人教版高考数学必修二 题型突破 第31讲 体积及点到面的距离问题（解析版）

第31讲体积及点到面的距离问题题型一：三棱锥体积三种思路：1.直接找高2.转换顶点3.转化为大的棱锥的倍数【例1】如图，在正三棱锥P﹣ABC中，，．(1)求P﹣ABC的体积．【答案】(1)【详解】（1）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝，AO＝．∴PO＝．∴．【例2】如图，在直三棱柱中，，，平面，点为侧棱上一个动点.(1)求此直三棱柱的表面积；(2)当最小时，求三棱锥的体积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用矩形与三角形的面积公式分别求出直三棱柱中各个面的面积，并相加即可；（2）展开三棱柱，由平行线分线段成比例求得，而且得到，利用换顶点法可求得，得解.【详解】（1）由题可知，在中，，又因为平面，所以.（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交于点，则此时最小，，，，，，，【例3】如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）．(1)证明：平面；(2)若点在线段上，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到平面，，结合，证明出线面垂直；（2）作出辅助线，求出各边长，利用求出答案.（1）取的中点，连接，由题知平面．因为平面，所以，又因为，，PO,AD⊂平面PAD,所以平面．（2）取的中点，连接，，因为为正三角形，所以，，则，，由（1）知，为三棱锥的高，因为平面，平面，所以，所以，因为，则.【例4】如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.(1)若M为PB的中点，证明：面PAD；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CDHM为平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行；（2）利用求解三棱锥的体积.（1）取AP的中点H，连接DH，MH，因为M为PB的中点，所以HMAB且，因为，，，所以，所以HMCD，且HM=CD，所以四边形CDHM为平行四边形，所以DHCM，因为平面PAD，平面PAD，所以CM平面PAD.（2）取AD的中点E，连接PE，因为为等边三角形，所以PE⊥AD，因为平面平面ABCD，交线为AD，平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，因为，，所以CD⊥BC，因为，所以，过点D作DN⊥AB于点N，则四边形BCDN为矩形，所以BN=CD=，，因为，所以，由勾股定理得：，所以，，则三棱锥的体积.【例5】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．(1)证明：平面ACM；(2)求三棱锥N－ACM的体积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接BD交AC于E，连接EM，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）证明CD⊥平面PAD，再根据即可得出答案.（1）证明：连接BD交AC于E，连接EM，因为ABCD是正方形，且BD交AC于E，所以E为BD的中点，又点M，N分别是棱PD的三等分点，所以M为DN的中点，所以，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM；（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，所以PA⊥CD，PA⊥AD，因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又，AD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD，在Rt△PAD中，，点M，N分别是棱PD的三等分点，所以，所以．【题型专练】1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.(1)求三棱锥的体积；【答案】(1)【分析】（1）取中点，连接，易知且底面，由此即可求出答案；（1）取中点，连接，在中，分别为中点，∴为的中位线，∴，且，又∵，∴∵底面，∴底面，∴；2．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：∥平面；【答案】(1)5；(2)详见解析；【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得；（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；（3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得.（1）因为，，，所以，即，又D是AB的中点，所以；（2）设与相交于点，连接，在中，为的中点，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；3．如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得结论成立.（2）先判断出三棱锥的高，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.【详解】（1）因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由题知是等边三角形，O为的中点，所以，且.由题可知为等腰直角三角形，.又因为，所以，所以.又因为平面，所以平面，所以三棱锥的高为，其体积为.4.如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，E是的中点，，．(1)求证：；(2)是线段上的点，且满足．求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证明，利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得到；（2）先利用题意计算出，接着证明平面和平面，则可得到到平面的距离等于到平面的距离，即可求得答案（1）因为四边形为正方形，为的中点，，所以即，解得，在中，由正弦定理得：，因为，所以，即，因为平面，所以平面又因为平面，所以；（2）在中，，在中，，所以，解得，在中，，所以，因为平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，因为，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以三棱锥的体积题型二：四棱锥的体积【例1】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点.