能对特定问题下某个字母的值和对应代数式的值的实际意义进行解释吗？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：3.2代数式的值（2）教学目标1.能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值.2.掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力.重点难点几何中的代数式求值.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、新知探究有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.例如，在行程问题中，用s表示路程，v表示速度，t表示时间，就可以得到路程公式s=vt，它表示了路程、速度、时间这三个量之间的关系，知道v，t的值，就可以利用公式求出s的值.在小学，我们学习过许多公式，如长方形、正方形、三角形、梯形、圆等图形的面积公式，长方体、正方体等图形的体积公式，等等.在解决有关问题时，经常用这些公式进行计算.实际问题中常见的数量关系和学过的公式是列代数式并代入求值的常用计算关系式。二、合作探究探究点几何中的代数式求值我们刚刚在活动一中回忆了一些几何相关公式，在解决有关问题时，经常用这些公式进行计算.我们来看下面两个例题：例1（教材P80例3）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为ɑ，半圆形弯道的直径为b.（1）用代数式表示这条跑道的周长；（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，求这条跑道的周长（π取3.14，结果取整数）.引导提问：①跑道的周长是由哪些部分组成的？跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度组成的.②如何求出两段弯道的长度和？两段弯道的长度和即为圆的周长，由圆的周长公式即可求得结果.解：（1）两段直道的长为2ɑ；两段弯道组成一个圆，它的直径为b，周长为πb.因此，这条跑道的周长为2ɑ+πb.（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，2ɑ+πb=2×67.3+3