第1课时　用直接开平方法解一元二次方程

25.2降次——解一元二次方程25．2.1配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程教师备课素材示例●归纳导入如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值．【分析】这个正方形的边长是xm．由题意列方程，得x2－7＝9.【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？解：由题意，得x2－7＝9.x2＝16.根据平方根的意义，得x＝±eq\r(16)＝±4，∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4.∵边长不能为负数，∴x＝4.∴x的值是4.【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解．●复习导入(1)如果x2＝a，那么x叫作a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫作开平方．非负数a的平方根为__±eq\r(a)__，非负数a的算术平方根为__eq\r(a)__．(2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3eq\r(2)__；若x2＝5，则x＝__±eq\r(5)__.【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法．命题角度用直接开平方法解一元二次方程形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±eq\r(p)；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±eq\r(p).【例1】解下列方程：(1)(x－2)2－13＝108；解：移项、合并同类项，得(x－2)2＝121.由此可得x－2＝±11.x－2＝11，或x－2＝－11.即x1＝13，x2＝－9.(2)x2＋10x＋25＝2.解：(x＋5)2＝2，由此可得x＋5＝±eq\r(2)，x＋5＝eq\r(2)，或x＋5＝－eq\r(2).即x1＝eq\r(2)－5，x2＝－eq\r(2)－5.【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9【例3】若4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__．高效课堂教学设计1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．▲重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．▲难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．◆活动1新课导入求下列各数的平方根：(1)144；(2)eq\f(36,49).解：±eq\r(144)＝±12.解：±eq\r(\f(36,49))＝±eq\f(6,7).◆活动2探究新知教材P5第1个探究．提出问题：(1)(__±eq\r(5)__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？(4)上述所解方程有什么共同点？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)__；(2)当p＝0时，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程__无__实数根．提出问题：(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？(2)请谈谈如何降次．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__一元一次__方程．◆活动4例题与练习例1解下列方程：(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.解：(1)x1＝6，x2＝－6.(2)y1＝5eq\r(2)，y2＝－5eq\r(2).(3)p1＝eq\f(\r(5),4)，p2＝－eq\f(\r(5),4).例2解下列方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；(2)y2－4y＋4＝8；(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.解：(1)由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5.由此可得2x－1＝±eq\r(5)，2x－1＝eq\r(5)，或2x－1＝－eq\r(5)，即x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2).(2)原方程可化为(y－2)2＝8.由此可得y－2＝±2eq\r(2)，y－2＝2eq\r(2)，或y－2＝－2eq\r(2)，即y1＝2＋2eq\r(2)，y2＝2－2eq\r(2).(3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2.由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，即x1＝－eq\f(5,3)，x2＝－eq\f(1,15).例3已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2.∴原方程为(x－3)2＝9，解得x1＝6，x2＝0.∴另一个根为x＝0.练习1．教材P6练习．2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为(C)A．2B．－2C．±2D．不能确定3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(A)A．8B．8或－2C．－2D．284．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±eq\f(1,2)__．◆活动5课堂小结1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±eq\r(p)，再解两个一次方程即可求得解．2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．1．作业布置(1)教材P17习题25.2第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是()A.2 B.-2 C.±2 D.±42.若点(2,5),(4,5)在抛物线y=ax2+bx+c上,则它的对称轴是直线()A.x=-ba B.x=1 C.x=2 D.x=3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=05.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则(x1-xA.1 B.12 C.13 D.256.在正数范围内定义一种新运算“*”,其运算规则是a*b=2(a+b)-3ab,根据这个规则,方程x*(x+1)=0的解是()A.x=23 B.x=C.x=-23或x=1 D.x=23或7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567…h08141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(A.1 B.2 C.3 D.48.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2,其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b=.

10.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.当所围矩形鸡舍的长为m、宽为m时,鸡舍面积为80m2.

11.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是.

12.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为.

13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.

三、解答题14.已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为P.(1)求A,B,P三点的坐标;(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.15.菜农小李种植的某蔬菜计划以5元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.小李为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以3.2元/千克的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)王叔叔准备到小李处购买5吨该蔬菜,因数量多,小李决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问王叔叔选择哪种方案更优惠?请说明理由.16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求实数k的值.17.如图,某小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C章综合训练一、选择题1.C将x=4代入方程,得16-3×4=a2,解得a=±2.2.D3.D4.D由题意,得Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.5.C6.B根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x2-x-2=0,解得x1=-23,x2=1由题意,知x>0,所以x=1,故选B.7.B由题意,设抛物线的解析式为h=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,故h=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,所以足球距离地面的最大高度为20.25m,①错误.所以抛物线的对称轴为直线t=4.5,②正确.当t=9时,h=0,即足球被踢出9s时落地,③正确.当t=1.5时,h=11.25,④错误.综上所述,正确的有②③.故选B.8.B如题图所示,图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;因为图象开口向上,所以a>0,因为对称轴在y轴右侧,所以a,b异号,所以b<0,因为图象与y轴交于x轴下方,所以c<0,所以abc>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c>0,故③错误;因为二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点纵坐标为-2,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0,即ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根,则m>-2,故④正确.二、填空题9.-410.108设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的另一边长为(26-2x)m,依题意,得x(26-2x)=80,解得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=16>12(舍去);当x=8时,26-2x=10<12.故矩形鸡舍的长为10m,宽为8m.11.-512.1设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理得m2-1=0,解得m=1或m=-1(舍去),所以m的值为1.13.318设运动时间为ts(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×12t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,所以当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18cm2三、解答题14.解(1)令y=0,解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3,则A(1,0),B(3,0).将y=-x2+4x-3配方得y=-(x-2)2+1,得顶点P(2,1).(2)如图,当1<x<3时,y>0.(3)由题意列方程组y转化为一元二次方程,得x2-6x+9=0,由Δ=0,可知方程的两根相等,因此抛物线与直线有唯一的公共点.15.解(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2.解得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.(2)王叔叔选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9