新版2026年秋季八上数学讲义（人教版）合集

第1讲全等三角形(一)bbC第2页共139页第3页共139页(2)连接AB,判断△ABC的形状并说明理由。第4页共139页7、(青竹湖湘一2024年秋月考)如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°,AC=CD,第5页共139页(2)求证：BD=2CE。(2)求证：BD=2CE。CC第6页共139页(1)求证：AD=AG;第8页共139页第10页共139页第11页共139页(2)如图2,在(1)的基础上，连接OH,求证：∠OHP=45°;第12页共139页3、(长沙市一中2024年秋期中)如图1所示，平面直角坐标系中，若A(a,0),B(0,b),且(3)如图2,在(2)中，若点C为第三象限的点，且AC与y轴交于点N,BC与x轴交于点第13页共139页第14页共139页5、(青竹湖湘一2025年秋月考)在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)在x轴的(1)如图1,过点B作BC⊥AB且BC=AB,连接AC,点C在第一象限，若实数a,b满足(2)如图2,在x轴上一点M(b,0),MN⊥AB于点N,连接ON,证明：NO平分∠ANM;第15页共139页6、(青竹湖湘一2025年秋月考)如图1所示，点A的坐标为(m,0),点B的坐标为(0,n),分(2)在(1)的条件下，若OC=OA时，求OE的长；BG//CF,设四边形BCFG的面积为S₁,三角形AOC的面积为S₂,求的值。第16页共139页第17页共139页A、∠ABC=∠DEFB、∠ACE=∠DD到BC的距离为()。①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④AB=AC+BE。其中正确的是AA第18页共139页面积是28平方厘米，AB=20下列结论：①DF+AE>AD;②DE=DF;③AD⊥EF;④S第19页共139页EDAB第20页共139页14、如图，∠1=∠2,∠B=∠C,AD=AE.求证CC第21页共139页EF交AC于点D,连接BD并延长，交AP于点M。第22页共139页第23页共139页第2讲全等三角形(二)第24页共139页求BC边上的中线AD的取值范围。(3)思考：如图2,AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠B第25页共139页第26页共139页DD第27页共139页第28页共139页第3讲轴对称2、点M(3,-2)关于y轴对称的点的坐标为()。即可)第29页共139页求：(1)△BCF的周长为多少?第30页共139页交AC=8厘米，△ABE的周长是14厘米，求AB的长。第31页共139页第4讲等腰三角形第32页共139页(1)求∠ADC的度数；第33页共139页第34页共139页AB的延长线BF向右运动。已知点D、E都以每秒0.5厘米的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P。(1)运动几秒后，△ADE为直角三角形?(2)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。8、如图，过边长为1的等边△4BC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为第35页共139页(2)如图2,点M在AB边上(M为非中点，不与A、B重合),点N在CB的(3)如图3,点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足第36页共139页第36页共139页第37页共139页3、(长郡2024年秋月考)如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF交AB于E,交AC于F,若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF=7,则点A的坐标是岸互相平行，MN垂直于河岸),现测得A、B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且第38页共139页2、已知等腰三角形的两边的长分别是4和9,则此三角形的周长是()。A、2厘米B、3厘米C、4厘米D、2.8厘米①∠DEF=∠DFE:②AE=AF:第39页共139页C、或24或12D、第40页共139页E,交BC于点F,第41页共139页第42页共139页第5讲等腰三角形综合题F,AD交CE于H。(2)求证：CF=CH;DH,AE交BD于点G,BE交CD于点F,下列说法中正确的有()。①△ABE≌△DBC;②AE=DC;4第43页共139页(3)当点D运动时，作BE⊥AD交AD的延长线于E,连接OE,请判断下面两个结论的正第44页共139页4、(长郡2024年秋期末)△ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持∠ACB<120°,分别BC于点G,BD与AE交于点0,连接OC。第45页共139页(1)如图①,若AD⊥x轴，垂足为点D,点C坐标为(-1,0),点A坐标为(-3,1),求点B的(2)如图②,直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴过点A作AE⊥y轴于E。请猜想BD(3)如图③,直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点A作AFIy轴于F,第46页共139页(2)点E为AC上一点，且DE=BD,如图2,求BC+EC的长；图3图3第47页共139页(1)如图1所示，过点C作CD⊥y轴于D,①△4BO≌△BCD;②若A的坐标是(-3,0),(3)如图3,若x轴恰好平分∠BAC,BC与x轴交于点E,过点C作CF⊥x轴于F,问CF第48页共139页(2)如图1,分别以AB、AO为边作等边三角形ABC和AOD,试判定线段AC和DC的数量第49页共139页(2)分别以AB、AO为边作等边△ABC和△4OD,如图1,试判定线段AC和DC的数量关(3)如图2,过点A作AE⊥x与点E,点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点，满足第50页共139页△CDM时用到的全等判定定理是;在证明△DEF≌△DMF时用到的全等判定定理是 第51页共139页11、(师大附中2023年秋月考)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),(2)如图2,点P(0,y,)为y轴正半轴上一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APC,点(3)如图3,点P在y轴负半轴上，以AP为直角边作等腰直角三角形APC,∠APC=90°,第52页共139页(3)如图2,当点C在OB的延长线上时。