2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题03 函数的概念与性质（教师版）

专题03函数的概念与性质

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础考定义域、值域、分段函数求值；

考点01函数及其2026创新“最低点”新定义，结合双函

2017-2026持续考查，单选、填空为主

表示数最值逻辑判断，侧重阅读理解与举反

例

基础题考查奇偶、单调、周期判断；近

年变化显著：大量抽象函数、自定义性

考点02函数的基2017-2026年年必考，全题型覆盖，解

质；解答题融合充要条件、排列、导数，

本性质答压轴高频

逻辑证明题增多，综合性、抽象度大幅

提升

考点01函数及其表示

1．（2026·上海·高考真题）对于函数yfx，xD，设Afx,y|yfx,xD.对于点集M，若存

在x0,y0M，使得任取x,yM，总有yy0，则称x0,y0为“最低点”.对于函数yfx和ygx，

以下说法中正确的是（）

A．若yfx和ygx都有最小值，则AfAg有最低点；

B．若AfAg有最低点，则yfx和ygx都有最小值；

C．若yfx或ygx有最小值，则AfAg有最低点；

D．若AfAg有最低点，则yfx或ygx有最小值.

【答案】D

【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得x0,y0Af

或x0,y0Ag，再分类讨论即可.

1/55

【详解】对于A项，取fxx，x[0,1]，取gxx，x[2,3]，

则，；而AA无最低点，故错误；

fxmin0gxmin2fgA

对于B项，取fxx，x(0,3]，取gxx，x[2,3]，

则无最小值，；而AAA有最低点，故错误；

fxgxmin2fgg2,2B

对于C项，取fxx2，xR，取gxx2，xR，

则无最小值，；

fxgxmin0

22

因为fxx的函数值可趋向于负无穷大，所以Afx,y|yx,xR无最低点，则AfAg亦无最

低点，故C错误；

对于D项，因为AfAg有最低点，不妨设x0,y0为AfAg的最低点，yfx且xD1，ygx且xD2，

所以x0,y0Af或x0,y0Ag，

若x0,y0Af，则y0fx0且对任意的xD1，总有yf(x)y0，即f(x)miny0；

若x0,y0Ag，同理可知g(x)miny0；

所以若AfAg有最低点，则yfx或ygx有最小值，故D正确.

故选：D.

2．（2018·上海·高考真题）设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图像绕原点

π

逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是（）

6

33

A．3B．C．D．0

23

【答案】B

【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案.

π

【详解】A选项，若f(1)3，将点(1,3)依次旋转后可得到函数图像上的一些点，

6

由图可知，当x1、±3、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，

∴f(1)3.

同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，

故选：B

3．（2019·上海·高考真题）下列函数中，值域为0,的是

1

xycosx

A．y2B．yx2C．ytanxD．

【答案】B

【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.

【详解】A选项：y2x值域为0,，错误

1

B选项：yx2值域为0,，正确

C选项：ytanx值域为R，错误

D选项：ycosx值域为1,1，错误

本题正确选项：B

【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.

1,x0

4．（2025·上海·高考真题）已知f(x)0,x0，a、b、c是平面内三个不同的单位向量．若

1,x0

rr

rrrr

f(ab)f(bc)f(ca)0，则|abc|的取值范围是_______．

【答案】(1,5)

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得fab,fbc,fca1,0,1，再根据数量积关系设出a,b,c

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若fabfbcfca0，则abbcca0，

3/55

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立；

故fab,fbc,fca1,0,1.

fab1

不妨设fbc0，则ab0,bc0,ca0，

fca1

不妨设b(1,0),c(0,1)，acos,sin,0,2π，

abcos03

则，则π,2π，

casin02

则abc(1cos,1sin)(1cos)2(1sin)232cos2sin

π

322sin()，

4

3π79

由π,2π，π,π，

2444

π22π

则sin(),，22sin()2,2

4224

故abc(1,5).

故答案为：(1,5).

5．（2025·上海·高考真题）已知全集U{x∣2x5,xR}，集合A{x∣2x4,xR}，则A_________．

【答案】x|4x5,xR/4,5

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知Ax|4x5,xR.

故答案为：x|4x5,xR.

f(x),x0

6．（2024·上海·高考真题）已知f(x)x2,g(x)，求g(x)2x的x的取值范围_______.

f(x),x0

【答案】,1

【分析】分x0与x0两段求解二次不等式可得.

x2，x0

【详解】根据题意知

g(x)2.

x，x0

当x0时，gx2x,即x2x20，解得2x1，则有0x1；

当x0时，gx2x,即x2x20，xR，即x0时，不等式gx2x都成立.

综上所述，g(x)2x的x的取值范围为,1.

故答案为：,1.

7．（2024·上海·高考真题）函数ylog2x的定义域为_______.

【答案】0,

【分析】由对数函数性质即可得.

【详解】由题意可得x0，即ylog2x的定义域为0,.

故答案为：0,.

x,x0

8．（2024·上海·高考真题）已知fx,则f3______．

1,x0

【答案】3

【分析】利用分段函数的形式可求f3.

x,x0

【详解】因为fx,故f33，

1,x0

故答案为：3.

2x,x0

9．（2023·上海·高考真题）已知fx，则fx的值域是______；

1,x0

【答案】[1,)

【分析】分段讨论fx的范围即可.

【详解】当x0时,根据指数函数的图象与性质知f(x)2x1，

当x0时,f(x)1.

综上:yf(x)的值域为[1,).

故答案为：[1,).

1

10．（2022·上海·高考真题）设函数f(x)满足f(x)f，定义域为D[0,)，值域为A，若集合

x1

{y∣yf(x),x[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.

5/55

51

【答案】[，)，

2

1515115151151

【分析】由x可得x，可判断当x时，；当0x时，；

x122x122x12

51

从而可得A{y|yf(x)，x[0，a]}时，参数a的最小值为，从而求得．

2

15151

【详解】令x得，x或x（舍去）；

x122

1151

5151

当x时，x1512，故对任意x，

212

2

511

都存在x0[0，]，x0，故f(x)f(x0)，

2x1

1151

5151

故A{y|yf(x)，x[0，]}，而当0x时，x1512，

221

2

51

故当A{y|yf(x)，x[0，a]}时，参数a的最小值为，

2

51

故参数a的取值范围为[，)，

2

51

故答案为：[，)．

2

考点02函数的基本性质

1．（2025·上海·高考真题）已知A(0,1),B(1,2)，C在:x2y21(x1,y0)上，则ABC的面积（）

A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值

C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值

【答案】A

【分析】设出曲线上一点为(a,b)，得出ab21，将三角形的高转化成关于b的函数,分析其单调性，从

而求解.

【详解】设曲线上一点为(a,b)，则a2b21，则ab21，

21

k1，AB方程为：y1x，即xy10，

AB10

2

2

ab1b1b1b1b1

根据点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为：，

222

1

设f(b)b21b，

b21b

由于b0，显然f(b)关于b单调递减，f(b)maxf(0)，无最小值，

即ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，

又AB一定，故面积有最大值，无最小值.

故选：A

2．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（）.

A．ysinxB．ycosxC．yx3D．y2x

【答案】B

【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.

【详解】根据所学知识，知道ysinx,yx3为奇函数，ycosx为偶函数，y2x为非奇非偶函数.

故选：B.

3．（2021·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是（）

A．f(x)为偶函数且关于直线x1对称B．f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称

C．f(x)为奇函数且关于直线x1对称D．f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称

【答案】D

【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得fx2f(x)2，据此

可判断D的正误.

【详解】对于A，因为f(x)为偶函数，故fxf(x)，

而f(x)的图像关于直线x1对称，故f2xf(x)，故f2xf(x)，

故fx为周期函数且周期为2，

而fx在0,2必有最大值，故fx必有最大值，故A错误.

对于B，而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2xf(x)2，

故fx2f(x)2，故fx2f(x)2，故fx2f(x2)

故fx为周期函数且周期为4，

而fx在0,4必有最大值，故fx必有最大值，故B错误.

对于C，因为f(x)为奇函数，故fxf(x)，

而f(x)的图像关于直线x1对称，故f2xf(x)，故fx2f(x)，

所以fx4f(x)故fx为周期函数且周期为4，

7/55

而fx在0,4必有最大值，故fx必有最大值，故C错误.