(1)求四棱锥的体积；【答案】(1)体积为1【分析】（1）根据已知条件因为平面，所以棱锥的高，直接利用棱锥的体积公式求值即可得解；【详解】（1）因为平面，所以即四棱雉的体积为1；【例2】如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．(1)求证：；(2)求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)根据题意和面面垂直的性质定理可得平面即可得到证明；(2)根据题意，找出底面和高，并求出底面积，求出高，结合锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得；（2）由题意知，多面体即为四棱锥，则，即多面体的体积为.【例3】如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点．(1)求证：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据线线垂直得线面垂直，进而由面面垂直的判断即可求证，（2）根据面积比得体积比，根据等体积法即可求解.【详解】（1）由，可知,由于故，因为底面，平面，所以，又，故,平面,所以平面,又平面，故平面平面.（2）由，可知，因此，因此,故四棱锥的体积为2【例4】如图所示，在四棱雉中，，，点M在线段SB上，且平面SAD．(1)求的值，并说明理由；(2)若，，求四棱雉的体积．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CMND为平行四边形，得到MN=CD，利用△ABD为等边三角形，求出，故，故，利用相似知识求出答案；（2）作出辅助线，证明出SE⊥平面ABCD，四棱锥S-ABCD的高，再求出四边形的面积，利用椎体体积公式计算即可.【详解】（1）如图1，过点M作MNAB交AS于点N，连接DN，因为∠ABC=∠BCD=90°，则CDAB，所以MNCD，即M，N，D，C四点共面，因为CM平面SAD，平面NMCD，平面NMCD平面ADS=ND，故CMND，故四边形CMND为平行四边形，故MN=CD，因为，，故△ABD为等边三角形，∠ABD=60°，所以，故，故，由相似知识可得；（2）如图2，取AD的中点E，连接SE，BE，因为，所以△SAD与△ABD均为等边三角形，所以SE⊥AD，BE⊥AD，因为，所以，，同理可得：，因为，所以，由勾股定理逆定理得：BE⊥SE，又，平面ABCD，故SE⊥平面ABCD，故SE是三棱锥S-ABCD的高，即，由（1）知：中，，，，所以，，四边形的面积为，故，故四棱锥的体积为.【例5】如图，在长方形中，，，M为DC的中点.将沿AM折起得到四棱锥，且.(1)证明：；(2)若E是线段DB上的动点，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)3：4【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面BDM后可得线线垂直；（2）先证明平面，得平面平面，取AM中点N，连接DN，证明平面，可计算出四棱锥的体积，设，则E到平面ADM的距离为，计算出三棱锥的体积，再由已知比值求得．【详解】（1）∵，，，满足，∴，∵，，平面BDM，∴平面BDM，∵平面BDM，∴.（2），，，由（1）得，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，取AM中点N，连接DN，∵，∴，平面平面，∴平面，∴，设，则E到平面ADM的距离为，∴，∵，∴，解得，∴当时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2.【例6】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.(1)求正四棱锥P－ABCD的体积；(2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：；(3)若球O是正四棱锥P－ABCD的内切球，点Q是正方形ABCD内一动点，且OQ＝OP，当点Q沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，证明，则即为面PAD与底面ABCD所成角的平面角，从而可求得底面边长及高，再根据棱锥的体积公式即可得解；（2）根据，利用等体积法即可得证；【详解】（1）解：连接交于点，取的中点，连接，由正四棱锥的几何特征可得为的中点，底面，，，因为为的中点，所以，所以即为面PAD与底面ABCD所成角的平面角，即，，则，所以；（2）证明：，因为，所以；【题型专练】1．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.(1)求四棱锥的体积；【答案】(1)；【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中，所以，点到平面为高，又因为，所以，四棱锥的体积；2．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为．(1)求四棱锥的体积；(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）过点作底面的垂线，根据二面角求得，再结合棱锥的体积公式即可求得结果；（2）利用三角形相似证明垂直于在底面的投影，再利用线面垂直，即可证明线线垂直.【详解】（1）取的中点为，连接，过点作底面的垂直，垂足为，连接，如下所示：因为三角形为边长的等边三角形，故可得，且；又面面，故，又面，，故面，又面，故；又面面面，则即为与底面所成二面角的平面角，即，故，则四棱锥.（2）连接，延长交于点，如下所示：因为，，，，则，故△，，故，，即，又面面，故；面，故面，又面，故.3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而证明平面，，由，得；由等腰三角形的三线合一得，从而平面，由此能证明平面平面.（2）由平面得到，即可求解.【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，又，，、平面，∴平面，平面，；又在平行四边形，，则，∵在中，，为中点，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，平面平面.