第53页共139页13、(长郡2025年秋期末)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(2,0),(0,2),点P是OA的延长线上的一个动点(不与点A重合),以P为直角顶点，BP为直角边在第(1)若点P的坐标为(4,0),求点E的坐标；第54页共139页14、(长郡2023年秋期中)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A(x,0)、B(O,y),且x,y满(2)如图1,以AB为斜边构造等腰直角△①若BD是∠ABC的角平分线。求证：BD=2AE;②探究：如图3,连接CE,当点D在线段AC上运动时(不与A、C重合),∠BEC的大第55页共139页15、(雅礼2022年秋期中)(1)尝试探究：如图1,△ABC是等边三角形，∠DAB=90°,(2)类比延伸：如图2,△ABC是等边三角形，AD=AB,连接CD、BD,AE平分∠DAC,图1备用图第56页共139页第57页共139页17、(师大附中2025年秋期中)如图，△ABC是等边三角形，点E是射第58页共139页Q是线段OB上的动点(与P、Q两点不重合),且OP=BQ,连接AQ,过点O作OD⊥AQ交AQ于点E,交直线AB于点D,连接DP,交AQ于点F。备用图1第59页共139页CC备用图第60页共139页(3)(2a⁵)3.(a2)⁴÷(-a²)⁵(4)-(-2x³y²)².(1.5x²y³)²5、若27²×9⁴=3,则k=二第61页共139页7、如果(9)³=3²,则n=11、已知10"=2,10°=3,则10³+2#一a12、若10"=-2,10°=3,则10"-²#的值是B第62页共139页2、下列运算正确的是()3、计算(-ab)(3a²b²)³的结果是()。5、若2×=6,4°=3,则2×-2的值为(),6、若3°=4,9=7,则3²-²的值为()。7、已知10°=m,10°=n,则10²+3等于()第63页共139页【思考题】2×2×2=2³=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)。一般地，若a"=b则4叫做以3为底81的对数，记为log(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4间又满足怎样的关系式：_;(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?第64页共139页2、(长沙市一中2022年秋期中)“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，长沙市某学校活动丰富其课余生活。在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣。根据a"=b,知道a,n可以求b的值，如果知道a,b可以求n的值吗?他们为此进行了研究，规定：若a"=b,那么f(a,b)=n。例如：5³=125,则f(5,125)=3。第65页共139页(1)(-2ab)(3a²-2ab-4b²)((3)(12x²y-6xy³)÷(-3xy)(4)(6x⁴y(5)(2x+5y)(3x-2y)(6)(2x+5)(2x-5)-(x+1)(x-4)第66页共139页【思考题】第67页共139页2、(师大附中2025年秋月考)一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式。特例感知：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p,p+n+m,字母m,n的位置，得到代数式n-m,因为m-n≠n-m,所以m-n不是对称式。阅读以上材料，解答下面的问题：(1)下列代数式中是对称式的有(填序号):①2”2";②[(-2)"";③④(m-n)²⁰25;(2)若关于m,n的代数式k(m-n)²-km²+n²为对称式，则k的值为;第68页共139页3、(师大附中2025年秋期中)我们定义：如果两个多项式M与N,若M-N为常数，则称M①M=x-6,N=x+1;第69页共139页(1)当m,n为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有(填序号):①(2m)²②16m-32mn③m²+8m+16④(3m+(3)已知正整数a,b,c满足不等式a²+b²+11<ab+6b,第70页共139页(1)(16x²y³z+8x³y²z)÷8x²y²(1)(3x-2)(2x-3)=6x²-7(2)2x(x-4)-(x+2)(x-2)<x²+20(1)求m,n的值；(2)在(1)的条件下，求(m+n)(m-n)-(4m³n-8mn³)÷2第71页共139页第7讲乘法公式(1)(3x+2)(3x-2)第72页共139页【思考题】例如：5=3²-2²,80=9²-I2,(1)根据定义，请写出最小的“麓山数”是,两位数中最大的“麓山数”是第73页共139页成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(aC、a²-b²=(a+b)(a-b)第74页共139页5、已知x²+kxy+64y²是一个完全平方式，则k的值是()。第75页共139页第76页共139页第77页共139页方法。配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)²。例如：。一个二次三项式有不同的配方形式：第78页共139页3、(长郡2024年秋期中)定义：将二次三项式x²+bx+c变形为(x第79页共139页数),则mn的值为;第80页共139页(1)观察图2,写出图2中所表示的等式;且a²+b²+c²=14,请利用(1)所得的结论求ab+bc+ac的值；第81页共139页第82页共139页 第83页共139页(1)a²+b²第84页共139页第8讲因式分解第85页共139页(1)x²+9x+8(4)5x²+6x-8(5)2x²+15x+7(1)9m²-n²+3m-n(3)a²(x-y)+b²(y-x)(4)x²(5)4x²-y²-2y-1(6)x²(7)x²+2xy+y-4(8)9a²-4b²(9)a²+2ab+b²+ac+bc(10)(a-b)²-c²+4ab第86页共139页(7)x³+6x²-27x(8)3a³-6a²+3a解：设x²-4x=y第87页共139页第9讲分式2、当x时，分式的值为0;当x时，分式无意义。3、如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值()。5、若则分6、如果第88页共139页第89页共139页【课后练习】1、在中,分式的个数有()。