第五章§5.4平面向量中的综合问题

§5.4平面向量中的综合问题重点解读平面向量中以平面几何为载体的向量问题，平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是结合平面几何的已知条件(如：边长、角度、图形、形状等)将几何关系转化为向量关系或根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.题型一平面向量在几何中的应用例1(1)设P是△ABC所在平面内一点，若AB·(CB+CA)=2AB·CP，且AB2=AC2-2BC·AP，则点P是△A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案A解析由AB·(CB+CA)=2AB·CP，得AB·(CB+CA-2CP)=0，即AB·[(CB-CP)+(CA-CP)]=0，所以AB·(PB+PA)=0.设D为AB的中点，则AB·2PD=0，故AB·PD=0.由AB2=AC2-2BC·得(AB+AC)·(AB-AC)=-2BC·AP，即(AB+AC-2AP)·CB=0.设E为BC的中点，则(2AE-2AP)·CB=0，则2PE·CB=0，故CB·PE=0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心.(2)如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD.则AD的长为；∠DAC的大小为.

答案390°解析设AB=a，AC=b，则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+1∴|AD|2=23a+13b2=49a2+2×29a·b+19b2=49×9+2×29∴AD=3.设∠DAC=θ，则向量AD与AC的夹角为θ.∵cosθ=AD·AC|AD||AC|=∴θ=90°，即∠DAC=90°.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.跟踪训练1(1)在△ABC中，若OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心答案C解析∵OA·OB=OB·OC，∴OB·(OA-OC)=0，∴OB·CA=0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.同理OA·BC=0，OC·AB=0，∴OA⊥BC，OC⊥AB，故点O是△ABC的垂心.(2)在△ABC中，A=π3，O为△ABC的外心，若AO·AB=AO·AC=2，则AB·AC的值为.答案2解析取AB，AC的中点分别为D，E，连接OD，OE，如图，∵O为△ABC的外心，∴OD⊥AB，OE⊥AC，AO·AB=|AO|·|AB|cos∠OAD=|AD||AB|=12|AB|2=2∴|AB|=2，同理|AC|=2，∴AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=2×2×12题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是；2x+y的最大值是.答案22解析方法一建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3，0)，B−3设C(3cosα，3sinα)，α∈0，2π由OC=xOA+yOB⇒(3cosα，3sinα)=x(3，0)+y−32，则3cos化简得x=33sinα+cosα，y=233sin则x+y=33sinα+cosα+233=3sinα+cosα=2sinα+则当sinα+π6=1，即αx+y取得最大值2.2x+y=233sinα+cosα=433sinα+2cosα=2213sin(其中tanφ=32且φ则当sin(α+φ)=1时，2x+y取得最大值221方法二(利用等和线定理)在△AOB中，取AB的中点E(图略)，点O到AB的距离d=OE=3sin30°=32由等和线定理得(x+y)max=3d=3取OA的中点A'(图略)，OC=xOA+yOB=2x·12OA+y·OB=2x·OA'+y∵OA=OB=3，∴OA'=32∴A'B2=OA'2+OB2-2OA'·OBcos2π=322+32-2×32×3×−∴A'B=37由等面积法得点O到A'B的距离h=12×3由等和线定理得(2x+y)max=3h=3321命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3(2025·北京昌平区模拟)在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则PB·PC的最大值是()A.9 B.10 C.11 D.12答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设P(x，y)，BC的中点为H，因为AB=2，AD=3，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，3)，H2，3得PB=(2-x，-y)，PC=(2-x，3-y)，所以PB·PC=(x-2)2+y2-3y=(x-2)2+y−32又因为PA=1，所以x2+y2=1，即点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，又PH=(x−2)2+y−322≤AH+AP=22+3所以PB·PC=(x-2)2+y−322-94命题点3与模有关的最值(范围)问题例4(2025·白城期末)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2，P是腰AD上的动点，则|2PB-PC|的最小值为.