对于D，因为f(x)为奇函数，故fxf(x)，

而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2xf(x)2，

故f(x)fx22，设x2n,nN*，

则f(2n)f02n，故fx无最大值，

故选：D

4．（2020·上海·高考真题）若存在aR且a0，对任意的xR，均有f(xa)f(x)f(a)恒成立，则

称函数f(x)具有性质P，已知：q1:f(x)单调递减，且f(x)0恒成立；q2:f(x)单调递增，存在x00使

得f(x0)0，则是f(x)具有性质P的充分条件是（）

A．只有q1B．只有q2

C．q1和q2D．q1和q2都不是

【答案】C

【分析】对于q1，当a0，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得f(xa)f(x)f(a)成

立；对于q2，取ax0同理可得出结论．

【详解】q1：当a0，f(a)0，因为函数f(x)单调递减，

所以f(xa)f(x)f(x)f(a)

即f(xa)f(x)f(a)，存在a0，

当满足命题q1时，f(x)具有性质P.

q2：当ax00时，f(a)0，

因为函数f(x)单调递增，

所以f(xa)f(x)f(x)f(a)，

即f(xa)f(x)f(a)，

存在a0，当满足命题q2时，f(x)具有性质P.

综上可知命题q1、q2都是具有性质P的充分条件．

故选：C

【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力

和逻辑推理能力，属于中档题．

5．（2016·上海·高考真题）设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、

f(x)h(x)、g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)g(x)、f(x)h(x)、

g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

【答案】D

【详解】试题分析：

[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]

因为f(x)，所以

2

[f(x+T)g(x+T)][f(x+T)h(x+T)][g(x+T)h(x+T)]

f(x+T),又f(x)g(x)、f(x)h(x)、

2

[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]

g(x)h(x)均是以T为周期的函数，所以f(x+T)=f(x)，所以f(x)

2

是周期为T的函数，同理可得g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，②正确；

2x3,x0

2x,x1x,x0

取fx，gxx3,0x1，hx均不是增函数，

x3,x12x,x0

2x,x1

x,x0

4x3,x0x3,x1

而fxgx，fxhx4x,0x1，gxhx均为增函数，因此命题

x3,x04x,x1

x3,x1

①是假命题；选D.

【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性

【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，

关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决

问题的能力、基本计算能力等.

6．（2026·上海·高考真题）已知函数fx是偶函数，当x0时，fxxa，若f43，则

a__________．

【答案】1

【分析】根据偶函数的性质求解.

9/55

【详解】因为函数fx是偶函数，当x0时，fxxa，

所以f4f44a3，解得a1.

7．（2024·上海·高考真题）若函数fxx3axR是奇函数，则实数a______.

【答案】0

【分析】根据奇函数的定义求解．

【详解】f(x)是奇函数，则f(x)f(x)恒成立，

所以x3a(x3a)，解得a0

故答案为：0．

a2x1,x0

8．（2022·上海·高考真题）若函数f(x)xa,x0，为奇函数，则参数a的值为___________．

0,x0

【答案】1

【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.

【详解】当x0时，fxa2x1，

当x0时，x0，故fxa2x1，

a21

而fxfxa2x1xa，故即a1，

a1

故答案为：1.

9．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，

且|EF|2，则AEBF的最小值为________

【答案】3

【分析】设E(0,t)，F(0,t2)，表达出AEBF(t1)23，求出最小值，设E(0,t)，F(0,t2)，表达出

AEBF2tt2(t1)23，求出最小值，得到答案.

【详解】设E(0,t)，F(0,t2)，∴AE(1,t)，BF(2,t2)，

2

AEBF2tt2(t1)3，当t1时，AEBF最小值为3；

设E(0,t)，F(0,t2)，∴AE(1,t)，BF(2,t2)，

2

AEBF2tt2(t1)3，当t1时，AEBF最小值为3；

故答案为：3

x

31,x0

10．（2017·上海·高考真题）定义在0,上的函数yfx的反函数为yf1x，若gx

fx,x0

为奇函数，则f1x2的解为________.

8

【答案】

9

【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，f1x2的解就是求原函数f2的值，根据分段函数的解析

式，结合奇偶性求出g(2)，从而可得结果.

