【新教材】人教版（2024）九年级上册数学全册核心知识点讲义

第第页【新教材】人教版（2024）九年级上册数学全册核心知识点讲义2026—2027学年新教材一元二次方程（第25章）→二次函数（第26章）→反比例函数（第27章）→高铁列车运行中的数量关系→旋转（第28章）→圆（第29章）→直线与圆的位置关系（第30章）→生活中的优化问题。第25章一元二次方程概念—降次解法—根与系数—实际问题25.1一元二次方程的概念一、判定一个方程是不是一元二次方程只含有一个未知数，含未知数的式子都是整式，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。判定时要先化简，再看未知数个数、整式条件和最高次数。一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。缺项时相应系数为0。注意：写二次项系数、一次项系数和常数项前，先把方程整理成右边为0的一般形式，系数的符号要随项一起确定。二、方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。已知某个数是方程的根，可以直接代入原方程建立等式。三、从实际问题得到一元二次方程长100cm、宽50cm的矩形铁皮四角各切去边长为xcm的正方形，折成无盖方盒，盒底长为100−2x，宽为50−2x。若盒底面积为3600cm²，则有(100−2x)(50−2x)=3600，整理得x²−75x+350=0。单循环比赛中，n支球队每两队之间比赛1场。每支球队要与其他n−1支球队比赛，但每场被两支球队重复计算一次，所以总场数为n(n−1)/2。若7天每天安排4场，则n(n−1)/2=28，整理得n²−n−56=0。25.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思路是降次：把二次方程转化为一次方程。配方法、公式法和因式分解法虽然形式不同，核心都是实现降次。25.2.1配方法对于方程x²=p：当p>0时有两个不相等的实数根x=±√p，当p=0时有两个相等的实数根x₁=x₂=0，当p<0时没有实数根。形如(x+n)²=p的方程可以把x+n看成一个整体直接开平方。一般方程使用配方法时，先把常数项移到右边，二次项系数不为1时先化为1，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方。x²+6x+4=0→x²+6x=−4→(x+3)²=5x₁=−3+√5，x₂=−3−√5易错点：开平方时±不能漏，配方时左右两边必须进行相同的运算。配方法中二次项系数不为1的处理以2x²+1=3x为例，先移项，再把二次项系数化为1。随后配方，左边形成完全平方。分数应按正常数学分式书写。x²−x²−(x−25.2.2公式法与根的判别式把ax²+bx+c=0（a≠0）用配方法整理，可以得到求根公式。式子b²−4ac能判别方程根的情况，通常用Δ表示。Δ=b²−4ac判别式实数根的情况Δ>0两个不相等的实数根Δ=0两个相等的实数根Δ<0没有实数根当Δ≥0时，求根公式为：x=用公式法时先把方程整理成一般形式，再准确写出a、b、c。特别注意b本身可能是负数，代入b²和−b时都要保留括号。公式法示例方程5x²−3x=x+1先整理为5x²−4x−1=0。此时a=5，b=−4，c=−1，Δ=(−4)²−4×5×(−1)=36>0。x=25.2.3因式分解法如果一元二次方程可以整理成两个一次因式的乘积等于0，就可以利用如果AB=0，那么A=0或B=0把二次方程降为两个一次方程。常见结构包括：有公因式可提取，能用平方差公式，两边有相同整体，移项后可以提取公因式，某些整式可以直接分解。使用因式分解法前，必须先把方程一边整理为0。x(x−2)+x−2=0→(x−2)(x+1)=0→x=2或x=−1例如3x(2x+1)=4x+2，整理得6x²−x−2=0，左边可分解为(3x−2)(2x+1)，于是得到两个根（见下式）。又如4x²−1=0可直接用平方差公式分解。x=三种解法的选择方法适用情况主要步骤配方法任何一元二次方程都可使用，需要把二次式配成完全平方时尤其重要移项→二次项系数化1→配方→开平方公式法任何一元二次方程都可使用化一般式→求Δ→代求根公式因式分解法能够较容易分解因式的方程移到一边为0→分解因式→各因式分别为0解具体方程时，先观察结构再选方法。