理学简谐振动

教学基本要求:

一

掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系。

二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。

三

掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。

四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点。

五

了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律。2026/9/131机械振动机械振动(mechanicalvibration)：物体在一固定位置附近作往复运动。特点：有平衡点，且具有重复性。

振动的形式多种多样。简谐振动是最简单、最基本的，存在于许多物理现象中。广义地说，任何一个物理量（如电压、电流、功率等）在某一量值附近的反复变化都可以称为振动。机械振动是其它形式振动的基础。

复杂的振动都可以分解为若干简谐振动。反过来，若干简谐振动可以叠加为复杂的振动。2026/9/132§9-1简谐振动(simpleharmonicmotion:SHM)的描述

以弹簧振子为例，它由劲度系数为k，质量不计的轻弹簧和质量为m的物体组成，弹簧一端固定，另一端连接物体。当物体在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度内的弹性力作用时，物体将作简谐振动，物体受到的合外力为：回复力：与位移成正比而反向的力平衡位置：物体所受合力为零的位置2026/9/1332、简谐振动的运动学特征:

1)、

位移是时间的余弦或正弦函数。由谐振动的动力学方程:

可求得位移与时间的函数关系

A、j

为积分常数，可由初始条件确定。

由牛顿第二定律得

1、简谐振动的动力学特征物体所受合外力与位移成正比而反向。运动方程2026/9/1342)、速度、加速度与时间的关系

速度、加速度也是余弦或正弦函数，最大值分别为：2026/9/135图图图取2026/9/136振幅、频率和周期、相位和初相。(1)、振幅(amplitude):A

振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。反映振动的强弱（能量）。周期T：谐振子作一次全振动所需的时间。每隔时间T运动完全重复一次，反映振动快慢。(时间的周期不同于相位的周期）（2）、频率(frequency)和周期T(period)3、描述谐振动的物理量2026/9/137角频率（圆频率）w

：表示2p

秒内全振动的次数。单位：弧度/秒

振动频率：单位时间内振动的次数。对弹簧振子：固有周期、固有频率(naturalfrequency)

：由系统自身固有性质所决定的周期和频率。2026/9/138（3）、相位、初相位相位(phase)：（又名位相、周相）初相位：

t=0时的相位，决定初始时刻（开始计时）振子的运动状态。

描述运动的状态。相位一定，运动状态（位移、速度）就确定了（举例）。相同的运动状态对应的相位差为的整数倍。2026/9/139两个同频率的简谐振动的相位差：一般要求同相2026/9/1310反相2026/9/1311加速度比速度相位超前p/2；速度比位移的位相超前p/2。因此，a与x反相。2026/9/1312已知：t=0，物体的初始位移，初始速度为对一定的振动系统由初始条件决定注意：初相必须由x0、v0共同决定。4、振幅和初相的确定2026/9/1313§9-2简谐振动的矢量图表示法：

旋转矢量法(rotatingvector)旋转矢量：长度一定，绕其一端逆时针匀

速转动的矢量。2026/9/1314

以

为原点，旋转矢量的端点在轴上投影点的运动为简谐运动。时2026/9/1315

旋转矢量的端点在轴上投影点的运动为简谐运动。2026/9/13162026/9/13172026/9/1318用旋转矢量表示相位关系

反相

同相用旋转矢量法表示简谐振动形象、直观，一目了然。2026/9/1319利用旋转矢量法确定初位相已知（1）

确定位移（2）过P点作x轴垂线，交圆与M点和N点（3）根据，确定旋转矢量OM（4）OM与x轴夹角为初位相OMNPX则初位相为：2026/9/1320例:如图m=2×10-2kg,

弹簧的静止形变为

l=9.8cm。

t=0时，x0=-9.8cm,v0=0。（1）

证明其振动为简谐振动；取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写出振动方程，并计算振动频率。解：⑴确定平衡位置

mg=kl

取为原点。k=mg/l

。令向下有位移x,则f=mg-k(l+x)=-kx

作谐振动设振动方程为xOmx2026/9/1321由初始条件得由x0=Acos

0=-0.098<0

cos

0<0,取

0=振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m2026/9/1322(2)按题意t=0时x0=0，v0>0x0=Acos

0=0,cos

0=0

0=/2,3

/2v0=-A

sin>0,sin

0<0,取

0=3

/2

x=9.810-2cos(10t+3

/2)m对同一谐振动取不同的计时起点

不同，但、A不变固有频率2026/9/1323例、简谐运动曲线x-t如图，试写出此运动的运动方程解：由图可以看出：所以2026/9/1324用旋转矢量法确定初相已知Ox旋转矢量只能位于第二象限，与x轴夹角为根据以上所得，简谐运动方程为2026/9/1325一单摆令时§9-3单摆和复摆2026/9/1326*二复摆令（点为质心）2026/9/1327三简谐运动的描述和特征4）加速度与位移成正比而方向相反2）简谐运动的动力学描述3）简谐运动的运动学描述复摆弹簧振子单摆1）物体受线性回复力作用平衡位置2026/9/1328单摆补充：弹簧串并联的倔强系数k1k2F串联并联2026/9/1329思考：弹簧是串联还是并联？2026/9/1330例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量