2026新教材数学 人教版九年级上册 26.1 二次函数的概念 教学课件

第二十六章二次函数

26.1二次函数的概念导入新课前面我们学习过函数,

请思考:

什么叫函数?我们之前学习过哪些函数?它们的形式是怎样的?导入新课什么叫函数?一般地,

在一个变化过程中,

如果有两个变量

x

与

y,并且对于

x

的每一个确定的值,

y

都有唯一的值与其对应,

那么我们就说

x

是自变量,

y

是x的函数.○○○…xy●●●…自变量x的函数导入新课我们之前学习过哪些函数?它们的形式是怎样的?我们之前学过正比例函数、一次函数.它们的形式分别是

y=kx(k

为常数,

k≠0),

y=kx+b(k,b

为常数,

k≠0).任务一：情境导入，初步认识二次函数问题

1:

如图所示是一个棱长为

xcm的正方体,

它的表面积为

ycm2,则

y

与

x

之间的关系式可表示为什么?y

是

x

的函数吗?高效课堂对于

x

的每个值,

y

都有唯一的值与之对应,故

y

是

x

的函数.正方体有

6

个面,

每个面的面积为

x2,这是我们学过的一次函数吗?你能类比一次函数给这个函数命名吗?则

y

与

x

之间的关系式为

y=6x2.问题

2:

n

支球队参加比赛,

每两队之间进行

1

场比赛.

比赛的场次数

m

与球队数

n

之间有什么关系?m

是

n

的函数吗?高效课堂每支球队要与其他(n

-

1)支球队各比赛

1

场,

由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,

所以比赛的场次数

m=n(n

-1),即

m=n2

-

n.对于

n

的每一个确定的值,

m

都有唯一确定的值与其对应,

即

m

是

n

的函数.问题3:

某种产品现在的年产量为

20t,计划今后两年增加产量.

如果每年都比上一年的产量增加

x

倍,

那么两年后这种产品的产量

y(单位:t)将由

x

的值确定,

y

与

x

之间的关系应怎样表示?高效课堂如果每年都比上一年的产量增加

x

倍,

这种产品现在的年产量是

20t,一年后的产量是___________t.再经过一年后的产量是________________t,即两年后的产量是__________t,即

y

与

x

之间的关系式可表示为__________________.两年后的产量

y

与每年的计划增产倍数

x

之间存在关系,

其中

x

和

y

都是变量,

而且对于

x

的每一个确定的值,

y

都有唯一确定的值与之对应,

所以

y

是

x

的函数.20(1

+

x)20(1

+

x)(1+x)20(1

+

x)2y=20x2+40x+20任务二：抽象特征，明确定义问题

1:

上述三个函数解析式具有哪些共同特征?高效课堂上述问题中,

函数都是用自变量的二次式表示的.

三个函数的解析式化简后都可以化为

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,

a≠0)的形式.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,

a≠0)二次函数自变量二次项系数一次项系数常数项二次函数的一般式问题2:

为什么强调

a≠0?b,c

是否可以为

0

?高效课堂若

a=0,则

ax2+bx+c

不是关于

x

的二次多项式,

不符合“二次”的要求;若

a≠0,b=0,则

y=ax2+c;若

a≠0,c=0,则

y=ax2+bx;若

a≠0,b=0,c=0,则

y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式.

特殊形式例

1

下列函数中,

哪些是二次函数,

哪些不是?若是二次函数,

指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.高效课堂任务三：例题精讲，巩固应用

(1)不是二次函数.解:

(2)

是二次函数,

二次项系数是

3,

一次项系数是

-2,

常数项是

0.(3)

化简得

y=-2x+1,不是二次函数.(4)

不是二次函数.(5)

当

a=0时,

不是二次函数;

当

a≠0时,

是二次函数,

此时二次项系数是

a,一次项系数是

4,

常数项是

1.(1)y

=-

1;(2)y

=

3x2

-

2x;(3)y

=

(x

-

1)2

-

x2;(4)y

=+

3x;(5)y

=

ax2

+

4x

+

1.例

2

(1)一个圆柱的高等于底面半径,

写出它的表面积

S

关于半径

r

的函数解析式.(2)一种产品某年的销售量为

8

万件,

由于其他新产品的出现,

后两年的年销售量有所下降,

年平均下降率是

x.写出两年后产品的年销售量

y(单位:

万件)

关于x

的函数解析式.高效课堂

(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和,

所以S=2πr2+2πr•r,即

S=4πr2.解:

(2)一年后产品的年销售量为

8(1

-

x)万件,

两年后的年销售量为

8(1

-

x)(1

-

x)万件,

所以

y=8(1

-

x)2,即

y=8x2

-

16x+8.课堂评价1.下列

y

关于

x

的函数中,

属于二次函数的是

(

)A.y=ax2+bx+cB.C.D.C点拨

A.当

a=0时不是二次函数,

故此选项不符合题意.B.不是二次函数,

故此选项不符合题意.C.是二次函数,

故此选项符合题意.D.整理得

y=2x+1,不是二次函数,

故此选项不符合题意.课堂评价2.y

关于

x

的二次函数解析式是

y=-2x2+4x+1,

其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是

(

)A.2,-4,-1B.-2,4,1C.2,-4,1D.-2,4,-1B课堂评价3.下列变量具有二次函数关系的是

(

)A.圆的周长

C

与半径rB.在弹性限度内,弹簧的长度

y

与所挂物体的质量

xC.正方形的面积

S

与边长

a

D.匀速行驶的汽车,

路程

s

与时间

tC点拨

A.C=2πr,是一次函数关系.B.弹簧的长度

y

是随着物体的质量

x

增大而增长的,

是一次函数关系.C.正方形的面积

S=a2,是二次函数关系.D.s=vt,故匀速行驶的汽车,路程

s

与时间t之间是一次函数关系.课堂总结1.二次函数的定义是什么?2.如何从实际问题中抽象出二次函数解析式?3.它和一次函数的本质区别是什么?总结:

二次函数是刻画现实中变量关系的重要模型,

只要充分把握二次项系数

a≠0这个核心,

就能够准确识别二次函数;从实际问题建模时,

一定要先理清变量间的逻辑关系,

再列式化简.作业设计基础性作业:

教材练习第1~3题.提高性作业:教材习题26.1第1~4题.拓展性作业:

如图,

某单位准备将