能直接开平方或容易因式分解时，通常比机械套公式更简洁。25.2.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁、x₂时，根的和、积可以直接由系数表示。使用前先把方程整理成一般形式。x₁+x₂=这个关系也可由因式分解得到。若x₁、x₂是方程的两个根，则ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂)。展开右边并比较一次项系数和常数项，就得到根的和与积。不解方程求两根的对称式时，可以先把目标式改写成根的和与积。例如x₁²+x₂²可以写成(x₁+x₂)²−2x₁x₂，再代入根的和与积计算。注意：根与系数关系中的a、b、c必须来自ax²+bx+c=0，方程没有整理好时不能直接取系数。一元二次方程与黄金分割数设线段AB=1，点C把AB分成不相等的两段，AC<CB，并满足AC:CB=CB:AB。令CB=x，则AC=1−x，可得x²+x−1=0。结合0<x<1，取正根。x=25.3实际问题与一元二次方程一、基本步骤实际问题中先确定未知量，再根据题目中的等量关系列方程。求出方程的根后，还要回到原问题检查取值范围、正负性、整数性等条件，最后写出符合实际意义的答案。二、常见数量关系问题类型常用数量关系矩形与面积面积=长×宽，已知周长时可用一个未知数表示两条邻边连续整数直角三角形三边依次设为x，x+1，x+2，再用勾股定理列方程传播问题每一轮新增数量由上一轮已有数量与平均传播数共同决定平均增长率/下降率两年后数量=初始数量×(1±x)²循环比赛单循环n支球队比赛总场数为n(n−1)/2，双循环为n(n−1)平均增长率或下降率不是平均增加量/减少量。若初始量为A，连续两年平均增长率为r，则两年后为A(1+r)²，连续两年平均下降率为r，则两年后为A(1−r)²。易错点：实际问题出现两个代数根时，不能凭正根留、负根舍机械判断。应根据长度、人数、时间、比率等具体条件筛选。三、几个典型模型用40m长的细绳围矩形，若面积为96m²，设一边为xm，则另一边为20−xm，得到x(20−x)=96。两根为8和12，但它们只是同一个8m×12m矩形的两种设元结果，不表示有两个不同的矩形。传播问题中，开始1人被传染，每轮平均1人传染x人，两轮后共有121人，可列1+x+x(1+x)=121，化为(1+x)²=121，符合实际的解为x=10。两年前某食品成本为10000元，两年后降到6000元，若年平均下降率为x，则10000(1−x)²=6000。方程得到两个代数解后，由下降率应在0与1之间筛选，得到约22.5%。主客场双循环n支球队的比赛总场数为n(n−1)。若假设总场数为300，则n(n−1)=300，所得正根不是整数，因此不存在满足条件的球队数。人数、场数等离散量要检验整数条件。第26章二次函数概念—图象与性质—方程联系—实际应用26.1二次函数的概念一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。由实际问题列二次函数解析式时，先确定两个变量及对应关系，再利用面积、增长率、比赛场数等数量关系写出函数式，并结合实际条件确定自变量的取值范围。常见的二次函数来源用40m细绳围成矩形，若一边长为xm，则邻边长为20−xm，面积y=x(20−x)=−x²+20x。由于边长为正，实际范围是0<x<20。n支球队单循环比赛的场次数m=n(n−1)/2，某产品现年产量20t，连续两年每年比上一年增加x倍，则两年后产量y=20(1+x)²=20x²+40x+20。26.2二次函数的图象和性质26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质二次函数的图象叫作抛物线。抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点。a>0时开口向上，顶点是最低点，a<0时开口向下，顶点是最高点。a的符号开口方向增减性a>0向上x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大a<0向下x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小比较同号的a时，|a|越大，抛物线越靠近对称轴，开口越小，|a|越小，开口越大。