【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，

f1x2的解就是求原函数f2的值，

又f2g2,且gx为奇函数，

8

g(2)g(2)321132,

9

8

f2,即为f1x2的解,

9

8

故答案为.

9

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应

用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.

1

13

11．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①yx；②y；③yx；④2.从中任

xyx

选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

1

【答案】

3

1

13

【详解】由四个函数①yx；②y；③yx；④2，

xyx

2

从中任选2个函数，共有C46种，

其中“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有2种，

21

所以“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为P.

63

12．（2026·上海·高考真题）已知i,j,k是1，2，3的一个排列，若函数f1x，f2x，f3x，对任意xI，

都有f1xfix且f1xf2xfixfjx，则称i,j,k是关于f1x，f2x，f3x的一个I排列，

则关于f1x，f2x，f3x的I排列总数记为nI．

11/55

2

(1)已知I3,，f1xx，f2x0，f3xx1，判断3,1,2是否为I排列；

2

(2)对I0,，f1xx1，f2xxm，f3xx满足条件的nI6，求m的取值范围；

(3)对x0,，且对任意x0,，0Fx1，令Ia,，f1xFx，

1x

f2xFxaFxa，f3x1e，证明：若Fx严格减，则存在a0，使nI4；若Fx严

2

格增，则存在a0,1，nI2．

【答案】(1)是I排列；

1

(2)1m；

4

(3)首先证明第1个结论，

观察（2）问的6个情况，若f1(x)f3(x)和f2(x)f3(x)在Ia上同时成立，

[,)

那么排列(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)都将是I排列，此时nI至少为4．

x

当f1(x)f3(x)时，即F(x)1e，

因为F(x)是定义在[0,)上的函数，且严格单调递减，实数a0,I[a,)，

则F(0)Fa恒成立，

又因为函数y1ex在[a,)上单调递增，

则在区间Ia上，，a

F(x)maxFaf3xmin1e.

[,)a

若f1(x)f3(x)恒成立，则Fa1e，

则只需F(0)1ea，即ea1F0，因为对任意的x0,，0Fx1，

则F00,1，则1F(0)0,1，则解得aln(1F(0))，

1

当f(x)f(x)时，即[F(xa)F(xa)]1ex，

232

因为F(x)严格递减，所以F(xa)F(0)且F(xa)F(0)，

1

f(x)[F(0)F(0)]F(0)，

22

只要，就有a，

aln(1F(0))f2xF01ef3xminf3x

则可取aln1F0即可满足题意．

即存在a0，使得nI4.

再证明第2个结论.

假设对于任意的a(0,1)，都有nI2，

因为（2）中①排列(1,2,3)始终满足条件，

则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列．

首先，我们证明f1xf2x不可能恒成立：

假设对于某个a0，在[a,)上恒有f1(x)f2(x)．

1

即F(x)[F(xa)F(xa)]，

2

即F(xa)F(x)F(x)F(xa)，

取xn2ana(n0,1,2,)．由于F(x)严格递增，

令F(2a)F(a)0，

则FxnaFxnFxn1aFxn1F(2a)F(a)，

于是对任意正整数N：

N1

FxNFx0FxkaFxkN，

k0

当N时，FxN，这与0F(x)1矛盾！

因此，f1(x)f2(x)不可能恒成立．则排列③排列(2,1,3)和④排列(2,3,1)永远不可能是I排列．

接下来只剩②排列(1,3,2)，其需满足f2(x)f3(x)，

⑤排列(3,1,2)，其需满足f1(x)f3(x),f2(x)f3(x)，

⑥排列(3,2,1)，其需满足f1(x)f3(x)，

下面证明：对于任意a(0,1),f1xf3x在I上恒成立＂与＂f2xf3x在I上恒成立＂这两个命题，

必须有且只有一个为真．

x

（i）若对任意x0，都有f1xf3x，即都有F(x)1e，

对于任意a(0,1)和xa，

F(xa)F(xa)1e(xa)1e(xa)eaea

则f(x)1ex1exeaea1ex，

2222

当且仅当a0时等号成立，又因为a0，故等号无法取到，

x

所以f2(x)1ef3(x)恒成立，

13/55

则f2xf3x对所有的a(0,1)恒成立.

