2025-2026年浙江省苏教版高二数学下册第10课函数性质练习题

2025-2026年浙江省苏教版高二数学下册第10课函数性质练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在区间(-2,2)上的最大值是（）A.4B.3C.2D.1解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=0，f(1)=0，f(2)=4，故最大值为4。选项A正确。2.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：二次函数f(x)的对称轴为x=-a。由题意x=1为对称轴，故-a=1，解得a=-1。选项A正确。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：利用绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，当且仅当ab≥0时取等号。此处f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(-1)-2|=3，最小值为3。选项C正确。4.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0,π]上的单调递减区间是（）A.[0,π/4]B.[π/4,3π/4]C.[3π/4,π]D.[π/2,π]解析：sin函数在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]单调递减，当k=0时为[π/2,3π/2]。在[0,π]内对应[π/2,π]。选项D正确。5.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.R解析：由x²-2x+1>0得(x-1)²>0，解得x≠1。定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。选项A正确。6.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：f(x)=2cos²x-sin(2x)=1+cos(2x)-sin(2x)=1-√2sin(2x-π/4)。sin函数周期为2π，故最小正周期为2π。选项B正确。7.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极值，则p+q的值为（）A.-2B.0C.2D.4解析：f′(x)=3x²+p，由f′(1)=0得3+p=0，即p=-3。又f′′(1)=6>0，故x=1为极小值点。计算f(1)=1-p+q=1+3+q=0，得q=-4。p+q=-7。选项无正确答案，需修正题干为“则p²+q²的值”。8.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时单调递增，则a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a∈R解析：f′(x)=e^x-a，若f(x)单调递增，需e^x-a≥0对任意x→+∞成立，即a≤e^x→0，故a≤0。选项无正确答案，需修正题干为“则a的取值范围是（）”。9.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域是（）A.(-∞,-1/3)B.(-1/3,0)C.(0,1/3)D.(1/3,+∞)解析：f′(x)=[(x²-1)-2x²]/(x²-1)²=(1-x²)/x²-1。在(-2,-1)内x²∈(1,4)，1-x²<0，故f′(x)<0，函数单调递减。计算f(-2)=-2/7，f(-1)=-1，值域为(-1,-2/7)。选项无正确答案，需修正题干为“在区间(1,2)上的值域”。10.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小值是（）A.1/2B.3/4C.1/4D.0解析：f(x)=sin²x+1/2cos(2x)+1/2=1/2+1/2cos(2x)+1/2。cos(2x)∈[-1,1]，故f(x)∈[1/2,3/4]。最小值为1/2。选项A正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点是_________。参考答案：1解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f′′(1)=6>0，故x=1为极小值点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处的函数值为_________。参考答案：3解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的对称轴方程为_________。参考答案：x=π/12+kπ/2(k∈Z)解析：sin函数对称轴为2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2-π/12。4.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域为_________。参考答案：(1/2,+∞)解析：2x-1>0得x>1/2。5.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)的对称中心为_________。参考答案：(π/4+kπ/2,1/2)(k∈Z)解析：f(x)的周期为π，对称中心为周期的一半，即x=π/4+kπ/2，f(π/4)=1/2。6.若函数f(x)=x²+px+q在x=-1处取得极值，则p-q的值为_________。参考答案：-2解析：f′(-1)=2-1+p=0，得p=-1。f(-1)=1-p+q=0，得q=0。p-q=-1。7.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时单调递增，则a的取值范围是_________。参考答案：a≤0解析：f′(x)=e^x-a，需e^x-a≥0对任意x→+∞成立，即a≤0。8.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(1,2)上的值域为_________。参考答案：(1/3,1/2)解析：f′(x)=(-x²+1)/(x²-1)²<0，函数单调递减。计算f(1)不存在，f(2)=2/3，值域为(1/3,2/3)。9.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小值是_________。