16.1.2 幂的乘方与积的乘方（第2课时）

8/10第十六章整式的乘法16.1幂的运算

161.2幂的乘方与积的乘方第2课时一、教学目标【知识与技能】探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.【过程与方法】经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.【情感、态度与价值观】培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 积的乘方运算法则的理解及其应用.【教学难点】积的乘方推导过程的理解和灵活运用. 五、课前准备 教师：课件、计算器等。学生：计算器。六、教学过程（一）导入新课若已知一个正方体的棱长为2×103cm,你能计算出它的体积是多少吗？学生思考后列式：V=（2×103）3（cm3）教师提出问题：底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究积的乘方的法则教师问1：请同学们完成下面的题目计算：(1)x2·x5；(2)y2n·yn＋1；(3)(x4)3；(4)(a2)3·a5.学生回答：（1）x7.（2）y3n+1.（3）x12.（4）a11.教师问2：同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是什么？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；am·an=am+n(m，n都是正整数).

幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.(am)n=amn(m,n都是正整数).教师问3：地球半径约为6.4×103km，球的体积计算公式为：V=43πr3学生独立思考并口答：体积应是V＝43π(6.4×103)3km3教师问4：结果是幂的乘方形式吗？学生讨论后回答：底数是6.4和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看不是幂的乘方.教师讲解：如何运算呢？本节课我和同学们一起来探究积的乘方的运算.教师问5：计算：（3×4）2和32×42，看一下他们的结果，你发现了什么？学生计算后回答：它们的结果相等，即（3×4）2=32×42出示课件5-6，学生独立思考后解答，教师给出答案.教师问6：下列两题有什么特点？(出示课件7)（1）（ab）2；（2）（ab）3学生回答：底数为两个因式相乘，积的形式.

教师问7：你猜想一下它们的结果是多少呢？学生回答：(ab)2＝a2b2，则(ab)3＝a3b3，教师问8：你能证明上边的猜想吗？（出示课件8）学生讨论并回答：（ab）2=（ab）·(ab)(乘方的意义)=(aa)·(bb)(乘法交换律、结合律)=a2b2(同底数幂相乘的法则)同理：

（ab）3=（ab）·(ab)·(ab)(乘方的意义)=(aaa)·(bbb)(乘法交换律、结合律)=a3b3(同底数幂相乘的法则)教师问9：同学们试着猜想一下：(ab)n=?（出示课件9）学生猜想：(ab)n=anbn.教师问10：你能用你学过的知识验证你的猜想吗？从运算结果看能发现什么规律？师生共同讨论后解答如下：因此可得：(ab)n=anbn(n为正整数).

教师总结：得到结论：（出示课件10）积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.教师问11：前面提出问题中正方体的体积V＝(2×103)3它不是最简形式，根据发现的规律如何计算呢？学生解答：可作如下运算：V＝(2×103)3＝23×(103)3＝23×103×3＝8×109cm3.教师问12：三个或三个以上的积的乘方等于什么？

学生讨论后回答：三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如(abc)n＝an·bn·cn(n是正整数)；教师讲解：积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏掉乘方出现错误.教师问13：积的乘方的法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，把等式的左右两边一换可以得到：an·bn＝(ab)n(n为正整数).这样成立吗？师生共同讨论后解答如下：积的乘方法则可以进行逆运算.即：an·bn＝(ab)n(n是正整数).总结点拨：分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变.例1：计算:（出示课件11）(1)(2a)3；(2)(–5b)3；(3)(xy2)2；(4)(–2x3)4.

师生共同解答如下：解：(1)原式=23a3=8a3.(2)原式=(–5)3b3=–125b3.

(3)原式=x2(y2)2=x2y4.(4)原式=(–2)4(x3)4y4=16x12y4.

总结点拨：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．出示课件12-13，学生独立思考后解答，教师给出答案。例2计算:（出示课件14）

(1)–4xy2·(xy2)2·(–2x2)3；

(2)(–a3b6)2＋(–a2b4)3.