则此时②排列(1,3,2)，⑤排列(3,1,2)，⑥排列(3,2,1)均成立，

则nI4，与假设nI2矛盾！

x

（ii）并非对于所有x0都有f1xf3x，即F(x)1e，

x0

则必定存在x00，使得Fx01e，

x0

设Fx01e2(0)，

因为y1ex是严格单调递增的连续函数，

x1x0

则对于已知的Δ0，总可以找到x1x0，使得1e1e，

即1ex11ex0，即1ex01ex1，

同时，因为F(x)严格递增且x1x0，必有Fx1Fx0．

x0x1

即Fx11e21e2，

x1x1

即Fx11e1e，即f1x1f3x1，

则可取充分小的a使得ax0x1，即存在x1a，使得f1x1f3x1，

所以＂f1xf3x恒成立＂这个命题是假的．

既然f1xf3x为假，那么＂f2xf3x恒成立＂必须为真．

即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列(1,3,2)成立，此时满足nI2，

则对于a0,x1，在xa时都有：

F(xa)F(xa)

1ex，

2

即F(xa)F(xa)21ex，

取xx1，则对于任意a0,x1：

x1

Fx1aFx1a21e，

因为F(x)严格递增，则Fx1aFx1．

x1

则Fx1Fx1a21e

x1

又因为Fx11e，

x1x1

则1eFx1a21e

x1

即Fx1a1e，对任意a0,x1都成立．

取tx1a，因为a0,x1，则t0,x1，

x1

则对于0,x1内的任意t，都满足F(t)1e，

x1

因为0x0x1，故有Fx01e，

但是，之前我们得到1ex01ex1，

即1ex11ex0，则1ex11ex0，

x0

则有：Fx01e，这与我们的假设相矛盾．

综上，原命题成立，必然存在a(0,1)，使得nI2．

【分析】（1）根据I排列的定义判断即可；

（2）分析得1，2，3的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；

（3）第一个结论分f1(x)f3(x)和f2(x)f3(x)讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.

【详解】（1）由题意得i3,j1，

2

则当，213，

I[3,)f1(x)f3(x)xx1x0

24

则f1(x)f3(x)恒成立，

22

f1(x)f2(x)f3(x)f1(x)0xx1xx10，

则f1(x)f2(x)fi(x)fj(x)恒成立，

故(3,1,2)是为I排列.

（2）若nI6，则1，2，3的全排列均满足题意，

①(i,j,k)(1,2,3)，则有：f1(x)f1(x),f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)，此时两个不等式显然成立．

②(i,j,k)(1,3,2)，则有：f1(x)f1(x),f1(x)f2(x)f1(x)f3(x)，即f2(x)f3(x).

③(i,j,k)(2,1,3)，则有：f1(x)f2(x),f1(x)f2(x)f2(x)f1(x)，即f1(x)f2(x).

④(i,j,k)(2,3,1)，则有：f1(x)f2(x),f1(x)f2(x)f2(x)f3(x)，即f1(x)f2(x),f1(x)f3(x).

⑤(i,j,k)(3,1,2)，则有：f1(x)f3(x),f2(x)f3(x)．

15/55

⑥(i,j,k)(3,2,1)，则有：f1(x)f3(x),f1(x)f2(x)f3(x)f2(x)，即f1(x)f3(x).

f1(x)f2(x)

f(x)f(x)

13

则上述不等式均要成立，取它们的交集有f1(x)f2(x)f1(x)f3(x)，

f(x)f(x)f(x)f(x)

1223

x0

2

即f1(x)f2(x)f3(x)，即x1xmx对x0恒成立，

m12

分离参数得，因为当时，2111，

2x0yxxx

mxx244

1

所以1m.

4

（3）略.

13．（2026·上海·高考真题）设fx是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意x1,x2R，当x1x2时，

fx1fx2，则称函数fx具有“性质P”.

(1)判断函数fxex是否具有“性质P”；

ax,x0

(2)若分段函数fx具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；

xb,x0

(3)已知fx的值域为0,1，且在0,上是严格增函数，证明：fx是偶函数的充要条件是：fx具有

“性质P”.

