17.1 用提公因式法分解因式

1/11第十七章因式分解17.1用提公因式法分解因式一、教学目标【知识与技能】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】 因式分解的概念；提公因式法分解因式.【教学难点】正确理解因式分解的概念，准确找出公因式. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：直尺、练习本、铅笔、钢笔或圆珠笔.六、教学过程（一）导入新课在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究提公因式法分解因式教师问1：请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快.（出示课件4）(1)20×(－3)2＋60×(－3)；(2)1012－992；(3)572＋2×57×43＋432.学生回答：如下：解：方法一：(1)20×(﹣3)2＋60×(﹣3)=20×9﹣180=180﹣180=0；(2)1012－992=10201-9801=400；(3)572＋2×57×43＋432=3249+4902+1849=8151+1849=10000.方法二：(1)20×(-3)2＋60×(-3)=-3×[20×(-3)+60]=-3×[-60+60]=0；(2)1012－992=（101+99）×（101-99）=200×2=400；(3)572＋2×57×43＋432=3（57+43）2=1002=10000.教师问2：上边两种方法，哪一种简单呢？学生回答：方法二简单.教师讲解：在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.(板书课题)教师问3：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分怎样计算？（出示课件5）pp(a+b+c)①和pa+pb+pc②教师问4：我们知道上述两式是相等的.从整式运算的角度看，从②式到①式就是上一章我们学习的整式的乘法运算；从①式到②式，相当于把一个多项式写成两个整式的乘积.这种变形叫什么呢？教师问5：请同学们运用整式乘法法则或公式填空：（出示课件6）(1)p(a+b+c)=____________________；(2)(x+1)(x–1)=___________________；(3)(a+b)2=______________________.学生回答：(1)p(a+b+c)=pa+pb+pc；(2)(x+1)(x–1)=x2－1；(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.教师问6：根据等式的性质填空：(1)pa+pb+pc=()()(2)x2–1=()()(3)a2+2ab+b2=()2学生回答：(1)pa+pb+pc=(p)(a+b+c)(2)x2–1=(x+1)(x-1)(3)a2+2ab+b2=(a+b)2教师问7：比一比，这些式子有什么共同点？学生讨论后回答：左边是多项式，右边是多相式的乘积.教师总结：（出示课件7）把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.教师问8：你认为因式分解与整式乘法有什么关系？（出示课件8）学生思考回答，师生共同解答如下：因式分解与整式乘法是互逆变形关系，整式乘法是一种运算，而因式分解是对多项式的一种变形，不是运算.教师问9：pa+pb+pc=p(a+b+c)有何特征呢？学生回答：左边是多项式，右边是几个整式的乘积例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有()（出示课件9）①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个师生共同解答如下：因式分解是乘积的形式，①是和的形式，所以不是因式分解，②是因式分解，③是整式的乘法，④是因式分解.故选b.答案：B.总结点拨：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式乘积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．教师问10：观察下列多项式，它们有什么共同特点？（出示课件11）pa+pb+pc，x2＋x学生回答：前者的公共因式为p，后者的公共因式为x.教师总结如下：多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式.教师讲解：因为pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)，于是就把pa＋pb＋pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式p是各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.（出示课件12）教师问11：如何确定一个多项式的公因式？（出示课件13）师生共同解答如下：所以这个多项式的公因式是3x.教师问12：指出下列各多项式中各项的公因式：（出示课件14）(1)ax＋ay＋a；(2)3mx－6mx2；(3)4a2＋10ah；(4)x2y＋xy2；(5)12xyz－9x2y2.学生回答：（1）a；（2）3mx;(3)2a；（4）xy；（5）3xy教师问13：请学生观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？师生共同探究后解答如下：（出示课件15）找出多项式的公因式的正确步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.例1把下列各式分解因式.（出示课件16）(1)8a3b2+12ab3c；(2)2a(b+c)–3(b+c).师生共同解答如下：分析：提公因式法步骤(分两步)第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.解：(1)8a3b2+12ab3c（出示课件17）=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.(2)2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a–3).思考：如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.总结点拨：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.方法总结：（出示课件22）提取公因式分解因式的技巧：①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.例2计算：（出示课件23）(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.师生共同解答如下：解：(1)原式＝3×13×37–13×91＝13×(3×37–91)＝13×20＝260；(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14) ＝20.16×100＝2016.总结点拨：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．例3：已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．（出示课件25）师生共同解答如下：解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.总结点拨：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.（三）课堂检测（出示课件28-32）1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是()A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn22.把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是()A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是()A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)4.把下列各式分解因式：(1)m2–3m=；．(2)12xyz–9x2y2=_____________；(3)(x+2)x–x–2=___________；(4)–x3y3–x2y2–xy=_______________；(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01;(2)20132+2013–20142;(3)(–2)101+(–2)100.7.(1)已知:2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=128.△abc的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△abc的形状，并说明理由．参考答案：1.C2.D3.B4.（1）m(m–3)；（2）3xy(4z–3xy)；（3）(x+2)(x–1)；（4）–xy(x2y2+xy+1)；（5）(y–x)(2y–x)5.3a(x–y)26.解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98；(2)原式=2013×(2013+1)–20142=2013×2014–20142=2014×(2013–2014)=–2014．(3)原式=(–2)100×(–2+1)=2100×(–1)=–2100.7.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).当x=12时，原式=2×(2×18.解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0，(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，∴a–c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝–0.5(舍去)，∴△abc是等腰三角形．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.举例说明什么是因式分解.2.提公因式法分解因式如何确定公因式？要注意什么问题？3.下一节我们将继续学习因式分解，你认为应怎样进行学习？（五）课前预习预习下节课（17.2）128页的相关内容。知道利用平方差公式分解因式的方法.七、课后作业1、教材126页练习1,2，126~127页习题17.1.2、计算123×9871368+268×9871368+456×9871368+521×八、板书设计：九、教学反思：本节的内容是因式分解的概念,以及提公因式,学生刚学要通过练习正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系,进一步讨论明确.因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是一种变形的手段,是一种恒等变形,对于公因式的概念以及确定方法从小组探究、讨论找好确定方法,通过练习理解掌握.综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二