（2）由题知，，则在中，，是中点，所以，即，故平行四边形的面积；又因为平面，，所以四棱锥的体积.4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后再根据面面垂直的判定定理即可说明平面平面；（2）首先根据（1）平面的条件，可得，方法一，借助相似三角形求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法二，通过建立平面直角坐标系，利用平面向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法三，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法四，通过向量线性运算及数量积运算求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）因为底面平面，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）方法一：相似三角形法由（1）可知.于是，故.因为，所以，即.故四棱锥的体积.5．如图，三棱锥中，平面平面，点在线段上，且，点在线段上，且平面.(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为7，求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）结合面面垂直的性质和等腰三角形的性质证明平面得，根据线面平行的性质并结合得，进而证明平面；（2）设，则，再结合相似于得，得，进而得四边形的面积，最后结合体积公式解方即可得答案.(1)证明：因为，所以为等腰中边的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以.因为平面，平面平面，平面,所以//又因为，所以因为，所以平面.(2)解：设，在直角三角形中，，，即，因为//所以相似于，所以，因为，所以，即，所以四边形的面积为，由（1）可知是四棱锥的高，，所以，所以，所以或，所以或.6．如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.（1）证明：图②中平面平面；（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过题意有，以及可得，结合线面垂直判定定理可得平面，结合面面垂直判定定理可得结论成立；（2）由可得，算出及到平面的距离，根据体积公式和条件建立等式化简即可.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，因为为正三角形且，所以，且，因为为正方形，所以，，，因为，则，所以，又，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）在上取点，连接，，，由（1）知平面平面.则到平面的距离.因为，所以，因为为正三角形，且，所以，所以，又因为三棱锥的体积.所以.【点睛】(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理().(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.题型三：多面体的体积【例1】如图，在四棱锥（图一）和三棱锥（图二）中，四边形为正方形，平面，≌，将四棱锥和三棱锥重新组合成一个新的几何体（图三），且面和面完全重合，且，．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）通过证明，即可由线线垂直证明线面垂直；（2）根据（1）中所证，分别求得的体积，即可求得结果.【详解】（1）因为面面，故，又//，故底面为直角梯形，又，故可得，又，故，则；又面面，故，又四边形为正方形，故，面，故面面，故；又面，故面.（2）因为面，又正方形的面积，故的体积；又面，面面，故，则三角形为直角三角形，则其面积，，故四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比为.【例2】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）利用割补法分别计算四棱锥与三棱锥的体积，再求和即可.【详解】（1）如图所示，连接，平面，平面，，四边形为菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如图所示，取中点，连接，四边形为菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱锥的体积为，又因为平面，所以三棱锥的体积，所以几何体的体积.【例3】刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.(1)求证：；(2)若已知，求该五面体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面平行的性质定理即得；（2）过点作，作，过点作，作，由题可得即为二面角的平面角，结合条件利用余弦定理可得；利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得.(1)五面体中，因为平面，平面，平面平面，所以.(2)过点作，作，垂足分别为，，过点作，作，垂足分别为，，连结，，如图，取中点，连结，由知，，因为，，且，是平面内两相交直线，所以平面，因为平面，所以，又，是平面内两相交直线，所以平面，在中，，，可得，所以，四棱锥和的体积均为，三棱柱的体积，所以，该五面体的体积为.【例4】如图所示，在直三棱柱中，是的中点.(1)证明：平面；(2)设，求几何体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）连接交于，连接，证明后得证线面平行；（2）由直三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得．（1）连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，所以，所以，，．【例5】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．（1）如图所示：分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如图所示：分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．【题型专练】1．如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.(1)求证：平面平面；(2)求几何体的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）只须证明平面与平面构成二面角的平面角为即可；（2）将几何体分割成两部分，分别求体积即可．（1）证明：因为是边长为2的菱形，，所以和都是边长为2的正三角形，因为平面，所以、，又因为与平面所成的角为，所以，所以，取中点，连接、，又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，，又因为，取中点，连接、，因为，所以，因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角，又因为，，，所以，所以，所以平面平面．（2）解：因为平面平面所以平面平面设的中点，连接，有因为平面平面所以面，即是四棱锥B-CDEF的高易求