2、要使分式有意义，则x的取值范围是_7、若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(),第90页共139页第91页共139页【思考题】分式就是假分式：这样的分式就是真分式。假分数可以化为带分数，类似地，假分式(2)若分式的值为整数，求整数x的值。3、已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,xy第92页共139页5、阅读材料：在处理分数和分式的问题时次数，在实际运算时难度较大，这时我们可将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数 (真分式)的和(差)的形式。通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式(分子为整数)的和(差)的形式为：①用含x的式子表示出mn;②随着x的变化，m²+n²+mn有无最小值?如有，最小值为多少?第93页共139页假分数(即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式(整式与真分式的和或差)的形式。例如：这样，分式就被拆分成了带分式(即一个整式(3x+1)与一个分式的差)的形式。(3)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数?第94页共139页第95页共139页第96页共139页第97页共139页第98页共139页第99页共139页12、(青竹湖湘一2025年秋月考)定义：如果两个分式满足A=B+1,则称A是B的“美好分wx+3=x+k有对于任意的x值恒成立，求参数w,t,k的值；数),P是Q的“美好分式”,,求出此时满足条件的m值。第100页共139页第101页共139页第102页共139页第103页共139页1、(雅礼2025年秋期末)不妨定义：如果两个代数式A、B的值满足A+B=1,则称A、B第104页共139页2、(雅礼2023年秋期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程的解是第105页共139页3、(长沙市一中2025年秋月考)如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则称M方程P+Q=k无解，求实数m的值(可用含k的式子表示),第106页共139页第107页共139页5、(长郡2025年秋期末)我们约定：关于x的代数式A、B,若不论x为何值(此时x满足第108页共139页第109页共139页个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天。(2)若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长第110页共139页【课后练习】两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若最终参加游览的学生有x人，则所列方程为2、某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个?在这个问题中设甲车间每根据题意可得方程为()。3、去年入秋以来，云南发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为当地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务。问原计划每天修水渠多少米?第111页共139页4、一个工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定的日期内完成。从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成；若单独租用乙车，完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天。结果同时租用甲、乙两辆车合作运了7天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期1天完成任务。(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?少用4天。(1)求甲、乙两队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米?第112页共139页第11讲二次根式第113页共139页6、若化简|1-x|-Vx²-8x+16 第114页共139页第115页共139页6、√2+1的倒数是()。第116页共139页⑤第117页共139页第12讲二次根式综合题第118页共139页3、阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化：还可以用以下方法化简：(1)请用不同的方法化简②参照(四)式得(2)化简：第119页共139页4、细心观察下列各式，认真分析，然后再解答问题：(1)从计算过程中找出规律，可知用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;(2)利用上述规律计算：第120页共139页,求S。(2)用含n的代数式表示S。第121页共139页(1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√3)²,第123页共139页第13讲勾股定理1、在直角三角形中，若两直角边的长分别为1厘米、2厘米，则斜边长为厘米。2、若直角三角形的两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边长为厘米。3、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是(。4、如图，字母A所代表的正方形的面积为()。5、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()。第124页共139页第125页共139页(1)求证：AE=AF;(3)在(2)的条件下，试求EF的长。第126页共139页不变),测得BD长为8米，那么云梯的顶部在下滑了多少米?BC=b,且满足b=√6-a-Va-6+8。第127页共139页15、(1)如图1,已知△ABC,以ACE,连接CD、BE。求证：(1)CD=BE;接CD、BE,CD与BE有什么数量关系?(直接写结果，不需要过程)图1↵第128页共139页1、(师大附中2026年春期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=BC=3√2,CD=8,AD=10.(2)求四边形ABCD的面积。(2)求四边形ABCD的面积。第129页共139页(1)求边BC的长：第130页共139页