答案3解析如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∵AB=2，BC=CD=1，∴AE=12∴cos∠EAD=AEAD=12，故∠EAD以A为坐标原点，射线AB为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C32设P(a，3a)，其中0≤a≤12，则PB=(2-a，-3a)，PC=3∴2PB-PC=52∴|2PB-PC|=5=4a2−2又0≤a≤12∴当a=14时，|2PB-PC|取得最小值3思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.跟踪训练2(1)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB，E在线段CD上(不含端点)，且AE=xAB+yAC(x，y∈R)，则x+2A.3+22 B.4+23C.8+43 D.8答案B解析∵AE=xAB+yAC(x，y∈R)，AD=2DB，∴AE=3x2AD+又E在线段CD上(不含端点)，∴3x2+y=1，且x>0，y∴x+2yxy=1y=4+3x2y+2y当且仅当3x2y=2yx，即x=3−33，y=3(2)△ABC是边长为2的正三角形，P为△ABC所在平面内任意一点，则PA·(PB+PC)的最小值为()A.-12 B.-32 C.-5答案B解析设BC的中点为D，AD的中点为E，则有PB+PC=2PD，则PA·(PB+PC)=2PA·PD，而PA·PD=(PE+EA)·(PE+ED)=(PE+EA)·(PE-EA)=PE2-EA而|EA|=32，PE2-EA2=PE故当点P与点E重合时，PE2-EA2有最小值-所以PA·(PB+PC)的最小值为-32(3)已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BMA.434 B.C.37+634 答案B解析以△ABC的重心D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A(2，0)，B(-1，-3)，C(-1，3).设P(x，y)，则AP=(x-2，y)，由|AP|=1，得(x-2)2+y2=1，即点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，又PM=MC，即M为PC的中点，∴Mx−12，y+3∴|BM|2=(x+1)2+(y+33)24，它表示点P(x，∴|BM|max2=14(AE+AP)2=14×((−1−2)四心问题一、引理(“奔驰”定理)如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0.图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.证明如图，延长AO与BC相交于点D，BDDC=S△ABDS△ACD=S△记BDDC=λ，则BD=λDC即OD-OB=λ(OC-OD)，所以-(1+λ)OD+OB+λOC=0，又OD=-|OD||所以SASB+SC1+从而SAOA+SBOB+SCOC=0.推论若O是△ABC内的一点，且xOA+yOB+zOC=0，则SA∶SB∶SC=x∶y∶z.二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征1.重心(1)定义：三角形三条中线的交点.(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.(3)向量特征：定理1G是△ABC的重心⇔GA+GB+GC=0.证明由引理得G是△ABC的重心⇔SA=SB=SC⇔GA+GB+GC=0.推论1P是△ABC所在平面内任意一点，PG=13(PA+PB+PC)⇔G是△证明G是△ABC的重心⇔GA+GB+GC=0⇔PA-PG+PB-PG+PC-PG=0⇔PG=13(PA+PB+2.外心(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.(3)向量特征：定理2O是锐角△ABC的外心⇔OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.证明由O是锐角△ABC的外心，得|OA|=|OB|=|OC|，则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，∠COA=2∠ABC，于是SA∶SB∶SC=sin2A∶sin2B∶sin2C，根据引理，得到OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.反之亦然(证明略).推论2P是锐角△ABC所在平面内任意一点，PO=PAsin2A+PBsin2B+推论2可仿照推论1进行证明.3.内心(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.(3)向量特征：定理3O是△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)证明设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=ar2∶br2∶cr2=a∶b根据引理得，O是△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.推论3P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔PO=aPA推论3可仿照推论1进行证明.4.垂心(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.(3)向量特征：定理4O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.证明O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA⇔|OA|·|OB|cos(π-C)=|OB|·|OC|cos(π-A)=|OC|·|OA|cos(π-B)⇔|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC⇔SA∶SB∶SC=tanA∶tanB∶tanC，由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.推论4P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔PO=PAtan推论4可仿照推论1进行证明.