2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题13 数列（学生版）

专题13数列

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础考通项、公差公比、前n项和；变

考点01数列基本2017-2026年年考查，单选填空为主，

化：无穷等比区间、闭区间恒成立成为

量计算2021、2026出现3问解答

新热点，侧重参数范围求解

传统Sn与转化不变；新增数列增减

考点02递推公式2017-2025高频，2022、2023为单选

性、极限存在条件判断，常搭配举反例

an

与前n项和压轴，解答常结合单调性

辨析命题真假

核心变化：以“接近数列”“-加速数列”

考点03数列综合2017-2026解答压轴必考，2025、2026等新定义为载体，融合三角、导数、三

应用创新题型最多角形三边、排列计数，侧重存在性证明

与最值探究，难度显著拔高

考点01数列基本量计算

1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A．1，1，1，1，1B．1，2，3，4，5

C．5，5，5，5，5D．1，2，3，5，7

2．（2026·上海·高考真题）已知等差数列an中，a10，公差为d，其前n项和Sn在区间0,1内至少有

两项，则公差d的取值范围是__________．

3．（2026·上海·高考真题）已知an为等比数列，a12，a26，则a4__________．

4．（2025·上海·高考真题）已知an是首项为1、公差为1的等差数列，bn是首项为1、公比为q(q0)的

q

等比数列．若数列anbn的前三项和为2，则__________．

5．（2024·上海·高考真题）数列an，annc,S70，c的取值范围为___________．

1/8

6．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列an满足首项a10,q1，记Inxyx,ya1,a2an,an1，

若对任意正整数n集合In是闭区间，则q的取值范围是______．

．（上海高考真题）在无穷等比数列中，lim(a1an)4，则的取值范围是

72021··{an}na2________

8．（2021·上海·高考真题）等差数列an中，a13,d2，则a10______.

9．（2021·上海·高考真题）已知数列{an}满足an0，对任意n2，an和an1中存在一项使其为另一项与an1

的等差中项

（1）已知a15，a23，a42，求a3的所有可能取值；

（2）已知a1a4a70，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；

（3）已知数列中恰有3项为0，即arasat0，2rst，且a11，a22，求ar1as1at1的最大

值.

10．（2020·上海·高考真题）有限数列{an}，若满足|a1a2||a1a3||a1am|，m是项数，则称{an}满

足性质p.

（1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由.

（2）若a11，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围.

（3）若an是1,2,...,m的一个排列(m4),bkak1(k1,2...m1),{an},{bn}都具有性质p，求所有满足条件的

{an}.

考点02数列递推公式与前n项和

1．（2023·上海·高考真题）已知数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意k2022，都有

SkSk1，则下列说法可能成立的是（）

A．a1,a3,a5,,a2n1为等差数列，a2,a4,a6,,a2n为等比数列

B．a1,a3,a5,,a2n1为等比数列，a2,a4,a6,,a2n为等差数列

L

C．a1,a2,a3,,a2022为等差数列，a2022,a2023,a2024,,an为等比数列

L

D．a1,a2,a3,,a2022为等比数列，a2022,a2023,a2024,,an为等差数列

2．（2022·上海·高考真题）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是

（）

A．若S2022S2021，则数列{an}是递增数列

B．若T2022T2021，则数列{an}是递增数列

C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022a2021

D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022a2021

1n*

．（上海高考真题）在数列中，，，则liman

32017··{an}an()nNn

2

11

A．等于B．等于0C．等于D．不存在

22

4．（2025·上海·高考真题）已知等差数列an的首项a13，公差d2，则该数列的前6项和为_________．

=

5．（2023·上海·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且a13，q2，求S6______；

6．（2022·上海·高考真题）已知等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，若S50，则Sii1,2,100

中不同的数值有___________个.

aaa

129

7．（2020·上海·高考真题）已知an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则________

a10

8．（2018·上海·高考真题）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a30，a6a714，则S7________

2*

9．（2017·上海·高考真题）已知数列{an}和{bn}，其中ann，nN，{bn}的项是互不相等的正整数，若

lg(bbbb)

*14916

对于任意nN，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则________

lg(b1b2b3b4)

*

10．（2022·上海·高考真题）数列an对任意nN，且n2，均存在正整数i1,n1，满足

an12anai,a11,a23.

(1)求a4可能值；

(2)命题p：若a1,a2,...a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是

假，说明理由：

m*

(3)若a2m3,mN成立，求数列an的通项公式.

11．（2022·上海·高考真题）已知数列an，a21，an的前n项和为Sn.

若为等比数列，，求limSn；

(1)anS23n

*

(2)若an为等差数列，公差为d，对任意nN，均满足S2nn，求d的取值范围.

3/8

12．（2019·上海·高考真题）已知数列an，a13，前n项和为Sn.

（1）若an为等差数列，且a415，求Sn；

limSn12q

（2）若an为等比数列，且n，求公比的取值范围.

*

13．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单

位：辆），

5n415,1n3

其中an，bnn5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的

10n470,n4

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

2

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn4(n46)8800（单位：辆）.设在某月底，

共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

考点03数列的综合应用

n

1．（2025·上海·高考真题）已知数列an、bn、cn的通项公式分别为an10n9，bn2、，

cnan(1)bn.若对任意的0,1，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）

A．4个B．3个C．1个D．无数个

2**

2．（2017·上海·高考真题）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xnanbnc，nN，则“存在kN，

使得x100k、x200k、x300k成等差数列”的一个必要条件是（）

A．a0B．b0C．c0D．a2bc0

,,,,,,

3．（2024·上海·高考真题）a12a24a38a416，任意b1b2b3b4R，满足

{aiaj|1ij4}{bibj|1ij4}，求有序数列b1,b2,b3,b4有_____对.

