湖北省黄石市2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B. C. D.2.在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（）A.2 B. C.4 D.4.如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（）A.图（1）中平均数中位数众数 B.图（2）中平均数众数中位数C.图（2）中众数平均数中位数 D.图（3）中平均数中位数众数7.函数的零点个数为（）A.4 B.3 C.2 D.18.在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（）A.2 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若虚数是方程的两根，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.10.三棱锥中，点在底面的射影为点，则下列叙述正确的有（）A.若，则点为的外接圆圆心B.若，，面积相等，则点为的内切圆圆心C.若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点为的内切圆圆心D.若，则点为的垂心11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______．13.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角______.14.在棱长为4的立方体中，是的中点，则点到平面的距离是___________；点与点到平面的距离之比是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2026年1月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200）（200，250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与第80百分位数．16.如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.17.已知一组数据，其平均数记为，标准差记为；（1）求证：；（2）若，求函数的最小值；（3）若且，求证：．18.已知的内角的对边分别为，若；（1）求角；（2）若，且是钝角三角形；（i）求的范围；（ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．19.我国古代数学经典《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面，平面平面；（1）求证：三棱锥是鳖臑；（2）记，若，求三棱锥的外接球面积的最小值；（3）当时，设点是线段或者延长线上的点，记，当取得最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．所以的虚部为．2.在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（）A.2 B. C.4 D.答案：D解析：思路：利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长求解.解答过程：设母线长为，则，.4.如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取的中点，连接、，可得，从而异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解.解答过程：如图，取的中点，连接、，易知，所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即，因为直三棱柱的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为，则，，，则在中，由余弦定理可得：即异面直线与所成角的余弦值为：.故选：.5.已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：以为整体结合正弦函数的性质可得，进而根据充分、必要条件分析判断.解答过程：因为且，则，若在上既不是增函数也不是减函数，则，解得，又因为，所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（）A.图（1）中平均数中位数众数 B.图（2）中平均数众数中位数C.图（2）中众数平均数中位数 D.图（3）中平均数中位数众数答案：D解析：思路：由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案.解答过程：对于图1，平均数中位数众数，故A错误；对于图2，众数中位数平均数，故BC错误；对于图3，平均数中位数众数，故D正确.故选：D7.函数的零点个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：B解析：思路：根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数.解答过程：函数的定义域为R，由，得，令，，当时，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，，函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解；当时，对两边取对数，得，即，而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点，显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点，即方程在有两解，所以函数的零点个数为3.8.在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求.解答过程：因为.所以所以所以.由正弦定理可得：，又，所以.因为面积为4，所以①由余弦定理可得：,所以：②①②可得：，即.所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若虚数是方程的两根，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：解方程求出，然后根据复数的运算或根与系数关系验证各选项.解答过程：方程的两根是，不妨记，，则，，ABD均正确；，，C错误.10.三棱锥中，点在底面的射影为点，则下列叙述正确的有（）A.若，则点为的外接圆圆心B.若，，面积相等，则点为的内切圆圆心C.若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点为的内切圆圆心D.若，则点为的垂心答案：ACD解析：思路：由线面垂直的定义及三角形外接圆圆心的定义判断A；由三角形内心到三边距离相等可判断B、C；根据线面垂直的判定定理及三角形垂心的定义判断D.解答过程：三棱锥中，点在底面的射影为点，所以平面，所以.若，，所以，所以点为的外接圆圆心，所以A正确；若，，面积相等，则当且仅当时，点到各边距离相等，而题中没有条件可得，所以点不一定是的内切圆圆心，所以B错误；若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点到的距离相等，所以点到的距离相等，所以点为的内切圆圆心，所以C正确；若，因为平面，所以平面.因为平面，所以.同理可得，所以为边上的高与边上的高的交点，所以点为的垂心，所以D正确.11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ACD解析：思路：对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可.解答过程：对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确；对B，若，则，，，故B错误；对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确；对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______．答案：解析：思路：先在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出.解答过程：在中，，则，由正弦定理得，，得，得，在中，，，则由余弦定理得，所以.故答案为：13.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角______.答案：解析：思路：先根据投影向量定义得，再根据向量垂直得到，再由向量夹角的求法求解即可.解答过程：因为在上的投影向量为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：14.在棱长为4的立方体中，是的中点，则点到平面的距离是___________；点与点到平面的距离之比是___________．答案：①.②.解析：思路：根据等体积法可求得点到平面的距离；找到与平面的交点，记作点，求出，即可得点与点到平面的距离之比.解答过程：正方体中，平面，所以三棱锥的体积为.中，，所以的面积为.设点到平面的距离为，则由，得，解得.连接，交于点，连接，则为平面与平面的交线，因为平面，所以与平面的交点就是与的交点，记作点.正方形中，，所以.又，所以四边形为平行四边形.所以，所以.所以，所以点与点到平面的距离之比是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2026年1月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200）（200，250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与第80百分位数．答案：（1）；（2）平均数是95，第80百分位数是140解析：思路：（1）由第一个区间的频率求得，然后根据值可求得，再由各区间的频率可得频率分布直方图（频率除以组距）；（2）利用频率分布直方图各区间中点值计算出均值，求出频率对应的值得到第80百分位数.（1），则．由此完成频率分布直方图，如下图．（2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为，因为的频率为的频率为的频率为，所以第80百分位数为．16.如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）取中点，连接，，先证明四边形是平行四边形，进而得到，从而求证；（2）根据为等边三角形，是的中点，可得，根据平面，可得，进而得到平面，进而结合即可求证.（1）取中点，连接，，因为是的中点，所以，且，又，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为等边三角形，是的中点，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，由（1）知，所以平面.17.已知一组数据，其平均数记为，标准差记为；（1）求证：；（2）若，求函数的最小值；（3）若且，求证：．答案：（1）；（2）4（3）证明：由题意可知，，得，所以，两边累加取平均可得，所以所以，即，所以，命题得证.解析：思路：（1）根据均值和方差公式证明；（2）利用二次函数的性质求解；（3）利用（），得，然后累加取均值可证.（1）略（2）因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．（3）略18.已知的内角的对边分别为，若；（1）求角；（2）若，且是钝角三角形；（i）求的范围；（ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．答案：（1）（2）（i）；（ii）．解析：思路：（1）由正弦定理结合诱导公式及二倍角的正弦公式可得；（2）（i）由已知式结合正弦定理求得，由是钝角三角形确定的取值范围，根据正弦定理结合三角恒等变换将表示成的正弦型函数，即可求得其取值范围；（ii）根据三角形面积相等，得到与的关系，利用正弦定理及三角恒等变换将表示成的函数，再用换元法结合函数单调性求得函数的值域，即的取值范围．（1）因为，所以.由，得，所以．由正弦定理，得，所以，即，所以，所以，因为，所以，得到，解得．（2）（i）由，得，由正弦定理得，所以，所以.因为为钝角三角形，，故钝角只能是A或C，所以或，所以．由正弦定理得，因为，所以，所以.（ii）因为为的角平分线，且，所以