专题1.4基本不等式（8类必考点分类集训）2027年高考数学一轮复习（教师版）

专题1.4基本不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：由基本不等式比较大小】 2【考点2：由基本不等式证明不等关系】 4【考点3：基本不等式求积的最大值】 6【考点4：基本不等式求和的最小值】 8【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 10【考点6：基本不等式的恒成立问题】 12【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 15【考点8：基本不等式的实际应用】 18【考点1：由基本不等式比较大小】1．（25-26高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与18的大小（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.【详解】因为，所以，当且仅当a=2b且，即a=12且时，取等号．故选：A．2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若0<a<1，0<b<1，且，则a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是（A．2ab B． C．a2+b2【答案】A【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断.【详解】因为0<a<1，0<b<1，且，，，，由条件可知，，则，所以，即，所以四个数中最小的是2ab.故选：A3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（

）A． B．b C．c D．【答案】D【分析】由基本不等式可比较a,b，再比较即可得解.【详解】因为，且，所以，又，所以，故最大的是d.故选：D4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与b的最大值，若，y都是正数，，则z的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值.【详解】由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以z的最小值为.5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，a+b=1，则12，b，a2+bA． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】因为a+b=1，，所以，解得，同理可得，由，可得，又，可得，所以，因为，所以，所以，所以.【考点2：由基本不等式证明不等关系】1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确；因为，若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确；因为，若，则，故C正确；因为，若，不一定大于1，例如，故D不正确．2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数a,b满足a+b=2，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.【详解】选项A.由基本不等式，则，平方得，当且仅当a=b=1时等号成立，A正确.选项B.对a+b平方得，由A知，因此，因为，开方得，当且仅当a=b=1时等号成立，B正确.选项C.，由，所以，即，C错误.选项D.，因此，所以，D错误.3．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】利用作差法可判断AD；利用基本不等式可判断C；举反例可判断B.【详解】选项A：，因为，所以，又因为c2≥0，所以即.因此，A为真命题；选项B：取a=−3，b=−2，满足，计算得，ab=6，，显然不成立.因此，B为假命题；选项C：由基本不等式，得：（），两边取倒数得，再乘以得，由于，等号不成立，故.因此，C为真命题；选项D：由，得且，，即.因此，D为真命题.4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数，y，z满足，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可.【详解】设，则，，，因为，故选项A正确．因为，，所以，即，故选项B不正确．因为，故选项C正确．因为，故选项D正确．故选：ACD.5．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证：【答案】证明见解析【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.【详解】证明：因为，，所以，，令，，则当且仅当，即时等号成立；所以，当且仅当时，等号成立.【考点3：基本不等式求积的最大值】1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）设是满足的正数，则的最大值为______．【答案】50【分析】凑配用基本不等式求最值即可.【详解】由基本不等式得，当且仅当时取等号.故答案为：50.2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，b满足，则的最大值是__________．【答案】4【详解】因为a,b为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立；正实数a,b满足，得，代入上述不等式可得：，令，由得，不等式转化为：，整理得，即，因为，所以，因此，即，故，得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4.3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________．【答案】0.5/12【分析】利用基本不等式计算即可得解.【详解】因为a,b为正实数，，已知，则，所以.当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件.所以ab的最大值为12故答案为：124．（2026·广东湛江·二模）已知正数，y满足，则的最大值为______.【答案】12【详解】由，得，所以，当且仅当x=5，y=1时等号成立.5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知a,b为正实数，且直线与曲线相切，则2ab的最大值为__________.【答案】12【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.【详解】由直线与曲线相切，设切点为，由，且切线的斜率为，所以，代入曲线方程中得：，所以切点为，代入直线方程中得：，因为，所以.当时取等号，所以的最大值为14.则2ab的最大值为12.【考点4：基本不等式求和的最小值】1．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且ab=2，则的最小值为________．【答案】2【详解】由题意得，，所以，当且仅当，ab=2，即时，等号成立．2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知m>0，n>0，且，则的最小值为（

）A．163 B．5 C．4 【答案】C【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得.【详解】已知m>0，n>0，且，，当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为．3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，y>0，且，则x+2y的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与x+2y相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由，得，所以，当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得，所以x+2y的最小值是.4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，y>0，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题知，，当且仅当，即，时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立，综上，当，时，原式取得最小值.5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数，y满足，则（

）A． B．的最小值为12C．的最大值为14 D．的最小值为14【答案】BC【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可.【详解】对于A，由，得，又，y>0，所以xy>0，所以，即，A错误.对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为12，B正确.对于C，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D，因为，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，D错误.【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】1．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________．【答案】2【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立.故当时，的最小值为22.2．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的最小值．【答案】9【分析】将x+1看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.【详解】，因为x>−1，所以x+1>0，，所以，当且仅当，即x=1时，等号成立，故函数的最小值为.3．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知x≠0且，则的最大值为____．【答案】【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，当且仅当x=y时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故答案为：4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】令，则，因为，可得，可得，当且仅当时，即t=1时，即x=2时，等号成立，所以的最小值为7.故选：D.5．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、y，记．当m取得最大值时，的值为（