描述增减性时必须说明x所在的区间。描点法画二次函数图象画函数图象时依次进行列表、描点、连线。二次函数具有对称性。列表时可围绕对称轴选取成对的横坐标，描点后用平滑曲线连接，不把抛物线画成折线。y=x²的顶点为(0，0)，对称轴为y轴。若点(m，m²)在图象上，则点(−m，m²)也在图象上，这正是关于y轴对称的坐标表现。26.2.2二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质抛物线y=a(x−h)²+k与y=ax²的形状相同、位置不同。它的对称轴是直线x=h，顶点是(h，k)。a>0时顶点为最低点，最小值为k，a<0时顶点为最高点，最大值为k。由y=ax²平移得到y=a(x−h)²+k时，h决定左右位置，k决定上下位置。最稳妥的判断方法是直接看顶点从(0，0)移到了(h，k)。函数形式由y=ax²得到的平移顶点y=ax²+kk>0向上|k|个单位，k<0向下|k|个单位(0，k)y=a(x−h)²h>0向右h个单位，h<0向左|h|个单位(h，0)y=a(x−h)²+k先后完成水平、竖直平移均可(h，k)易错点：式子y=a(x+2)²−3的顶点是(−2，−3)。括号内的符号与顶点横坐标相反。26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质把y=ax²+bx+c通过配方化为顶点式，就可以直接得到对称轴、顶点和最值。y=a(因此：对称轴：x=a>0时，函数在对称轴处取得最小值；a<0时，函数在对称轴处取得最大值。研究一般式时，先看a的符号确定开口，再求对称轴和顶点。一般式配方示例下面的函数配方后可写成顶点式，因此开口向上，对称轴为x=6，顶点为(6，3)，最小值为3。画图时可先确定这些关键特征，再利用对称性选点。y=由顶点和另一点求解析式喷水水柱最高点为(1.6，3)，落地点为(3.6，0)时，可设y=a(x−1.6)²+3。把(3.6，0)代入求出a，再得到下式。令x=0，可得到水管高度1.08m。a=−26.3二次函数与一元二次方程令二次函数y=ax²+bx+c的函数值为0，就得到一元二次方程ax²+bx+c=0。抛物线与x轴公共点的横坐标，就是对应方程的实数根。抛物线与x轴方程ax²+bx+c=0判别式有两个公共点有两个不相等的实数根Δ>0有一个公共点有两个相等的实数根Δ=0没有公共点没有实数根Δ<0也可以利用函数图象估计方程根的近似值：先观察抛物线与x轴交点的大致位置，再不断缩小根所在的区间。图象读出的结果通常是近似值。例如y=x²−2x−2的图象与x轴一个交点在2和3之间。计算f(2)<0、f(3)>0，再取中点2.5，继续比较函数值符号，可把根所在区间缩小到2.5与2.75之间，再继续细分。由图象还可以判断函数值的正负：抛物线在x轴上方时y>0，在x轴下方时y<0。写取值范围时要根据交点位置和图象开口方向逐段判断。26.4实际问题与二次函数一、最大值和最小值问题实际问题中的最大值或最小值，通常转化为二次函数的顶点问题。先列出函数解析式，同时确定自变量的实际取值范围，再判断顶点对应的自变量是否允许取到。例如h=−4.9t²+2.8t+11表示某次跳水中重心高度h与时间t的关系。抛物线开口向下，顶点对应最高点，计算得t≈0.3s时高度最大，最大高度约为11.4m。常见问题包括最大高度、最大面积、最大营业额和最大利润。利润问题中要区分销售额与利润：利润=销售额−成本。价格、人数等若限定为整数，自变量只能在允许的整数范围内取值。二、抛物线形实际对象拱桥、水柱、投篮轨迹等问题中，可根据对称性选择坐标系。若把抛物线顶点设为原点、对称轴设为y轴，解析式可简化为y=ax²，已知顶点不在原点时，可使用顶点式y=a(x−h)²+k。求某一高度处的宽度时，把对应的y值代入解析式得到两个对称的横坐标，宽度等于两个横坐标之差。实际问题还要保留单位，并检查结果是否符合题目给出的范围。固定周长下的最大面积用20m篱笆靠一面墙围矩形菜园，设垂直于墙的一边为xm，则另一边为20−2x，面积S=x(20−2x)=−2x²+20x，实际范围0<x<10。顶点横坐标为5，所以最大面积为50m²。价格与利润商品原售价60元、每周售300件、进价40元。若每件涨价x元，每周少售10x件，则利润y=(60+x−40)(300−10x)=−10x²+100x+6000。由顶点可得涨价5元时该函数取得最大值6250元。三、由数据判断函数模型给出若干组数据时，可以先在坐标系中描点，观察点的分布形状，再选择合适的函数模型。二次函数模型常表现为数据点大致沿一条抛物线分布，模型确定后再用数据求系数并检验。两数和保持不变时，乘积可以写成关于其中一个数的二次函数。例如91×99、92×98、…、99×91中，两个乘数的和始终为190，设一个乘数为x，积为x(190−x)，可用抛物线顶点解释为什么中间位置的乘积最大。刹车速度与刹车距离的数据处理中，也可先作散点图观察形状，再选择二次函数近似描述。利用模型作判断时，应把计算结果与数据范围、测量误差结合考虑。第27章反比例函数概念—双曲线图象—实际模型27.1反比例函数的概念一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数。自变量x不能取0。等价地，在函数图象上的任一点(x，y)都满足xy=k。y=已知反比例函数图象上的一点，可把点的坐标代入xy=k求出k，再写出解析式。判断某点是否在图象上，也可以检查横、纵坐标的乘积是否等于k。例如图象经过点(−2，4)，则k=(−2)×4=−8，所以解析式为y=−8/x。点(1，−8)、(−4，2)的横纵坐标乘积都为−8，因此在图象上。反比例关系必须有一个固定乘积。例如总路程固定时，平均速度与运行时间成反比例，若速度固定，则路程与时间是一次关系，不能只凭一个增、一个减判断反比例。27.2反比例函数的图象和性质反比例函数的图象由两支曲线组成，叫作双曲线。k>0时，两支分别位于第一、第三象限，k<0时，两支分别位于第二、第四象限。k的符号图象所在象限在每一个象限内的变化k>0第一、第三象限x增大时，y减小k<0第二、第四象限x增大时，y增大注意：反比例函数的增减性必须限定在每一个象限内。不能跨过x=0比较两支图象上的函数值。画反比例函数图象画y=k/x时可选取若干非零x值列表，计算相应y，再描点并用平滑曲线连接。因为x≠0且y≠0，图象不会与坐标轴相交，两支曲线分别向坐标轴靠近。反比例函数图象关于原点成中心对称。若(x，y)满足xy=k，则(−x，−y)仍满足xy=k。27.3实际问题与反比例函数反比例函数常出现在乘积保持不变的数量关系中。先找出固定总量，再把其中一个变量表示成另一个变量的函数。情境不变量或基本关系反比例关系固定货物总量卸载速度×时间=货物总量v=总量/t杠杆平衡动力×动力臂=阻力×阻力臂在右端固定时F=k/l做功一定W=FsW固定时s=W/F路程一定s=vts固定时v=s/t压力一定p=F/SF固定时p=F/S实际问题中的自变量往往只能取正数，还可能受到时间、速度、面积等范围限制。求至少不超过等问题时，要结合函数在正数范围内的变化趋势判断。由实验数据建立反比例模型时，可先作散点图，如果点的分布形似双曲线，再计算各组xy的值是否接近同一常数。数据来自测量时，模型通常是近似关系。杠杆与固定功阻力1200N、阻力臂0.5m时，阻力×阻力臂=600N·m。若动力为F、动力臂为l，则Fl=600，即F=600/l。动力臂1.5m时F=400N，若要求动力不超过200N，则l至少为3m。做功W=Fs。当W固定为500J时，位移s=500/F。要使位移小于100m，需要F>5N。这里不等号的方向可结合正数范围内反比例函数随自变量变化的趋势判断。由数据选择反比例模型气体压强p与体积V的6组测量数据中，pV的值都接近2000。取各组乘积的平均值并四舍五入得约1997，可用p≈1997/V近似描述；当p=132kPa时，估计V≈15.13mL。简易密度计的数据中，液体密度ρ与浸入深度h的乘积接近常数，可用h=k/ρ建立近似模型。实际测量数据带有误差，保留小数位数要与数据精度相适应。生活中的反比例关系压强p=F/S。在压力F一定时，压强p随受力面积S的增大而减小，p与S成反比例。因此刀刃磨薄、履带加宽等现象都可用压力一定时受力面积改变来解释。汽车功率P、速度v和所受阻力F满足v=P/F。在功率P一定时，速度v与阻力F成反比例；阻力越大，速度越小。综合与实践高铁列车运行中的数量关系路程—速度—时间—函数模型高铁运行问题的基本数量关系是s=vt。由时刻表可计算站间运行时间，由已知或估计的路程可求平均速度。全程平均速度等于总路程除以总时间，不能把各段平均速度简单作算术平均。