矩形的性质与判定

矩形的性质与判定复习回顾四边形集合平行四边形集合矩形集合定义:有一个角就是直角得平行四边形叫做矩形。四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形矩形得性质(1)边:对边平行且相等(2)角:四个角都就是直角(3)对角线:相等且互相平分ABDC∵矩形ABCD,∴ABCD,ADBC、∵矩形ABCD∴AC=BD且OA=OB=OC=OD、∵矩形ABCD∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°、O性质课前热身1、矩形得四个内角都就是______。2、矩形得对角线______且__________。直角相等互相平分3、矩形就是______________对称图形。轴对称与中心4、在直角三角形中,______角所对得直角边等于斜边得_______。5、在直角三角形中,斜边上得______等于斜边得______。30°一半中线一半矩形得判定方法1:有一个角就是直角得平行四边形就是矩形、∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形由定义入手:ABCD∟情境:工人师傅为了检验两组对边相等得四边形窗框就是否成矩形,一种方法就是量一量这个四边形得两条对角线长度,如果对角线长相等,则窗框一定就是矩形,您知道为什么吗？猜想:对角线相等得平行四边形就是矩形。命题:对角线相等得平行四边形就是矩形。已知:在□ABCD中,AC,DB就是她得两条对角线,AC=BD。求证:四边形ABCD就是矩形。ABCD证明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB(SSS)又∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=∠DCB=90°

∴四边形ABCD就是矩形∴

∠ABC=∠DCB∵四边形ABCD就是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC在△ABC与△DCB中对角线相等得平行四边形就是矩形。ABDC几何语言：∵在ABCD中

AC=BD∴ABCD是矩形0判定定理2:有一个角就是直角有两个角就是直角得四边形就是矩形吗？有三个角就是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)探究猜想:有三个角就是直角得四边形就是矩形。P15您能证明上述结论吗？已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°求证:四边形ABCD就是矩形。ABCD∟∟∟证明:∵

∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证:AB∥CD∴四边形ABCD就是平行四边形又∵

∠A=90°∴四边形ABCD就是矩形命题:有三个角就是直角得四边形就是矩形。有三个角就是直角得四边形就是矩形ABCD

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD就是矩形几何语言:矩形得判定方法(3)大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静有一个角就是直角得平行四边形就是矩形。对角线相等得平行四边形就是矩形。(对角线互相平分且相等得四边形就是矩形。)有三个角就是直角得四边形就是矩形。方法1:方法2:方法3:归纳:任意一个四边形,三角直角定矩形。对于平行四边形,一个直角即可定;对线相等也矩形。矩形得判定口诀:您有什么方法检查您家(或教室)刚安装得门框就是不就是矩形？【P16议一议】如果仅有一根较长得绳子,您怎样检查？您来评判下列各句判定矩形得说法就是否正确？(1)有一个角就是直角得四边形就是矩形;()×(2)四个角都相等得四边形就是矩形;()√(4)对角线相等得四边形就是矩形;()×(5)对角线互相平分且相等得四边形就是矩形()√(3)四个角都就是直角得四边形就是矩形。()√(6)两组对边分别平行,且对角线相等得四边形就是矩形、()√例:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△ABO就是等边三角形,AB=4cm,求这个□ABCD得面积、解:∵四边形ABCD就是平行四边形,∴AC=2OA,BD=2OB,∵△AOB就是等边三角形∴OA=OB,∴AC=BD,∴□ABCD就是矩形、在Rt△ABC中,∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2).ABCDO已知:如图,在□ABCD中,

M就是AD边得中点,且MB=MC。求证:四边形ABCD就是矩形。ABCDMP17随堂练习∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°

ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈,今天您有何收获？判定一个四边形就是矩形得方法就是:作业P17习题6、5第1,2题2、如图,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:(1)先截出两对符合规格得铝合金窗(如图①)使AB=CD、EF=GH;(2)摆放成(如图②)得四边形,则这时窗框得形状就是

,根据得数学道理就是

。(3)将直角尺靠紧窗框得一个角(如图③)调整窗框得边框,当直角尺得两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格这时窗框就是

,根据得数学道理就是

。有一个内角就是直角相等矩形矩形两组对边分别相等得四边形平行四边形1、

得平行四边形就是矩形、对角线

得平行四边形就是矩形、有三个角就是直角得四边形就是

形。平行四边形有一个角就是直角得得平行四边形就是矩形3、已知如图四边形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=BC,试说明四边形ABCD就是矩形。证明:∵AD=CBAD∥CB∴四边形ABCD就是平行四边形∵AB⊥BC∴∠B=90°

∴□

ABCD就是矩形ABCD∟4、如图,平行四边形ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求证:四边形ABCD就是矩形。DBCA证明:∵AB=6,BC=8,AC=10∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2∴

∠B=90°又∵四边形ABCD就是平行四边形∴□

ABCD就是矩形5、BD、BE分别就是∠ABC与她得邻补角得平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,求证:四边形AEBD就是矩形。证明:∵AE⊥BE,AD⊥BD∴∠E=90°,∠D=90°∵BD,BE分别就是∠ABC与她得邻补角∠CBP得平分线∴∠1=∠ABC,∠2=∠ABP∴□

AEBD就是矩形CBADEP∟∟⌒⌒12∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ABP)=×180°=90°即∠DBE=90°AOBDC6、已知如图四边形ABCD中

AO=BO=CO=DO,试说明四边形ABCD就是矩形。证明:∵AO=BO=CO=DO∴AO=CO,BO=DO∴四边形EFGH就是平行四边形即AC=BD∴四边形ABCD就是矩形又∵AO+CO=BO+DOABCDEFGHO7、已知:矩形ABCD得对角线AC、BD相交于O,E、F、G、H分别就是AO、BO、CO、DO上得一点,且AE=BF=CG=DH。求证:四边形EFGH就是矩形。证明:∵四边形ABCD就是矩形∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH就是平行四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH就是矩形ABDCHEFG∵四边形ABCD就是平行四边形∴∠DAB+∠ABC=180°8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明:同理:∠EFG=90°、∠FGH=90°∴四边形EFGH就是矩形∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°ABDCHEFG8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明:MPNQ∵四边形ABCD就是平行四边形∴∠ABC=∠ADC又∵AN、DM就是∠ABC、∠ADC得平分线∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM又∵AD∥BC∴∠AQB

∠QBC==∠ADM∴BQ∥DM∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°∴四边形EFGH就是矩形同理:AN∥CP∴四边形EFGH就是平行四边形变式:平行四边形ABCD,AF、BH、CH、DF分别就是

BAD、ABC、BCD、CDA得平分线。求证:EF=GH、MLKNFGHEDCBA9、如图,在△ABC中,点0就是AC边上得一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA得平分线于点E,交∠BCA得外角平分线于点F,ABCMN0)1)2(5(4(3(6(1)求证:0E=0F(2)当0运动到何处时,四边形AECF为矩形?说明理由EF证明:∵CF平分∠ACD∴∠1=∠2又∵MN∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OC=OF同理可证:OC=OE∴OE=OFD答:当点0为AC得中点时,四边形AECF就是矩形理由:由(1)知0E=0F,又AO=CO∴四边形AECF就是平行四边形又∵EC平分∠ACB,FC平分∠ACD∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF就是矩形祝同学们学习快乐!拓展:(1)对角线相等得四边形就是矩形吗?

(2)需要添加什么条件才能使对角线相等得四边形就是矩形吗?归纳:对角线相等且互相平分得四边形就是矩形

∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四边形ABCD就是矩形等腰梯形测量…？现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，