16.2 整式的乘法（第3课时）

2/12第十六章整式的乘法

16.2整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时，共3课时四、教学重难点【教学重点】 应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 五、课前准备 教师：课件、计算器等。学生：练习本、钢笔或圆珠笔。六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.

想一想：上面的式子该如何计算?

（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1：请完成下面的题目：(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答：（1）28.（2）x10.（3）2m+n.教师问2：本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加.教师问3：思考下面的题该如何计算？(1)()()×23=28(2)x6·()()=x10(3)()()×2n=2m+n学生回答：可以把乘法法则反过来利用.教师问4：反过来就是我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答：（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5：能不能试着完成这些式子？计算：(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2m+n÷2n学生回答：(1)28÷23=25.(2)x10÷x6=x4.(3)2m+n÷2n=2m.教师问6：你是如何计算的呢？学生回答：本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问7：观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3.(2)x10÷x6=x4=x10-6.(3)2m+n÷2n=2m=2m-n.学生回答：底数不变，指数相减.教师总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8：以上法则能用字母表示吗？学生总结：am÷an＝am－n.教师问9：对指数有何要求吗？学生回答：m，n都是正整数，且m>n.教师总结：am÷an=am–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10：如何验证其正确性呢？学生回答：验证：因为am–n·an=am–n+n=am，所以am÷an=am–n.

教师问11：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答：对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12：计算：am÷am学生计算am÷am时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).教师问13：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答：因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.教师总结点拨：（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有

am÷an=am–n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)

即同底数幂相除，底数不变，指数相减.

规定：a0=1(a≠0)

这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1：计算：（出示课件7）

(1)x8÷x2;(2)(ab)5÷(ab)2.

师生共同解答如下：解：(1)x8÷x2=x8–2=x6.(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.

教师总结点拨：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．出示课件8，学生独立思考后解答，教师给出答案.

例2：已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下：解：∵am＝12，an＝2，a＝3，

∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.

教师总结点拨：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算．出示课件10，学生独立思考后解答，教师给出答案.

2.复习旧知，探究单项式除以单项式的法则教师问14：计算：4a2x3·3ab2（出示课件11）学生回答：4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15：计算：12a3b2x3÷3ab2学生讨论回答：解法1：12a3b2x3÷3ab2相当于求()·3ab2=12a3b2x3.

由(1)可知括号里应填4a2x3.

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.

理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.

教师问16：类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答：（1）2x2.（2）4n.教师问17：通过计算，你又发现什么规律？学生回答：单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.教师总结点拨：（出示课件12）单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3：计算：（出示课件13）(1)(28x4y2)÷(7x3y)；(2)(–5a5b3c)÷(15a4b).

师生共同解答如下：解:(1)原式=(28÷7)x4–3y2–1=4xy.(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=-13ab2教师总结点拨：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.

出示课件14-15，学生独立思考后解答，教师给出答案.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问18：一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答：面积为(a+b)m=ma+mb.教师问19：若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？

学生回答：长为(ma+mb)÷m.教师问20：如何计算(am+bm)÷m?（出示课件17）学生讨论后回答：计算(am+bm)÷m就相当于求()·m=am+bm，教师问21：（）填什么呢？学生回答：a+b教师问22：am÷m+bm÷m=？学生回答：a+b教师问23：观察上边的问题，你发现了什么？学生回答：(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m

教师问24：计算下列各式：(1)(ax＋bx)÷x;(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答：(1)a+b.(2)a+b.(3)2x+y.教师问25：说你是怎样计算的？学生回答：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问26：它们的项数之间有什么发现吗？师生活动：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.教师问27：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问28：你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答：(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.

关键：

应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4：计算：(12a3–6a2+3a)÷(3a).（出示课件19）

师生共同解答如下：解：(12a3–6a2+3a)÷(3a)=(12a3)÷(3a)-(6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a)=4a2–2a+1.教师总结点拨：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.出示课件20，学生独立思考后，教师给出答案.例5：先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2025，y＝2024.（出示课件21）

师生共同解答如下：解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷(x2y)＝x–y.把x＝2025，y＝2024代入上式，得原式＝x–y＝2025–2024＝1.

出示课件22，学生独立思考后，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是()

A．(π–3.14)0没有意义

B．任何数的0次幂都等于1

C．(8×106)÷(2×109)＝4×103

D．若(x＋4)0＝1，则x≠–4

2.下列算式中，不正确的是()

A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4

B．9xmyn–1÷3xm–2yn–3＝3x2y2

C.4a2b3÷2ab＝2ab2

D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)

3.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为()

A．m=4，n=3B．m=4，n=1

C．m=1，n=3D．m=2，n=3

4.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.

5.已知一多项式与单项式–7x5y4的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.

6.计算：(1)(6a3)÷(2a2)；(2)(24a2b3)÷(3ab)；

(3)(–21a2b3c)÷(3ab);(4)(14m3–7m2+14m)÷(7m).

7.先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.

8.（1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;

（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;

（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．

参考答案：1.D2.D3.A4.a+25.–3y3+4xy6.解：(1)(6a3)÷(2a2)

=(6÷2)(a3÷a2)

=3a.

(2)(24a2b3)÷(3ab)

=(24÷3)a2–1b3–1

=8ab2.

(3)(–21a2b3c)÷(3ab)

=(–21÷3)a2–1b3–1c

=–7ab2c.

(4)(14m3–7m2+14m)÷(7m)

=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m

=2m2–m+2.

7.解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2

＝–x2＋3y2.

当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8.解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3.

(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．

(3)∵2x–5y–4=0，∴2x–5y=4．

∴4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（16.3.1）的相关内容。了解平方差公式七、课后作业1、教材第109页练习第1,2,3题2、某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?八、板书设计：九、教学反思：1.本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则，使学生通过类比，利用乘除互为逆运算的关系，自主探究完成单项式除以单项式，多项式除以单项式法则的推导.实践证明，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构基础上，建构整式的除法法则.同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率.2.本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab