广西壮族自治区梧州市2025~2026学年高一下册7月期末抽样检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.计算：（）A. B. C. D.2.下列命题正确的是（）A.若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线B.如果两条直线与没有公共点，则C.一条直线和一个点确定一个平面D.三点确定一个平面3.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.4.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.5.在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为11.已知函数，给出下列四个说法正确的是（）A.的一条对称轴为；B.的最小正周期为；C.在区间上单调递增：D.的图象关于点成中心对称.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.函数（）的最小正周期是，则的值为________；13.等边三角形的边长为，________；14.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，已知正方体．（1）求直线与所成的角的大小；（2）求直线与所成的角的大小．16.已知，且在第三象限.（1）求和的值；（2）求的值.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.18.在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且∥.（1）求角的大小；（2）若求的取值范围；（3）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积.19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.计算：（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.解答过程：.故选：C2.下列命题正确的是（）A.若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线B.如果两条直线与没有公共点，则C.一条直线和一个点确定一个平面D.三点确定一个平面答案：A解析：思路：依据空间中点、直线、平面的位置关系及相关公理、判定定理，逐一判断各命题的正误即可.解答过程：对选项A：因直线与平面相交，则不在平面内，假设平面内存在直线与平行，则由线面平行的判定定理可得，这与和相交矛盾，故A正确；对选项B：空间中直线无公共点，则可以是平行或异面，故B错误；对选项C：根据平面确定公理，只有直线和直线外一点才能确定唯一平面，若点在直线上，可存在无数个平面，故C错误；对选项D：根据平面确定公理，只有不共线的三点才能确定唯一平面，共线的三点可以有无数个平面，故D错误.3.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.答案：A解析：思路：由两边平方可得，，由此可求结论,解答过程：由，所以，所以，，所以，又，所以．4.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据角的终边过的点,求出角的三角函数值,利用弦函数化切函数,求得答案.解答过程：角的终边经过点，，则，，,．故选：．5.在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案.解答过程：解：即，等式两边平方得，继续展开，化简得所以故选：C7.已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解.解答过程：函数，由，得，由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且，解得，所以的取值范围是.8.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B考点：本题主要考查简单几何体的特征及三视图．点评：简单题，理解好三视图的意义．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确；对于B，，B正确；对于C，由正弦定理得：，C错误；对于D，由余弦定理得：，，D正确.10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为答案：AC解析：思路：根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.解答过程：依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.11.已知函数，给出下列四个说法正确的是（）A.的一条对称轴为；B.的最小正周期为；C.在区间上单调递增：D.的图象关于点成中心对称.答案：AC解析：思路：由对称的性质及诱导公式可判断AD，根据周期定义及诱导公式判断B，根据正弦型函数的单调判断C.解答过程：设上任意一点，则关于的对称点，因为，即在函数的图象上，所以的图象关于直线对称，正确；由知，不是函数的周期，错误；当时，，所以，时，，故单调递增，故正确；设图象上任意一点，则关于点的对称点，因为，故函数的图象不关于点成中心对称，错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.函数（）的最小正周期是，则的值为________；答案：解析：解答过程：由题意得，，得13.等边三角形的边长为，________；答案：##解析：解答过程：由等边三角形的边长为，得.14.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______.答案：1解析：思路：法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果.解答过程：法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得，即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故答案为：1四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，已知正方体．（1）求直线与所成的角的大小；（2）求直线与所成的角的大小．答案：（1）（2）解析：思路：根据异面直线所成角定义，通过平移直线找到所求角，进而根据长度关系得到结果.（1），直线与所成角即为，，，，即直线与所成角大小为.（2）连接，，，四边形为平行四边形，，直线与所成角即为，均为正方体的面对角线，，，即直线与所成角大小为.16.已知，且在第三象限.（1）求和的值；（2）求的值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用同角三角函数关系求解即可.（2）利用诱导公式，结合三角函数正余弦齐次式求值即可.（1）已知，且在第三象限，所以，（2）.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.解析：思路：（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.解答过程：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.方法提示：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.18.在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且∥.（1）求角的大小；（2）若求的取值范围；（3）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）由∥，可得，从而可求得角的大小；（2）可得为钝角，即，再利用正弦定理表示出，从而有，再由可求出的取值范围；（3）由余弦定理得，由的内切圆的周长为，可得内切圆半径，设圆为的内切圆圆心，，为切点，则可得，，再由切线长定理可得，结合前的式子可得，则有，从而可得当时，的值最小，进而可求出的面积解答过程：解：（1）∥，，，即，（2）为钝角，从而由正弦定理，得，，（3）由余弦定理得：，由题意可知：的内切圆周长，所以内切圆半径如图，设圆为的内切圆圆心，，为切点，可知≌，又，可得：，，由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，，化简得(当且仅当时取等号)即，或又，，即，当且仅当时，的值最小为24，此时的面积：方法提示：关键点点睛：此题考查向量的应用，正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，第（3）问解题的关键是由切线长定理得，由余弦定理得，从而得再结基本不等式可得，进而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．答案：（1），（2）（3），；最大值为解析：思路：（1）根据摩天轮的几