典例奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下命题错误的是()A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC·MB+AB·MC=0C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=3∶2∶1D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB=-6答案C解析对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则MA+MB+MC=0，所以2MD=MB+MC=-MA，所以A，M，D三点共线，且AM=23设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，所以M为△对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，则有SA=12BC·rSB=12AC·r，SC=12所以12r·BC·MA+12r·AC·MB+12r·AB·MC=0，即BC·MA+AC·MB+AB·MC=0对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，又∠BAC=45°，∠ABC=60°，则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，所以SA=12R2·sin∠=12R2·sin90°=12RSB=12R2·sin∠AMC=12R2·sin120°=34SC=12R2·sin∠AMB=12R2·sin150°=14所以SA∶SB∶SC=2∶3∶1，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5，又S△ABC=SA+SB+SC，则S△ABCSA=4设MD=x，MF=y，x，y>0，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos∠AMF=即3x2=2y2，xy=63，所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-66，故D正确课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量AB=(x2，-2x)在向量AC=(1，2)上的投影向量为λAC(λ∈R)，则实数λ的最小值为()A.-45 B.-455 C.-1答案A解析向量AB在向量AC上的投影向量为AB·AC|AC|则λ=x2−4x5=(当且仅当x=2时，等号成立，所以λ的最小值为-452.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0且ABA.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析由AB|AB|+AC|AC|所以AB=AC，设AB，CA的夹角为θ，而AB|AB|·CA|AC|又θ∈[0，π]，所以θ=π3，∠A=π-π3=2π3，故△3.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C.2 D.2答案C解析由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，不妨设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，则a-c=(1-x，-y)，b-c=(-x，1-y)，(a-c)·(b-c)=x2+y2-x-y=0，表示圆心为12，12，半径为22的圆，|c|=x2+y2表示圆上的点(x，y)到原点(0，0)的距离，因此|4.在△ABC中，A=π4，AB·AC=82，其外接圆的圆心为O，则AO·AB+2AO·ACA.4 B.42 C.16 D.162答案D解析因为A=π4，AB·AC=82所以|AB||AC|cosA=82，故|AB||AC|=16，所以|AB|=16|因为O为△ABC的外接圆圆心，过O作OD⊥AB于D，则D为AB的中点，所以AO·AB=|AO|·|AB|·cos∠OAB=|AD|·|AB|=12|AB|2同理可得AO·AC=12|AC|2所以AO·AB+2AO·AC=12|AB|2+|AC|2=128|AC|2+|AC|2≥当且仅当128|AC|2=|AC|2，即|AC|2=82，|AB|2=162时，等号成立，故AO·AB+2AO·AC5.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足CD=2DB，AD=37，则BC的长为()A.37 B.36 C.33 D.6答案A解析因为CD=2DB，所以AD=AB+BD=AB+1=AB+13(AC-AB)=2设AB=x，x>0，则|AD|2=23得37=49x2+49×x×9cos60°+19×即2x2+9x-126=0，解得x=6(舍负)，即AB=6，所以|BC|=|AC-AB|=|=62+96.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PA·PD的最大值为()A.1+22 C.1+2 D.2+2答案A解析连接OA(图略)，由题可知|OA|=1，OA⊥PA，因为|PO|=2，所以由勾股定理可得|PA|=1，则∠POA=π4设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则-π4<θ<π4，∠APD=π4且|PD|=2cosθ.所以PA·PD=|PA||PD|cosπ=2cosθcosπ4+θ=2cos=cos2θ-sinθcosθ=12+12cos2θ-12sin=12+22cos所以当θ=-π8时，PA·PD取得最大值，为1+二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有()A.若AD=12(AB+AC)，则点DB.若AD=13AB|AB|cosC.若AD=2AB-AC，则点D在BC的延长线上D.若AD=xAB+yAC，且x+y=12，则△BCD是△ABC答案ABD解析对于A，∵AD=12(AB即12AD-12AB=12AC-即点D是边BC的中点，故A正确；对于B，AD·BC=1=13(-|BC|+|BC|)=0，即AD⊥BC故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；对于C，∵AD=2AB-AC，即AD-AB=AB-AC，即BD=CB，即点D在CB的延长线上，故C错误；对于D，∵AD=xAB+yAC，且x+y=12设AM=2AD，则AM=2AD=2xAB+2yAC，且2x+2y=1，故M，B，C三点共线，且|AM|=2|AD|，即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.8.(2025·北京顺义区模拟)八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设|OA|=1，下列结论中正确的是()A.OB·OE=-2B.|OA-OC|=22|DHC.OA在OD上的投影向量为-22e(其中e为与ODD.若点P为正八边形边上的一个动点，则AP·AB的最大值为4答案BC解析由题意可知∠BOE=3π4∴OB·OE=|OB||OE|cos3π4=1×1×−22=-2∵|OA-OC|=|CA|=2，|DH|=2，∴|OA-OC|=22|DH|，故BOA在OD上的投影向量为OA·OD|OD|·OD|如图，当点P在线段CD上时，此时|AP|cos∠BAP=|AM|最大，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=π4∴BC=AB=12+1∴AM=AB+MB=2−2+2−22AP·AB=|AB||AP|cos∠BAP=|AB||AM|=1+22(2−2)2=1+22×(2-2)=1，即AP·三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·杭州模拟)如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则AB·AC的最大值与最小值的和为.

答案