【答案】(1)没有，理由见解析

(2)a1,b0

(3)证明见解析

【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；

（2）根据一次函数的单调性，结合“性质P”的特性进行求解即可；

（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质P”的特性进行运算证明即可.

【详解】（1）函数fxex不具有“性质P”，理由如下：

例如当x12,x23时，显然x1x2成立，

ex1e2,ex2e3，根据指数函数的单调性可知e2e3，

x

所以有fx1fx2，这与“性质P”矛盾，故函数fxe不具有“性质P”；

（2）因为函数fx具有“性质P”，所以取x10，有x10x2，

于是有fx1fx2，

当x20,时，由fx1fx20x2bb0，

当x2,0时，由fx1fx20ax2a0，

bbb

若b0，若x2,0，则有fx2fab，

aaa

x

取x20fxxbbfx，

12112

此时x1x2，但是fx1fx2，不符合“性质P”，所以b0不符合题意，

ax,x0

故b0，此时fx，

x,x0

x1

若x10,x20,x1x2时，则1，

x2

x1

由fx1fx2x1ax2aa1，

x2

x2

若x10,x20,x1x2时，则1，

x1

x2

由fx1fx2ax1x2aa1，

x1

因此a1，

综上所述：当且仅当a1,b0时，满足条件；

（3）充分性：若fx具有“性质P”，则fx是偶函数.

若存在x00，fx0fx0，不妨设fx0fx0，

记fx0M,fx0m，即Mm，

因为函数fx的值域为0,1，

所以0mM1，

若xx0，则有fxfx0m，

若xx0，则有fxfx0M，

Mm

故对任意xR，fx0,1，这与fx的值域为0,1矛盾，

2

所以fx0fx0不成立，则有fx0fx0，因此函数fx是偶函数；

17/55

必要性：若fx是偶函数，则fx具有“性质P”.

当x1x2时，因为fx在0,上是严格增函数，

所以fx1fx2，

又因为函数fx是偶函数，

所以由fx1fx2fx1fx2，因此fx具有“性质P”.

所以fx是偶函数的充要条件是：fx具有“性质P”.

14．（2024·上海·高考真题）已知函数fxlogaxa0,a1．

(1)若函数yfx的图象经过点4,2，求解不等式f2x2fx；

(2)若存在x，使得fx1、fax、fx2依次成等差数列，求a的取值范围．

【答案】(1)1,2

(2)1,

【分析】（1）代入点坐标计算求出fx=log2x，根据定义域和单调性即可求出f2x2fx的解集；

（2）根据fxlogax的定义域将问题转化为x0时，得出fx1fx22fax有解，再结合分离

常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）f42，则loga42，

a24，a0，a2，

fx=log2x，定义域为0,，

要解不等式f2x2fx，则x,2x20,，x1,．

又fx=log2x在定义域内是严格增函数，

由f2x2fx，则2x2x，解得x2．

综上所述，不等式f2x2fx的解集为1,2．

（2）fx的定义域为0,，存在x，使得fx1、fax、fx2依次成等差数列，

x10

则在方程2faxfx1fx2中，应满足x20，

ax0

由a0，解得x0，问题转化为x0时，方程fx1fx22fax有实数解．

又fxlogax，则logax1logax22logaax，

222

即logaax=logax3x2．

fx为严格单调函数，

a2x2x23x2，

23

x0，两边同除以x2得，a21．

x2x

1

令t，由x0，则t0,，

x

a22t23t1在t0有解．

2

231

又y2t3t12t在0,上是严格增函数，

48

y2t23t11,，即a21,，

又a0，则a1,.

15．（2022·上海·高考真题）已知函数f(x)，甲变化：f(x)f(xt)；乙变化：|f(xt)f(x)|，t0.

(1)若t1，f(x)2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)2的解；

(2)若f(x)x2，f(x)经乙变化得到h(x)，求不等式h(x)f(x)的解集；

(3)若f(x)在(,0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到h1(x)；将f(x)

先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到h2(x)，若对任意t0，总存在h1(x)h2(x)成立，求证：

f(x)在R上单调递增.

【答案】(1)x2；

(2)(,(12)t][(12)t,)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题设可得g(x)2x12，求解即可.

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