所以2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为的中点．(1)证明：平面；(2)求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连结，，由题意可推出，即可证明，结合线面平行的判定定理，可证明结论；（2）求得四棱锥以及三棱锥的体积，二者相减可得答案.（1）取的中点，连结，，∵为中点，∴，由题意知,故，∴，四边形为平行四边形，∴∵面，面，故平面；（2）取的中点，连结，而，则∵面面，面面，PH在平面PAD中，∴面，取的中点，∴，∴面，又，故,∵,∵,∵．3．如图，已知多面体中，平面，平面，且，，，四点共面，是边长为2的菱形，，．(1)求证：平面；(2)求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意得，再根据条件证明平面，得到四边形为矩形，所以，又，即可求解；（2）根据题意得，进而得到，求解计算即可.(1)如图，连接和交于点，连接，因为，，，四点共面，平面，平面平面，所以，因为底面是边长为2的菱形，，所以，所以四边形为平行四边形，又因为平面，且平面，所以，所以四边形为矩形，所以，又因为，，所以，且，所以平面．(2)由（1）易知，，，，所以平面，且四边形为直角梯形，所以，又，所以．所求多面体的体积为．4．如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面.(1)证明：平面；(2)若，求该多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，由四边形是平行四边形，得，即可证明平面；（2）分别计算，，再由计算多面体的体积即可.(1)如图，连接，交于点，取的中点，连接，.因为底面是正方形，所以是的中点，所以，.又，，所以，，故四边形是平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.(2)设该多面体的体积为，则.因为底面，所以，又，，所以平面，同理可得平面.因为，所以，所以.因为，所以，所以.故该多面体的体积.题型四：点到面的距离问题（等体积法）【例1】如图所示，三棱柱中，，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先由线面垂直得到，再通过线线垂直得到平面，从而得到平面平面；（2）取的中点，证明平面，再求出的值，求出三棱柱的体积，再求出与三棱柱同底同高的三棱锥的体积，然后进行等体积转化得到三棱锥的体积，求出的面积，然后得到点到平面的距离.【详解】（1）证明：平面，．，，平面．又平面，平面平面．（2）解：取的中点，连接．，．又平面平面，且交线为，则平面．平面，，四边形为菱形，．又，是边长为正三角形，．面,面面设点到平面的距离为．则．，，．所以点到平面的距离为．【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，通过线面平行和变化顶点和底对三棱锥进行等体积转化，属于中档题.【例2】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点.(1)求证：直线OE⊥平面ABCD；(2)若，，求点G到平面ADE的距离.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用面面垂直的性质得到平面，再利用三角形的中位线、平行四边形的判定和性质得到，进而得到平面；（2）先利用线面平行的判定定理得到平面，将点到平面ADE的距离等于点到平面ADE的距离，再利用和体积公式进行求解.【详解】（1）连接、，因为，所以，又因为面面，面面，面，所以平面；因为、分别为、的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，则平面；（2）因为，平面，平面，所以平面，即点到平面ADE的距离等于点G到平面ADE的距离，设所求距离为，则；由（1）得,，则，因为，，且，所以，因为，，且，所以，又，所以为等腰三角形，且边的高为，则,所以，解得，即点G到平面ADE的距离为.【例3】如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．【答案】(1)垂直，证明见解析(2)4【分析】（1）由面面垂直的性质到得平面，再由线面垂直的判定得到平面，从而证明出平面平面；（2）取的中点，连接，利用等体积法由，即可求解．【详解】（1）平面与平面垂直．证明如下：因为底面为矩形，所以．又侧面底面，且平面平面，平面所以平面．又平面，所以．又，且，平面，所以平面．又平面，所以平面平面，即平面平面．（2）当为的中点时，取的中点，连接．因为，所以．因为侧面底面，且平面平面，平面，所以底面．因为，，所以，．在中，，，所以．由（1）知平面，又平面，所以．所以．因为，所以．设点到平面的距离为，则由，得，解得．所以点到平面的距离为4．【例4】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．(1)求证：平面；(2)求点到平面距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）运用平行四边形思想得线线平行，根据线面平行判定定理证明即可；（2）运用等体积法求点到平面距离即可.【详解】（1）证明：取的中点,连接,因为是中点，是中点，所以,且，所以,且，所以,且，所以四边形是平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面；（2）由题知，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，易得，在中，，所以，因为，所以，所以，解得，所以点到平面距离为.【题型专练】1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由线面垂直性质得，根据已知可证，再应用线面、面面垂直的判定证结论；（2）AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H，由面面垂直的性质有面PAM，即BH的长为B到面PAM的距离，等面积法求长度即可.【详解】（1）因为底面，平面，所以.底面为矩形，且，，则，所以Rt△Rt△，易知.又，面，所以平面，而平面