第3课时　循环、数字与销售问题

第3课时循环、数字与销售问题教师备课素材示例●情景导入同学们，咱们学校马上要举办足球“主客场双循环联赛”啦——每两支球队要在主场、客场各踢1场比赛．比如七(1)班和(2)班，既要在(1)班的场地踢，也要去(2)班的场地踢．昨天体育委员说：“要是有5支球队参赛，我算出来总共有20场比赛！”你们觉得他算对了吗？(停顿，等学生计算)对啦，5支球队的话，总场数是5×4＝20场，这个公式“n(n－1)”就是双循环比赛的场次计算方法。那如果有人说“这次联赛总场数是300场”，这个数合理吗？今天咱们就用一元二次方程来揭秘这个问题的答案．【教学与建议】教学：以实际问题为背景导入，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学的应用价值．建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望．●置疑导入1.主客场双循环和我们平时踢的单场友谊赛有什么不一样？2．如果有3支球队进行双循环比赛，每两队踢2场，大家算一算一共要踢多少场？3．如果有n支球队，你能不能试着推导一下双循环的总场次公式？【教学与建议】教学：引导学生思考循环比赛场次的计算逻辑，讲解双循环场次的建模方法，并结合一元二次方程求解与实际意义验证，让学生掌握“实际问题→数学建模→求解验证”的解题思路．建议：采用提问学生的方式进行，通过“猜想→追问→验证”的互动，引导学生自主发现“球队数需为正整数”的实际约束，强化对解的合理性判断．命题角度1循环问题注意单循环问题和双循环问题的区别与联系．【例1】(1)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝45B．eq\f(1,2)x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝45(2)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(D)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝1640B．x(x＋1)＝1640C．2x(x＋1)＝1640D．x(x－1)＝1640命题角度2数字问题常见类型有整数的和差倍分，列一元二次方程来求解．【例2】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位上的数字的平方正好等于这个两位数，求这个两位数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3).根据题意，得x2＝x＋10(x－3).解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，x－3＝2.当x＝6时，x－3＝3.答：这个两位数是25或36.命题角度3商品营销问题销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝eq\f(利润,进价)×100%；④售价＝标价×eq\f(打折数,10)＝进价×(1＋利润率)．【例3】(1)某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需要降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天的销售利润为750元，每件商品应降价(D)A．2元B．2.5元C．3元D．5元(2)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x元．根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x1＝10，x2＝20.∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x＝20，∴每件童装应定价为100－20＝80(元).答：每件童装应定价80元．欧拉帮忙算鸡蛋一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，我们两人所带的鸡蛋数虽不同，但是卖得的钱数一样．”第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得6eq\f(2,3)个铜板．”欧拉想了想说：“你(指着第一个农妇)有40枚鸡蛋，你(指着第二个农妇)有60枚鸡蛋．”欧拉是这样想的：设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了(100－x)个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为eq\f(15,100－x)与eq\f(20,3x)，由于二人卖得的钱数相同，故有方程eq\f(15x,100－x)＝eq\f(20(100－x),3x)，整理，得x2＋160x－8000＝0，解得x＝40或x＝－200(舍去).故第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．实际上，欧拉是利用方程的思想解决了这个实际问题，如果换成是你，是否会被这两个卖鸡蛋的妇人难住？高效课堂教学设计1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关循环等问题．2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．▲重点列一元二次方程解决循环、数字、销售等问题．▲难点探究循环问题中的等量关系．◆活动1新课导入用含x的代数式表示两个连续偶数(或奇数)__2x，2x＋2(或2x－1，2x＋1)__，表示三个连续整数__x－1，x，x＋1__；个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c的三位数是__100c＋10b＋a__；n个球队参加足球比赛，采用双循环制，主办方一共需要安排__n(n－1)__场比赛．◆活动2探究新知教材P23探究3.提出问题：(1)双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行几场比赛？(2)如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数是多少？◆活动3知识归纳循环问题分两种：对于n支队伍，单循环比赛的总场数为eq\f(1,2)n(n－1)，双循环比赛的总场数为n(n－1).◆活动4例题与练习例1“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求共有多少支参赛队伍．解：设共有x支参赛队伍．依题意，得eq\f(x(x－1),2)＝120.整理，得x2－x－240＝0.解得x1＝16，x2＝－15(不合题意，舍去).答：共有16支参赛队伍．例2两个数的和是14，积是33，求这两个数．解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x.由题意，得x(14－x)＝33.整理，得x2－14x＋33＝0.解得x1＝3，x2＝11.即这两个数分别为3，11.练习1．教材P24习题25.3第3题．2．若两个相邻正偶数的积是224，则这两个正偶数的和为(B)A．16B．30C．32D．343．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了2450张卡片，求班级学生人数．解：设班级学生人数为x人．依题意，得x(x－1)＝2450.整理，得x2－x－2450＝0.解得x1＝50，x2＝－49(不合题意，舍去).答：班级学生人数为50人．◆活动5课堂小结1．一元二次方程在循环、数字等问题中的运用．2．区分单循环与双循环的含义．1．作业布置(1)教材P27复习题25第2，8题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是()A.2 B.-2 C.±2 D.±42.若点(2,5),(4,5)在抛物线y=ax2+bx+c上,则它的对称轴是直线()A.x=-ba B.x=1 C.x=2 D.x=3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=05.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则(x1-xA.1 B.12 C.13 D.256.在正数范围内定义一种新运算“*”,其运算规则是a*b=2(a+b)-3ab,根据这个规则,方程x*(x+1)=0的解是()A.x=23 B.x=C.x=-23或x=1 D.x=23或7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567…h08141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(A.1 B.2 C.3 D.48.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2,其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b=.

