2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试（A卷）及加试（A卷）含详细解析和评分标准

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试（A卷）2026年9月13日8:00-9:20一、填空题：本大题共8小题，每题8分，满分64分.平面向量x,y,z满足|x设等差数列{an}的公差d≠0在△ABC中,已知tanA−cotB=对于k=0,1,2,⋯在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a,b>0)经过两点P(若复数z满足|z|+z设[x]表示不超过实数x的最大整数,定义{x}=x从一个正方体的12条棱中随机选取6条,将它们染成红色,则事件“该正方体的6个面中,至少有一个面恰含2条红色棱”发生的概率是____?二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本题满分16分)求最小的实数C,使得存在实数x及正实数y,满足2(本题满分20分).在一个底面半径为1,高为4的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内部有两个半径为1的铁球.设容器内还有若干个大小相同的小铜球与容器的内表面及上述两个铁球都相切.求小铜球个数的最大可能值.(本题满分20.分)称满足下述条件(i)和(ii)的实数列a1,a对任意k=1（ii）存在正整数i1,i2,⋯,i10记m0为使得m-有趣数列存在的最小正整数m.求m0的值,并确定不同的2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试（A卷）2026年9月13日9:40-12:30一、（本题满分40分）设n是正整数，1=d1<d2<…<dm=n是n二、(本题满分40分)如图，在锐角三角形ABC中，AB<AC，AD是BC边上的高，H为垂心，O为外心，N为HO的中点，线段BD内一点P满足∠PND=2∠PAD。证明：直线BC与三角形AOP的外接圆相切。三、（本题满分50分）设整数n>100，实数a0（i）2≥（ii）对任意满足0≤i≤j≤k≤n−1且i+j+k≥n的整数i,j,k，均有a证明：(1)a(2)a0四、（本题满分50分）给定整数n≥2。在一个在方格表中每个方格内填上一个非负实数。已知每个S形内四个方格中的数之和均不小于1。求方格表内所有数之和的最小可能值。2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2026年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准一、填空题：本大题共8题，每题8分，满分64分.平面向量x,y,z满足|x|=1,|y|=2,|设等差数列{an}的公差d≠0.若a1,2a2,在△ABC中,已知tanA−cotB=9,&对于k=0,1,2,⋯解.当n≤4时,Sn中没有完全平方数;当5≤n≤18时,S在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a,b>0)经过两点P(1,解.由Γ经过点P(1,0)知a=1,再由Γ经过点Q(7,12)知49−144b2=1,故b2=3,于是F(2,0).由于点因此l1,l2之间的距离为点P到直线若复数z满足|z|+z+z=i,则a且a<0平方得a2+1+a2+1=a2设[x]表示不超过实数x的最大整数,定义{x}=x−[x解.不妨设m≤n.若n>2m,则将n换为n−m之后当n=m时所得为0,当n=2m时所得为12,均不是最大值,故可设m<n<2m,此时m若m≥16,则nm≤3016;若m≤15,则nm从一个正方体的12条棱中,随机选取6条,将它们染成红色,则事件“该正方体的6个面中,至少有一个面恰含2条红色棱”发生的概率是227231解.考虑不存在这样的面的情况.将非红色的6条棱染为蓝色.若一个面红色棱多于蓝色棱,则称为红色面,否则称为蓝色面.若红色面至少3个，设R1,R2,R3是红色面，则这三个面必定共顶点，否则可不妨设R1,R2相邻，R2,R3相邻，但R若至少有三个蓝色面,分析可得类似结论.故恰有三个红色面和三个蓝色面,红色面共顶点u,蓝色面共顶点v,v是u的对顶点,以u为端点的三条棱均为红色,以v为端点的三条棱均为蓝色,每个红色面恰有3条红色棱,每个蓝色面恰有3条蓝色棱.这样剩下的6条棱构成一个6-圈,只能相间地染为红色和蓝色.