参考答案：1/2解析：f(x)=1/2+1/2cos(2x)+1/2，cos(2x)∈[-1,1]，故f(x)∈[1/2,3/4]。最小值为1/2。10.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值是_________。参考答案：3解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=3，最大值为3。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²≥0，等号仅当x=0成立，故单调递增。2.函数f(x)=|x|在x=0处取得极值。（）参考答案：错误解析：f′(x)=-1/x在x=0处不存在，故无极值。3.函数f(x)=sin(x+π/2)的周期为π。（）参考答案：正确解析：sin函数周期为2π，平移不改变周期，故周期仍为2π。4.函数f(x)=log₃(x²-1)在x=2处取得最小值。（）参考答案：错误解析：f(x)在x=2时无定义。5.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时单调递增，则a=0。（）参考答案：错误解析：a≤0即可，a=0是充分非必要条件。6.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(1,2)上单调递减。（）参考答案：正确解析：f′(x)=(-x²+1)/(x²-1)²<0，故单调递减。7.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的值域为[1/2,3/4]。（）参考答案：正确解析：f(x)=1/2+1/2cos(2x)+1/2，cos(2x)∈[-1,1]，故f(x)∈[1/2,3/4]。8.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最小值是-4。（）参考答案：正确解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=3，最小值为-4。9.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)的最小正周期为π。（）参考答案：正确解析：f(x)=1-√2sin(2x-π/4)，sin函数周期为2π，故最小正周期为2π。10.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。（）参考答案：错误解析：f′(1)=0，但f′′(1)=6>0，故x=1为极小值点，非极值。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间和极值点。解答：(1)求导f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f′(x)=0得x=-1或x=1。(2)列表分析：|区间|(-∞,-1)|(-1,1)|(1,+∞)||------------|---------|--------|--------||f′(x)|+|-|+||f(x)|↗|↘|↗|(3)单调增区间：(-∞,-1),(1,+∞)；单调减区间：(-1,1)。(4)极值点：x=-1处取得极大值f(-1)=4；x=1处取得极小值f(1)=0。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解答：(1)分段函数：当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。(2)最小值为3，取值范围[3,+∞)。3.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的对称轴方程和周期。解答：(1)周期：sin函数周期为2π，故f(x)周期为2π/2=π。(2)对称轴：令2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2-π/12。对称轴方程为x=π/12+kπ/2(k∈Z)。4.求函数f(x)=x/(x²-1)的单调区间。解答：(1)定义域：x≠±1。(2)求导f′(x)=(-x²+1)/(x²-1)²。令f′(x)=0得x=±1。(3)列表分析：|区间|(-∞,-1)|(-1,1)|(1,+∞)||------------|---------|--------|--------||f′(x)|-|+|-|(4)单调减区间：(-∞,-1),(1,+∞)；单调增区间：(-1,1)。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(2)=3，求p,q的值。解答：(1)由f(2)=3得8-2p+q=3，即2p-q=5。(2)f′(x)=3x²-p，由f′(1)=0得3-p=0，即p=3。(3)代入2p-q=5得6-q=5，解得q=1。(4)验证：f′′(1)=6>0，x=1为极大值点。参考答案：p=3，q=1。2.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|的最小值为3，求a的取值范围。解答：(1)分段函数：当x<-2时，f(x)=-(x-a)-(x+2)=-2x-a-2；当-2≤x<a时，f(x)=-(x-a)+(x+2)=a+2；当x≥a时，f(x)=(x-a)+(x+2)=2x-a+2。(2)最小值为a+2=3，解得a=1。(3)验证：当a=1时，f(x)=|x-1|+|x+2|，最小值为3。参考答案：a=1。3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且在x=π/4处取得最大值，求ω,φ的值。解答：(1)周期：π=2π/ω，解得ω=2。(2)最大值：sin(2x+φ)=1，当x=π/4时，2(π/4)+φ=2kπ+π/2，解得φ=π/2-π/2=0。(3)验证：f(x)=sin(2x)，周期为π，在x=π/4处取得最大值1。参考答案：ω=2，φ=0。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为8，求a的值。解答：(1)求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或2。(2)计算端点值：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=3。(3)最大值为3，最小值为-4，差为3-(-4)=7≠8，矛盾。(4)重新分析：题干有误，若最大值与最小值之差为8，需调整题设。参考答案：题设矛盾，无法求解。【