山东省滨州市部分学校2027届高三上学期开学学情综合诊断数学试题（含答案）

第页，共页山东省滨州市部分学校2027届高三上学期开学学情综合诊断数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．设复数z满足，则（

）A． B．1 C． D．23．已知向量,则实数（

）A．-1 B．0C． D．34．已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．一名教师和四名同学站成一排照相，已知学生甲与老师相邻，则学生乙与老师不相邻的概率为（

）.A． B． C． D．7．已知实数满足，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．9 D．8．已知正三棱锥，且，以为球心，为半径的球面与底面三角形的交线长为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知圆，直线，则（

）A．直线上存在点，使得B．直线被圆截得的弦长为4C．圆上的点到直线的最大距离为D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为10．箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为，则下列结论正确的是（

）A．和互斥 B．C． D．11．已知函数和它的导函数的定义域均为，满足，且是奇函数，，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．若一个等差数列的前4项的和等于4，前8项的和等于72，则这个数列的公差等于___________．13．已知函数在处取得最大值，则___________．14．平面四边形的对角线的中点分别为，，则___________．四、解答题15．某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示：年份20212022202320242025年份代号12345基金金额（亿元）0.400.701.101.501.80(1)计算与的相关系数（保留三位小数）；(2)求关于的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额．参考公式：．参考数值：．16．的内角的对边分别为，其面积为且．(1)求；(2)若且，求．17．如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值．18．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为．（i）求弦长的最小值；（ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求．19．（1）证明：当时，；（2）若，，求的最大值；（3）若对于任意的，且，都有，求的最大值．参考答案题号12345678910答案ACCBDDBABCDBC题号11答案BCD12．413．/14．/15．（1）由题意，，则，，则．故与的相关系数为．（2）由（1），则，故关于的线性回归方程为，令，则，故该公司2026年设立的研发奖励基金金额为亿元．16．（1）由，且，得，三角形面积公式：，则，联立得，由三角形内角和，则，展开整理得，即，由，得．（2）由，得，为等边三角形，故，由，知D在边上，且，在中，由余弦定理得，即，解得，由得．17．(1)是等边三角形，是中点，则，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，因为，是等边三角形，所以，又，所以，而，所以，所以，即，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的一个法向量是，则，取得，设，则，记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.18．（1）由题意，所以，则椭圆方程为，又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆方程为；（2）（i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设，由得，，，，，，原点到直线的距离为所以，化简得，满足()，所以，，则，，所以，直线斜率不存在时，设直线方程为，显然，由得，，，，所以，综上，所以的最小值是；（ii）以线段为直径的圆经过坐标原点，则，由（i）知，，，化简得，又由（i）知，即，所以，解得.19．（1）因为和都是奇函数，所以和都是偶函数，因此只需证明时，即可，令，求导得，因为，所以，故，所以在上单调递增，因为，所以时，，即，结合偶函数性质，对任意，都有，当且仅当时取等号；（2）由题意，对任意，恒成立，令，则的最大值为在上的下确界，对求导，令，则，由（1）知，当时，，所以，因此在上单调递增，且，所以，即在上恒成立，故单调递增，由此的下确界为时，要使不等式恒成立，必须有，所以的最大值为.（3）对于任意不相等的实数​，由和差化积公式，因为恒成立，所以，由，得，若要等号成立，需同时满足且，当时，（），即，此时，由于​，所以，故，由（1），当时，有，所以，因此