把真实运行过程简化为出站加速—中段近似匀速—进站减速后，可以用一次函数描述速度随时间的均匀变化，用二次函数描述相应阶段路程随时间的非均匀变化。模型是对真实过程的近似，估计值要与实际数据对照。若相邻两站运行总时间为th，起始t₁h、结束t₂h做匀变速运动，中间以350km/h匀速运行，并把匀变速阶段的平均速度取为175km/h，则该段路程可按各阶段平均速度×时间相加得到。s=175t₁+350(t−t₁−t₂)+175t₂=350t−175(t₁+t₂)时刻表问题中要区分运行时间和停站时间。求某一站间平均速度时用站间路程÷该段运行时间，求全程平均速度时用总路程÷全程所用时间，是否计入停站时间取决于题目给出的时间口径。速度—时间图象中，匀速阶段是水平线段，匀变速阶段可用倾斜直线表示，路程—时间图象在匀速阶段是直线，在速度均匀变化阶段可用二次函数描述。坐标轴单位必须统一。第28章旋转旋转三要素—性质—中心对称28.1图形的旋转把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。描述一次旋转要明确旋转中心、旋转方向和旋转角。点P旋转到P′后，有OP=OP′，∠POP′等于旋转角。图形旋转前后形状和大小不变，对应线段相等、对应角相等。作旋转后的图形作点P的对应点P′时，先从旋转中心O出发，按规定方向作出与OP夹角等于旋转角的射线，再在射线上截取OP′=OP。多边形只需逐个作出各顶点的对应点，再按原来的顺序连接。旋转题中最先标出的量通常是对应点到旋转中心的距离相等和对应半径所夹角等于旋转角。这些等长、等角关系可以直接用于证明三角形全等或构造特殊三角形。28.2中心对称把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫作对称中心。对应点的连线经过对称中心，并且对称中心平分这条线段。一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形叫作中心对称图形。平行四边形是常见的中心对称图形。两个图形关于某点中心对称描述的是两个图形之间的关系，一个图形是中心对称图形描述的是一个图形自身的性质。两者共同的本质都是绕某点旋转180°。关于原点对称的点的坐标P(x，y)关于原点O的对称点为P′(−x，−y)横坐标和纵坐标同时变为相反数。这个坐标变化就是绕原点旋转180°的代数表示。旋转对称图形一个图形绕某一点旋转小于360°的某个角后能与自身重合，就具有旋转对称性。中心对称是旋转角为180°的特殊情形。平移、轴对称和旋转都属于保持图形形状和大小的全等变换。图案设计中可以把基本图形按固定的旋转中心、角度，或与平移、轴对称组合，形成重复图案。第29章圆基本概念—弦与弧—圆心角—圆周角—弧长与扇形29.1圆的有关概念平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆。定点叫圆心，定长叫半径。连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上两点之间的部分叫弧。小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。能够互相重合的圆叫等圆，在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫等弧。确定一个圆与三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等，因此是三角形外接圆的圆心，叫作三角形的外心。作三角形外接圆时，只需作任意两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心，以外心到任一顶点的距离为半径作圆。三点共线时不存在经过这三个点的圆。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆的这种对称性是垂径定理的重要基础。29.2圆的有关性质一、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。反过来，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦长、弦心距和半径常构成直角三角形。已知其中两个量，可以利用勾股定理求第三个量。拱桥问题中常把圆心到弦的垂线作为弦心距。二、圆心角与弧、弦顶点在圆心的角叫圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，相等的弧所对的圆心角相等、所对的弦相等，相等的弦所对的圆心角相等，对应的优弧和劣弧分别相等。在同圆或等圆中，圆心角、它所对的弧和弦之间可以互相转化。证明两条弦相等时，可以先证明它们所对的圆心角相等，已知弧相等时，也可以直接得到所对弦相等。三、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。结论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是90°。反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。圆题中出现直径时，应及时联想到直角，出现圆周角时，要先明确它所对的弧。四、圆内接四边形四个顶点都在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形。圆内接四边形的对角互补，即一组对角的度数之和为180°。等宽曲线：某些非圆曲线在不同方向上的宽度也保持相等。29.3弧长和扇形面积n°圆心角所对的弧长、扇形面积，分别占圆周长、圆面积的n/360。弧长l=使用弧长、扇形面积公式时，n是圆心角的度数。已知扇形弧长l时，扇形面积等于弧长与半径乘积的一半。求组合图形面积时，先把区域分解为扇形、三角形等基本图形，再进行加减。圆锥的侧面展开图沿圆锥的一条母线剪开并展平，圆锥的侧面是一个扇形。扇形半径等于圆锥母线长l，扇形弧长等于底面圆周长2πr，因此圆锥侧面积为πrl。若要求圆锥侧面展开扇形的圆心角n，可利用“展开扇形弧长=底面圆周长”列方程。圆锥的高不是展开扇形的半径，展开扇形的半径是母线。nπl第30章直线与圆的位置关系相离/相切/相交—切线—内切圆—正多边形30.1直线与圆30.1.1直线与圆相离、相切、相交直线与圆没有公共点时叫相离，只有一个公共点时叫相切，这条直线叫圆的切线，公共点叫切点，有两个公共点时叫相交，这条直线叫割线。位置关系公共点个数圆心到直线距离d与半径r相离0d>r相切1d=r相交2d<r判断位置关系时，d必须是圆心到直线的垂线段长度。图中没有垂线时，通常先过圆心作直线的垂线，再求d。30.1.2圆的切线切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。已知直线与圆相切时，连接圆心和切点就能得到垂直关系。切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明一条直线是切线时，若切点已经在圆上，常证明半径⊥直线，若要用距离判定，则证明圆心到直线的距离等于半径。作图：过圆外一点可以作圆的两条切线。连接圆外点P与圆心O，以OP为直径作辅助圆，可确定两个切点。切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。圆综合中出现切点时，连接圆心与切点可以立即得到直角，要证明切线时，则反过来寻找点在圆上+半径与直线垂直这两个条件。性质与判定的方向不能混淆。圆与圆的位置关系设两圆半径分别为r₁、r₂，圆心距为d。比较d与r₁+r₂、|r₁−r₂|，可以确定两圆的位置关系。位置关系数量关系外离d>r₁+r₂外切d=r₁+r₂相交|r₁−r₂|<d<r₁+r₂内切d=|r₁−r₂|内含d<|r₁−r₂|（同心圆是内含的特殊情况）30.2三角形的内切圆与三角形三条边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心。内心是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。作三角形内切圆时，作两个内角的角平分线得到交点I，再从I向任意一边作垂线，垂线段长度就是内切圆半径。以I为圆心、该垂线段为半径作圆。同一个圆外一点引出的两条切线段相等。三角形内切圆与三边相切后，从每个顶点出发的两条切线段分别相等，可用于求边长和周长。例如三角形三边AB=9、BC=14、CA=13，内切圆分别与三边相切。设从A引出的两条切线段长为x，则B、C两个顶点的切线段可分别表示为9−x、13