10.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.当所围矩形鸡舍的长为m、宽为m时,鸡舍面积为80m2.

11.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是.

12.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为.

13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.

三、解答题14.已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为P.(1)求A,B,P三点的坐标;(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.15.菜农小李种植的某蔬菜计划以5元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.小李为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以3.2元/千克的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)王叔叔准备到小李处购买5吨该蔬菜,因数量多,小李决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问王叔叔选择哪种方案更优惠?请说明理由.16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求实数k的值.17.如图,某小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C章综合训练一、选择题1.C将x=4代入方程,得16-3×4=a2,解得a=±2.2.D3.D4.D由题意,得Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.5.C6.B根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x2-x-2=0,解得x1=-23,x2=1由题意,知x>0,所以x=1,故选B.7.B由题意,设抛物线的解析式为h=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,故h=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,所以足球距离地面的最大高度为20.25m,①错误.所以抛物线的对称轴为直线t=4.5,②正确.当t=9时,h=0,即足球被踢出9s时落地,③正确.当t=1.5时,h=11.25,④错误.综上所述,正确的有②③.故选B.8.B如题图所示,图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;因为图象开口向上,所以a>0,因为对称轴在y轴右侧,所以a,b异号,所以b<0,因为图象与y轴交于x轴下方,所以c<0,所以abc>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c>0,故③错误;因为二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点纵坐标为-2,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0,即ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根,则m>-2,故④正确.二、填空题9.-410.108设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的另一边长为(26-2x)m,依题意,得x(26-2x)=80,解得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=16>12(舍去);当x=8时,26-2x=10<12.故矩形鸡舍的长为10m,宽为8m.11.-512.1设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理得m2-1=0,解得m=1或m=-1(舍去),所以m的值为1.13.318设运动时间为ts(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×12t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,所以当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18cm2三、解答题14.解(1)令y=0,解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3,则A(1,0),B(3,0).将y=-x2+4x-3配方得y=-(x-2)2+1,得顶点P(2,1).(2)如图,当1<x<3时,y>0.(3)由题意列方程组y转化为一元二次方程,得x2-6x+9=0,由Δ=0,可知方程的两根相等,因此抛物线与直线有唯一的公共点.15.解(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2.解得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答: