初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(第二课时) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级八学期上课题角的平分线的性质（第二课时）教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养学生逻辑推理的能力.教学重点：发现并正确使用角平分线的性质进行推理与书写.教学难点：角平分线的性质定理的应用．教学过程时间教学环节主要师生活动1-2分钟4-5分钟4-5分钟3-4分钟5-6分钟5-6分钟2-3分钟定理复习例题与练习小结与作业定理复习角的平分线上的点到角的两边的距离相等．使用定理时的书写：∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD＝PE．例1．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：由角平分线的性质可求得DE＝DF，BE＝FC来自于证明Rt△BDE≌Rt△CDF．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴EB＝FC．点评：1．本题中角的平分线的性质的题设非常明确，应第一时间想到利用其得到DE＝DF．2．从结论出发，结合已知和已证的条件，可知需要证明△BDE≌△CDF．3．可以认为是两个板块结合，注意每部分书写，有了角的平分线的性质不要再多证一次全等．例2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？提到距离，想到把它作出来；作PD，PE，PF分别垂直于三边AB，BC，CA，D，E，F为垂足：根据角的平分线性质可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．注意有不止一组基本图可以用到角的平分线的性质．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM为△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理PE=PF．∴PD＝PE＝PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．点评：本题的关键是考虑复原基本图，作出对应的辅助线．练习:如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理PG＝PH．∴PF＝PG＝PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．例3如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF．分析：“两组等，待全等”，“有双垂，补角分”．如图，连接AD，先证△ABD≌△ACD（SSS），则对应角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分线的性质证得结论．证明：如图，连接AD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．点评：本题的关键是既可以从复原基本图考虑，也可以从作公共部分来入手，作出对应的辅助线．练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是∠PEO，并证明你的结论．分析：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．构造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），则该全等三角形的对应角相等：∠PDA＝∠PEO．解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：如图，过点P作PF⊥OA于点A，PH⊥OB于点H．∵OP平分∠AOB，∴PF＝PH．在Rt△PDF与Rt△PEH中，∴Rt△PDF≌Rt△PEH（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA＝∠PEO．小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时:1．熟悉定理及其对应的基本图；2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是：补全基本图如，过角平分线上的点向角两边作垂线；3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不要再使用全等证明一遍这个结论．课后作业：1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．分析：根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB：AC．2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．证明：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）．∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线的性质）．备用题（补充在例2之前）例．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）分析：PC相当于点P到边BC的距离，所以我们可以这样理解这个题，点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等，什么样的点符合这个要求呢？根据我们近期所学，角平分线上的点到角两边距离相等．因此我们判断，点P应该在∠ABC的平分线上．题目有告诉我们点P还在AC上，那么在两条线上的点应该就是它们的交点了．作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．证明：作PH⊥AB于H．∵∠C＝