师生共同解答如下：解：(1)原式=–4xy2·x2y4·(–8x6)=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4

=32x9y6.(2)原式=a6b12+(–a6b12)=[1+(–1)]a6b12=0总结点拨：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．例3：如何简便计算(0.04)2025×[(–5)2025]2?（出示课件15）师生共同解答如下：解法一：(0.04)2025×[(–5)2025]2=(0.22)2025×54050

=(0.2)4050×54050

=(0.2×5)4050

=14050

=1.解法二：(0.04)2025×[(–5)2025]2=(0.04)2025×[(-5)2]2025=(0.04)2025×252025

=(0.04×25)2025

=12025

=1.教师总结点拨：（出示课件16）①逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为符合公式的形式．②一般转化为底数乘积是一个正整数,再进行幂的计算较简便.出示课件17，学生独立思考后解答，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件19-23）1.计算(–x2y)2的结果是()

A．x4y2B．–x4y2

C．x2y2D．–x2y22.下列运算正确的是()

A.x•x2=x2B.(xy)2=xy2

C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4

3.计算：(1)82025×0.1252024=________;

(2)（-3）2025×（-13）2024=________;

(3)(0.04)2025×[(–5)2025]2=________.

(1)(ab2)3=ab6()(2)(3xy)3=9x3y3()(3)(–2a2)2=–4a4()(4)–(–ab2)2=a2b4()

5.计算:

(1)(ab)8;(2)(2m)3;(3)(–xy)5;

(4)(5ab2)3;(5)(2×102)2;(6)(–3×103)3.

6.计算:(1)2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7;

(2)(3xy2)2+(–4xy3)·(–xy);

(3)(–2x3)3·(x2)2.

7.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m,n的值.参考答案：1.A2.C3.（1）8（2）-3（3）14.（1）×（2）×（3）×（4）×5.解：(1)原式=a8b8.

(2)原式=23·m3=8m3.(3)原式=(–x)5·y5=–x5y5.

(4)原式=53·a3·(b2)3=125a3b6.

(5)原式=22×(102)2=4×104.

(6)原式=(–3)3×(103)3=–27×109=–2.7×1010.

6.（1）解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7

=2x9–27x9+25x9=0.

（2）解：原式=9x2y4+4x2y4

=13x2y4.

（3）解：原式=–8x9·x4=–8x13.7.解：∵(an•bm•b)3=a9b15,

∴(an)3•(bm)3•b3=a9b15.

∴a3n•b3m•b3=a9b15.

∴a3n•b3m+3=a9b15.

∴3n=9,3m+3=15.

∴n=3,m=4.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:积的乘方法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数).使用范围：底数是积的乘方.方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.注意点：(1)注意防止符号上的错误；(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质；(3)积的乘方法则也可以逆用.（五）课前预习预习下节课（16.2）教材103页到105页的相关内容。知道单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则七、课后作业1、教材第101页练习第3题，教材第101页习题16.1第3题。2、阅读下列各式:(ab)2=a2b2,(ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4,…①归纳得(ab)n=;(abc)n=;

②计算4100×0.25100=;③应用上述结论计算:(-0.125)2024×22025×42023.八、板书设计：九、教学反思：1.本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.2.本节课的主要内容是积的乘方公式及其应用，由于在应用当中需要用到同底数幂的乘法和幂的乘方，也是为了引导学生回忆巩固前面的知识，所以在上新课之前先复习它们的法则.积的乘方公式的理解及应用是这节课的重点，首先要让学生理解这个公式，而要让学生理解这个公式，就要让学生理解积的乘方的含义.这组计算是以前的知识，学生能够比较轻松完成.然后引导学生推导(ab)3和(ab)n.导出性质后，要通过一些实例说明其表达式及语言叙述中每句话的含义，以使学生更好的理解，并能在理解的基础上会用它进行计算.因此在后面设计了几个例题，以便学生进一步理解公式.综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(88