4．（2023·上海·高考真题）令fxlnx，取点a1,fa1过其曲线yfx作切线交y轴于0,a2，取点

a2,fa2过其作切线交y轴于0,a3，若a30则停止，以此类推，得到数列an．

(1)若正整数m2，证明amlnam11；

(2)若正整数m2，试比较am与am12大小；

(3)若正整数k3，是否存在k使得a1,a2ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试

说明理由．

5．（2019·上海·高考真题）已知等差数列an的公差d0,，数列bn满足bnsinan，集合

Sx|xbn,nN.

2

（1）若a10,d，求集合S；

3

（2）若a1，求d使得集合S恰好有两个元素；

2

（3）若集合S恰好有三个元素：bnTbn，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

*

6．（2018·上海·高考真题）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意nN，都有|bnan|1，则

称{bn}与{an}“接近”.

1*

(1)设{a}是首项为1，公比为的等比数列，ba1，，判断数列{b}是否与{a}接近，并说明

n2nn1nNnn

理由；

(2)设数列{an}的前四项为：a11，a22，a34，a48，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合

M{x|xbi,i1,2,3,4}，求M中元素的个数m；

(3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2b1，b3b2，，b201b200

中至少有100个为正数，求d的取值范围.

一、单选题

、、

1．（2026·上海·三模）已知k1，则等比数列alog2kalog4kalog8k的公比为（）

1111

A．B．C．D．

2348

2．（2026·上海虹口·三模）若函数yfx满足：在定义域内存在互不相同的三个数x1，x2，x3，当x1，x2，

x3成等差数列，有fx1，fx2，fx3成等比数列，则称yfx满足“性质P”．对于以下两个结论，说

法正确的是（）．

①函数yx2不满足“性质P”；

②对于任意的正实数a，ytanax都满足“性质P”．

A．①、②都正确B．①、②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确

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3．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列an，使得（）．

A．sinan为严格增数列B．cosan为公差不为零的等差数列．

n1

C．cosSn为等比数列（其中，Snai）D．sin为周期数列

i1an

*

4．（2026·上海杨浦·二模）已知数列an，给出以下定义：若存在常数k0，对于任意的nN，都有

an2an1kan1an，则称数列an为“k-加速数列”，现给出下列命题：

1

①若a，则对任意k0，数列a都不是“k-加速数列”；

nnn

②若数列an是“1-加速数列”，且anZ，a1a20262026，则数列an存在最小项；

③若数列an是“2-加速数列”，且a11，a22，则存在M0，使得anM；

④正数列an是等比数列且公比q1，则an是“k-加速数列”的充要条件是k1.

其中正确的命题是（）

A．①②③B．②C．②④D．③④

5．（2026·上海黄浦·三模）记Sn为数列{an}的前n项和，已知{an}和{Snk}（k为常数）均为等比数列，

则k的值可能为

+

A．a1B．a2C．a3D．a1a3

二、填空题

2

6．（2026·上海黄浦·三模）已知数列an的前n项和为Snn（n为正整数），则数列an的通项公式为

________．

5

7．（2026·上海虹口·三模）已知等差数列an的公差为2，若a14，则ai_____________．

i1

8．（2026·上海普陀·二模）设k2，n1，k,nN，Sn是等比数列an的前n项和，且a10，公比为3，

1

令bnSn，若恰存在2个k的值，对任意的nk，皆有bnbk成立，则a1的取值范围为______.

Sn

9．（2026·上海普陀·二模）设n1，nN，Sn是等差数列an的前n项和，且公差d0，若a1a3S4，

且a3，a4，a6成等比数列，则Sn______________.

1

10．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列a满足对任意的正整数m，n都有aamn，

nmn3

则等比数列an的公比q的取值范围是________．

3

qi1i1

11．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列an的公比为，若a1q1，则a1q的取值范围是______.

i1i1

12．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该

四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________．

13．（2026·上海嘉定·二模）已知an是等差数列，a61，a2611，则a2026___________．

n1

14．（2026·上海金山·二模）已知Sn是数列an的前n项和，且Sn21，n1且nN．若

fxsinxa1sinxa2sinxa5，则fπ__________．

15．（2026·上海金山·二模）已知等差数列3，1，1，…，则该数列的第20项为__________．

、，

16．（2026·上海·三模）将数列an中随机剔除两项aiaj（其中1ijni,jN）然后在原数列中添加

1111

一项aiajaiaj叫做数列a的一次变换，那么数列1,,,,,经过2025次变换后数列中还剩下

n2320252026

的一项为______.

17．（2026·上海黄浦·三模）在等比数列an中，a1a2a35，a5a6a710，则a9a10a11_____．

6

18．（2026·上海·三模）已知数列an是首项为3公差为2的等差数列，则ai_________．

i1

19．（2026·上海·三模）记Sn为等差数列an的前n项和．若a12,a2a62，则S10__________．

20．（2026·上海长宁·二模）设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6