15.3.2 等边三角形（第1课时）

10/15第十五章轴对称15.3等腰三角形15.3.2等边三角形第1课时一、教学目标【知识与技能】1.探索等边三角形的性质和判定;2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.【过程与方法】经历用数学思想和方法研究数学问题.【情感、态度与价值观】积极参与数学学习活动,增强对数学的好奇心和求知欲.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 等边三角形的概念、性质和判定.【教学难点】 等边三角形判定定理的探究与证明,并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。学生：三角尺、直尺、圆规。六、教学过程（一）导入新课图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？（出示课件2）我们知道底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形,那么等边三角形除了具有等腰三角形的性质外,还有哪些特殊的性质呢?（二）探索新知1.创设情境，探究等边三角形的性质教师问1：小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？（出示课件4）学生讨论后回答：如下图：教师问2：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形有哪些性质呢？（出示课件5）学生回答：等边三角形的三条边都相等.教师问3：等腰三角形有哪些性质？学生讨论后回答：教师整理如下图：（出示课件6）教师问4：等边三角形的三个角之间有什么关系？（出示课件7）学生回答：猜想等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.教师问5：如何证明猜想的正确性呢？学生小组内讨论，然后回答，教师订正后得到：（出示课件8）已知：AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.教师问6：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？（出示课件9）学生动手作图后回答：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，等边三角形有3条对称轴.教师总结点拨：如下表：（出示课件10）例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．（出示课件11）师生共同解答如下：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.教师总结点拨：（出示课件12）解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.出示课件13，学生独立思考后解答，教师给出答案.例2：△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？（出示课件14）师生共同解答如下：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.教师总结点拨：（出示课件15）此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.出示课件16，学生独立思考后解答，教师给出答案.2.探究等边三角形的判定方法教师问7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？学生回答：三条边相等的三角形是等边三角形.教师问8：三个角都相等的三角形是等边三角形吗？学生回答：学生猜想是等边三角形.教师问9：如何证明猜想的正确性呢？学生讨论后回答：在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.师生共同解答如下：证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC,同理可得BC=AB,AB=AC.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.教师问10：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？学生讨论后回答：需要分情况证明.教师问11：分哪些情况呢？学生回答：等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.教师问12：当等腰三角形的顶角是60°时，如何证明呢？学生回答：因为三角形的内角和是180°，当顶角是60°时，等腰三角形的两个底角相等，所以每个底角是60°，也就是三个角都是60°，所以是等边三角形.教师问13：当等腰三角形的一个底角是60°时，如何证明呢？学生回答：因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是60°，因为三角形的内角和是180°，所以顶角为180°-60°-60°=60°，所以每个角都是60°，所以是等边三角形.教师问14：从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗？学生回答：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.教师总结点拨：（出示课件17）图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.出示课件18，学生讨论后解答，教师给出答案.例3：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.（出示课件19）师生共同解答如下;证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.出示课件20-22，学生独立思考后解答，教师给出答案.例4：在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．（出示课件23）师生共同解答如下：解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等边三角形．教师总结点拨：（出示课件24）判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.出示课件25，学生独立思考后解答，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件27-33）1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是______________cm.

5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于点F．求证：△AEF≌△BEC．6如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.

7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．

(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；

(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．

参考答案：1.B2.D3.B4.125.证明：∵△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=60°.

∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，

∴∠EBC=180°–90°–30°=60°.∴∠FAE=∠EBC．

∵E为AB的中点，∴AE=BE．

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF≌△BEC（ASA）．

6.解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.

∵A,O,D三点共线，

∴∠DOB=∠COA=120°.

∴△COA≌△DOB(SAS).

∴∠DBO=∠CAO.

设OB与EA相交于点F,

∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.

7.解：(1)AN＝BM.

∵△ACM与△CBN都是等边三角形，

∴AC＝MC，CN＝CB，

∠ACM＝∠BCN＝60°.

∴∠ACN＝∠MCB.

∴△ACN≌△MCB(SAS)．

∴AN＝BM.(2)△CEF是等边三角形．

证明：∵∠ACE＝∠FCB=60°，∴∠MCF=60°.∴∠ACE=∠MCF.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA).∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都是60°.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（五）课前预习预习下节课（15.3.2）教材第83页相关内容。知道含30°角的直角三角形的性质.七、课后作业1、教材82页练习第1,2题，教材第84-86页习题15.3第5，10，11题.2、如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AD=BD,E为DC中点.(1)求∠CBD的度数.(2)△BDE是等边三角形吗?为什么?八、板书设计：九、教学反思：1.本节课主要引导学生明确等边三角形是特殊的等腰三角形,满足等腰三角形的所有性质,让学生在这个探究过程中,自主探索、合作交流,以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考,促使学生逐渐形成方法,形成技能.2.本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形.学习等边三角形的定义、性质和判定，体会等边三角形的特征，三条边相等，三个角也相等，都是60度.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点