所以选取u,二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写初文字说明，证明过程或演算步骤.(本题满分16分)求最小的实数C,使得存在实数x及正实数y,满足2解.首先,log2y=因此，对于满足条件的C及x,5C由基本不等式知C≥22等号成立要求2x=2⋅2−x,即x=12,并且(本题满分20分)在一个底面半径为1,高为4的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内部有两个半径为1的铁球.设容器内还有若干个大小相同的小铜球与容器内表面及上述两个铁球都相切.求小铜球个数的最大可能值.解.设圆柱的中心为点O,轴线为ℓ,两个半径为1的铁球的球心为A,B.由于A,B到圆柱表面每点的距离≥1,以及AB≥2,因此A,B在轴线ℓ上,且AO=BO=1.设小铜球的半径为r,考虑过轴线与某个小铜球球心C的截面,由相切可知AC=1这样每个小铜球的球心C满足OC=1−r=34且OC⟂AB.设n个小铜球的球心为C现在我们找最大的正整数n使得n⋅2θ≤2π.由于0<θ<π6θn注.也可以利用函数f(x)=sinxx在区间(0,π(本题满分20分)称满足下述条件(i)和(ii)的实数列a1对任意k=1,(ii)存在正整数i1,i2,⋯,记m0为使得m-有趣数列存在的最小正整数m.求m0的值,并确定不同的解.设a1,aa对t=1,2,⋯,9,不妨设|q|>1(否则改为考虑am,am−1,⋯,a1，不影响条件)，此时|sm显然，512-有趣数列存在（例如1,2,3,⋯,512），故m0=512。当上述不等式取等号时，|s|=2（于是r=1，故q=±2），注意到|a2−a1|=1，当上述每个a1由对称性,当|q综上，共有8个不同的512-有趣数列.(20分)2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2026年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)设n是正整数,1=d1<d2<⋯<dm解.m只能是4.事实上,我们证明满足条件的正整数n形如n=pq,其中p,q是不同的素数,且q=2p-1.此时d1=1,d2=由于d1=1,d2=p是n的最小素因子。在条件中，取(i,j)=(1,2)，可知存在dk=2p−1注意到dm−1=np≤n2n是整数.但是n≥2p故只能2np+n二.(本题满分40分)如图,在锐角三角形ABC中,AB<AC,AD是BC边上的高,H为垂心,O为外心,N为HO的中点,线段BD内一点P满足证明:直线BC与三角形AOP的外接圆相切.证明.取AP的中点X.由于∠ADP=90∘,故AP=取BC的中点M和AH的中点L，则由外心与垂心的性质知OM由OM=AL知AO与由N为HO的中点及OM=于是AO又有∠于是△AOP∼△所以∠AOP=∠DNX三.（本题满分50分）设整数n>100，实数2(ii)对任意满足0≤i≤j≤a证明：(1)aa若a0≤1,则(1)、(2)显然都成立.下面假设a0>1.因此只需证明(2).证法一.对于满足n3对于满足1≤i<n3(结合n−2i≥n3知,aA由n>100知,集合C的元素个数>4.因为对于满足1≤i<n3i对于满足n3≤i≤ni∈B​由a可得a所以对任意i∈a(最后的不等号是因为a0i所以，i注意到a从而(∗)右边<0i∈C∪{将①、②、③式相加，即得证.(50分)证法二.当m≥n3时,令i=j对于1≤i≤n3a对于n3≤i≤naa由于n>100，所以a因此a0+a说明.本题中,在没有完整证明结论(2)的情况下,如果卷面上完成以下三种情况之一,都认为是证明了(1)的部分,得10分:证明了结论(1);对所有i=1,…,对所有1≤i≤四.(本题满分50分)给定整数n≥2.在一个在方格表中每个方格内填上一个非负实数.已知每个S形内四个方格中的数之和均不小于1.求方格表内所有数之和的最小可能值.解.若n是奇数,设n=2k+1.一方面,显然可以在2×n的矩形中放下k个S形,故在原方格表中可以放下2k个S形,所以所有方格内数之和不小于2k.另一方面,在第若n是偶数,设n=2k.一方面，对i=0,1,…,k−1，在第2i+我们来证明这样的填数符合题意.由填数方法可知,第一行和第四行中两个相邻数之和为k−12k+1或k2k+1,其中和为k−12k+1当且仅当它们所在列数形如2i+1和2i+2,第二行和第三行中两个相邻数之和为k下面证明,对任意一种满足题目要求的填数方式,所有方格中的数之和不小于4k设第i列的四个数之和为Ti.对i=1,2,…,2k−2考虑第一列中间两个方格分别与第二列上面两个方格及下面两个方格组成的两个S形，可得2T1+(故综上所述,当n=2k+1时,所求为2k=n