）A． B．19 C．16 D．【答案】A【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出m的最大值，利用等号成立的条件可得出、y的值，即可得出的值.【详解】因为、y都为正实数，且，故m>0，由题意可得，，由不等式的性质可得，，故，可得，当且仅当时，即当时，此时且时，m取最大值，此时.【考点6：基本不等式的恒成立问题】1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、y满足，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得.【详解】由，则，当且仅当，即x=2，y=8时，等号成立，故，即，解得，即实数的取值范围是.2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由题意，根据基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．【详解】因为两个正实数满足，所以，，当且仅当，即时，等号成立，不等式恒成立等价于，即，解得.故选：D3．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或m>0【答案】C【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【详解】因为，y>0且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选：C．4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解．【详解】由两个正实数满足，即，，所以，当且仅当时等号成立，又恒成立，所以，解得．故选：C．5．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数m的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于m的不等式，即可得解.【详解】因为，y≥0，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得，所以整数m可取、，共个.故选：A【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】1．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，y>0，且，则的最小值为______．【答案】/【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解.【详解】已知，y>0，，得，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，此时满足条件，因此的最小值为.2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知△ABC中，是BC边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中m>0，n>0，则的最小值是______.【答案】/【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解.【详解】由是BC边上靠近的三等分点，可得，，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以.因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，所以的最小值为.3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为，圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即，因为，b>0，所以，当且仅当，即时等号成立，的最小值为4.4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）若，则的最小值是（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】B【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值.【详解】对原等式移项整理得（1），令，由于在上单调递增，在上单调递减，故在R上也是单调递增，因此ft是上的单调增函数，（1）式即，由单调性得，即，整理得，所以当且仅当时取等号，又，即时等号成立.即的最小值为.5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数x>−1，y>0，且满足，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．9【答案】B【详解】因为，所以得，即构造函数，恒成立，所以单调递增，因为,因此原等式可写为由单调递增可知，故即，即因为x>−1，y>0，所以,所以当且仅当，即时等号成立，此时均满足的条件，因此最小值为.【考点8：基本不等式的实际应用】1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租y1（单位：万元）与仓库到超市的距离（x≥0，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费y2（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．【答案】6【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，等号成立时，故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为6万元.故答案为：；62．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，AD的长度为______m.

【答案】【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时AD的长.【详解】设，，则，所以，所以，，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.故答案为：.3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(InternetofThings，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费y1(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中y1与成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和6.4万元(1)求出y1与y2(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?【答案】(1)，.(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案；（2）利用基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由题意设，，其中，当x=8时，，解得，，解得，所以，.（2）由（1）知，当且仅当，即时，等号成立，所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（）．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低(2)0,12【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.【详解】（1）设甲工程队的总造价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，所以即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，因为，当且仅当，，即x=2时，的最小值为12，即，所以的取值范围是0,12.5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.【答案】(1)10米(2)【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，则长方体前面新建墙体的长度为米，所以，即，当且仅当，即时，等号成立.故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.（2）由题意可知，，即对任意的恒成立，所以，可得，即.，当且仅当，即x=8时，取最小值36.所以，即的取值范围是.一、单选题1．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（

）A．16 B．18 C．20 D．不能确定【答案】B【分析】利用均值不等式，即可得到结果.【详解】解：直角三角形的两直角边为、，面积为S，则，当且仅当时，等号成立，直角三角形面积．故选：B．2．（25-26高一上·广东·月考）已知，b>0，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．12 D．18【答案】D【分析】将展开，利用基本不等式求最值即可.【详解】，b>0，故（当且仅当时取“=”），即的最小值为18.故选：D3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知且，则下列不等式中一定成立的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】举反例可得ABC错误；由不等式的性质可得D正确；【详解】令a=−1，则，故A错误；令a=1，则，故B错误；令a=1，则，故C错误；因为，，所以，故D正确；故选：D.4．（25-26高一·全国·单元测试）设，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定【答案】A【分析】根据对数函数的性质求得的范围，利用基本不等式求得的范围，由此比较出两者的大小关系.【详解】∵，∴.又∵，2<a<3，∴.若，则，a=1或，不符合2<a<3.∴.∴.∴.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.5．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（

）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，b>0，则成立D．函数的最小值为3【答案】C【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误.【详解】对于A，若，则恒成立，错；对于B，若，则恒成立，若，则，错；对于D，函数，，令，则t≥2且，因为在上为增函数，故，对于C，因为，而，b>0，故成立.故选：C．【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求.6．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与A,B重合的点，.作CD⊥AB于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件和几何图形，用a,b表示出，即可求出结果.【详解】因为，所以，在中，，又CD⊥AB，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故选：D.二、多选题7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（

）A．xy的最小值为 B．的最小值为3C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BCD【分析】由基本不等式结合已知条件逐一判断即可【详解】对于A：，当且仅当，即时取等，所以的最大值为，故A错误；对于B：，当且仅当，即时取等，的最小值为3，故B正确；对于C：由公式得，，所以，当且仅当，即时取等，的最小值为，故C正确；对于D：由得，，令，则当时，，，即当时，的最小值为，故D正确；故选：BCD8．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调