湖北省随州市2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.1 B.2 C. D.2.若直线是圆的一条对称轴，则实数（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.24 B.36 C.48 D.604.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在120分以上的考生约有（）（参考数据：若～，则有，，）A.人 B.人 C.人 D.人5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（）A. B. C.3 D.56.从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀21060270优秀5080130合计260140400某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（）附：统计量临界值表0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联B.该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联C.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联D.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联7.设A，B是两个随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.8.已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.老师要从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格，某位同学只能背诵其中的篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量，的期望记为，则（）A.X的可能取值为 B.C. D.该同学能及格的概率为10.设函数，则（）A.有两个极值点B.当时，关于对称C.当时，在上单调递减D.当时，11.在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如：，，.则下列说法正确的有（）A.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同B.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0C.不同的“JKH操作”一共有12种D.所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，若，则__________．13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________.14.在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围.16.某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第天12345高度y1.31.72.22.83.5（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数并加以说明；（2）求关于的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度.参考数据：.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.17.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.18.湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行．某球队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．（1）传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X，求X的期望；（2）证明：为等比数列；（3）设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为和，比较的大小．19.已知.（1）若，，求的值域；（2）若存在实数使得有四个不等实根，，，，设.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据解析式先化简，然后由导数定义可得.解答过程：因为，所以，所以.故选：B2.若直线是圆的一条对称轴，则实数（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴，所以在直线上，所以，解得.3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.24 B.36 C.48 D.60答案：A解析：思路：先根据等差数列的性质得出，再代入等差数列前项和公式即可求解.解答过程：因为是等差数列，所以，即，所以.4.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在120分以上的考生约有（）（参考数据：若～，则有，，）A.人 B.人 C.人 D.人答案：A解析：解答过程：由正态分布，结合可知，，，因此标准差,而，则要求，由参考数据，可知区间外的总概率为，再由正态分布的对称性，则，因为总人数10000人，所以分数在120分以上的考生约有.5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（）A. B. C.3 D.5答案：C解析：解答过程：由题可知，所以.6.从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀21060270优秀5080130合计260140400某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（）附：统计量临界值表0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联B.该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联C.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联D.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联答案：C解析：思路：求出实际的值，根据独立性检验的知识逐一判断即可.解答过程：由题意可知该同学在计算时将都缩小了10倍，又因为，故计算得出的是实际值的，即实际中，所以该同学计算不正确，故A，B错误；因为，所以在犯错的概率不超过的前提条件下，认为“数学成绩与语文成绩有关联”,故C正确，D错误.7.设A，B是两个随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，事件可以拆分为两个互斥事件的和：，则，，，代入上式得到全概率公式：，代入具体数值得：.8.已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围.解答过程：函数在上有两个不同零点，等价于方程在有两个不同实根，设，问题转化为求与的交点个数，对求导，化简得：

，因为，所以，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以

在处取最小值：

，​

且：时，；时，，则要使与有两个交点，需满足，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.老师要从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格，某位同学只能背诵其中的篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量，的期望记为，则（）A.X的可能取值为 B.C. D.该同学能及格的概率为答案：BCD解析：思路：根据条件，易知的可能取值为，再求出取值对应的概率，即可判断A和B的正误；对C，利用期望的计算公式，直接求出，即可求解；对D，根据条件得，即可求解.解答过程：因为篇课文中，该同学能背诵其中的篇，则的可能取值为，，，，所以A错误，B正确，对于C，因为，所以C正确，对于D，该同学能及格的概率为，所以D正确.10.设函数，则（）A.有两个极值点B.当时，关于对称C.当时，在上单调递减D.当时，答案：BD解析：思路：对函数求导，即可判断函数的极值、中心对称、单调区间，再结合指数范围判断函数值的大小即可.解答过程：因为，则对于A：若有两个极值点，则必须有两个不相等的根，即，而，即当时，，此时函数没有极值点，故A错误；对于B：当时，，因为，所以关于对称，故B正确；对于C：因为，由，得，，当时，，因为是开口向上的二次函数，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增.所以当，即时，，所以在上单调递减；当，即时，在单调递减，在上单调递增；故C错误；对于D：当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，又因为，所以，故D正确.11.在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如：，，.则下列说法正确的有（）A.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同B.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0C.不同的“JKH操作”一共有12种D.所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果答案：ACD解析：思路：“JKH操作”本质是添加括号后把后一项负号改成正号，加括号只能选相邻间隙，且变号位置不能相邻，在此基础上对题目进行进一步求解.解答过程：对于A，取操作，去掉括号后结果为，与原多项式相同，故选项A正确.对于B，所有操作后的系数恒为1，原多项式中的系数也为1，二者相加后的系数为2，不可能为0，故选项B错误.对于C，原多项式有5个位置可进行“JKH操作”，只进行1次“JKH操作”，共有5种可能；进行2次“JKH操作”，选两个互不相邻位置，有，共6种可能；进行3次“JKH操作”，选三个互不相邻位置，只有这1种可能.所以不同的“JKH操作”共有种可能，故选项C正确.对于D，根据选项C可知不同的“JKH操作”一共12种，我们通过枚举可知共有以下8种运算结果：不变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；故选项D正确.方法提示：抓住“JKH操作”这一新定义的本质，在问题求解过程中采取分类讨论思想，有条理地寻找所有不同操作.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，若，则__________．答案：4解析：解答过程：，，，，即，解得．13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________.答案：1解析：思路：利用导数的几何意义求出切线方程，直线与抛物线相切即联立方程，判别式为0即可求解.解答过程：对函数求导得，则曲线在点处的切线的斜率，已知曲线在点处的切线方程，即；由题意即直线与曲线相切，即它们只有一个交点，令，方程只有一解，则，得，.14.在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是__________.答案：解析：思路：利用古典概型求解即可.解答过程：一条线段上标出所有的11等分点，即把这条线段11等分，设每一小段长度为1，由题意总的情况有，能构成三角形的三边长为：1,5,5、2,4,5、3,3,5、3,4,4其中符合条件的情况有:，故所求概率是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围.答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）利用导数求单调区间即可；（2）参变分离得，令，再利用导数求的最小值即可.（1）当时，，当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，即，令，依题意m小于的最小值，，当时，，当时，，故在上单调减，在上单调递增，故的最小值为，故.16.某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第天12345高度y1.31.72.22.83.5（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数并加以说明；（2）求关于的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度.参考数据：.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.答案：（1），因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系（2），5.6cm解析：思路：（1）求出，结合公式求出r，即可下结论；（2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解.（1）由，，所以（或），因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系；（2），，所以关于的回归直线方程为，当时，，由此预测第9天这株幼苗的高度为5.6cm.17.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先令，再令，即可求得答案；（2）先对两边求导，再令，即可求得答案；（3）令，则有，将问题转化为求左边式子展开式中的系数，利用二项式的性质求解即可.（1）在原等式中，令，可得，再令，可得，故.（2）对原等式两边分别求导，可得，再令，可得；（3）令，则，即有，展开式的通项为，所以.18.湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行．某球队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．（1）传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X，求X的期望；（2）证明：为等比数列；（3）设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为和，比较的大小．答案：（1）（2）第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球