山东青岛市2026-2027学年高三上学期期初调研检测数学+答案

2026年高三年级期初调研检测7.若曲线y=e在点(x,eˣ)处的切线也是曲线y=In(x+1)在点(x₂,In(x₂+1)处的切线，则

x₂(x₁+1)=

数学试题2026.09A.-1B.D.1

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

8.设集合A={(x₁,x₂,x,x4,x₅)|x,∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5}.从A中随机抽取一个元素，记随

注意事项：

机变量X=x²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²,则X的数学期望为

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如A.4B.C.2

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写D.5

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

是符合题目要求的。

9.已知(1+x)²ⁿ=a₀+a,x+a₂x²+…+a₂x²"(n∈N'),则

1.样本数据2,4,1,8,6的80%分位数为

A.4

B.5C.6D.7A.a₂=C2nB.展开式中二项式系数的和为4'

2.若单位向量a,b的夹角为60°,则|a-b|=

C.a₁+a₃+as+…+a2n₋4=2”D.展开式中系数最大的项是第n项

C.1D.√3

10.已知椭圆1

3.若集合A={x∈N|-1<x<3},则A的真子集个数为)且a=2b,上、下顶点为B₁,B₂,过坐标原点0的

A.3B.4C.7D.15直线交E于P,Q两点，其中P在第一象限，PH⊥x轴于点H,直线QM交E于点N,

4.若抛物线y²=4x上一点M与焦点F的距离|MF|=3,0为坐标原点，则△OMF的面积

为交x轴正半轴于点M,△QOM的面积是△POH的面积的3倍，则

A.B.√2C.2D.2√2

A.E的离心率为B.P,B₁,Q,B₂四点可能共圆

4

5.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点一

C.△PQN为直角三角形.∠的最小值为

DtanPNQ3

A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度11.已知函数,则

C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度

A.f(x)<1B.

6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.

“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第n层比第n-1层多n个球，则第100层球C.D.

的个数为

A.4949B.4950C.5049D.5050

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。17.(15分)

游乐园有一项基于如图所示的高尔顿板设计的游戏.游客支付一

12.已知复数z的虚部为√3,|z|=2,在复平面内z对应的点位于第二象限，则z=定的乐园积分即可参与一次游戏，将小球从顶端放入，小球下落的过

程中，每次碰到钉子后都等可能地向左或向右落下，最终落入底部从

13.甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，

左到右依次编号为1,2,…,7的7个格子中.当小球落入m号格

若向上的点数为1或2,从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到子时，游客可获得ξ=|20-5m|积分；若落入奇数号格子还可获得一

2个白球的概率为_件礼品.

(1)求游客在一次游戏中获得礼品的概率；

14.已知函数f(x)=e-e²x²在(-1,1)内存在5个极值点，则a的取值范围为(2)商家希望游客在一次游戏中获得的积分不超过支付积分的75%,求一次游戏的最低

支付积分(支付积分为整数);

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(3)在统计学中，对于离散型随机变量X~B(n,p),当np≥10且n(1-p)≥10时，可认

为X近似服从正态分布N(μ,σ²),其中μ和σ分别为X在二项分布中的期望和标准差.经统

15.(13分)计，100次游戏后共送出32件礼品.某工作人员认为装置存在偏差，需调试.请结合正态分布

如图，在△PAO中，PO⊥OA,PO=20A.将△PAO绕边PO旋转到△PBO的位置，的3σ原则，判断此工作人员的说法是否合理并说明理由.

使∠AOB=120°,点C为AB中点.

(1)证明：PC⊥AB;

18.(17分)

(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2√3,0),B(2√3,0),点M满足M|A|-MB|=2√6.

记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设直线1交C于P,Q两点，交x轴于点N,S为线段PQ的中点.线段PQ的垂直

平分线经过点R(0,1),且与x轴交于点T.

(i)证明：|RT|=2|ST|;

(ii)求△SNT面积的取值范围.

16.(15分)19.(17分)

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcosC+bsinC=a+√2c.已知函数

(1)求B;

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)AC,BC边上的中线BM,AN交于点P,a=√2,c=2,求∠MPN的余弦值.

(2)当x>1时，f(x)<0,求a的取值范围；

(3)设n∈N',证明：

数学试题第3页共4页数学试题第4页共4页

2026年高三年级期初调研检测数学参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，

1-8:DCCBCDAB

来源：1.人教A版必修第二册P202例3

2.人教A版必修第二册P60第9题

3.人教A版必修第一册P6第3题(3)

4.人教A版选择性必修第一册P138习题3.3第3题

5.人教A版必修第一册P240第1题(1)

6.人教A版选择性必修第二册P26第12题

7.人教A版选择性必修第二册P104第13题

8.2026年全国I卷第8题

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.AB10.ACD11.ABD

来源：9.人教A版选择性必修第三册P35第7题(2)

10.人教A版选择性必修第一册P108例3:2026年全国I卷第18题

11.人教A版选择性必修第二册P95例7

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.-1+√3i;13.14.(2,√2e)

来源：12.人教A版必修第二册P74第10题

13.人教A版选择性必修第三册P52第4题

14.2022年全国乙卷数学(理)第16题

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

15.(13分)

解：(1)证明：由题意得PO⊥OA,PO⊥OB,OA∩OB=0

所以PO⊥平面ABO

又因为ABC平面ABO,所以PO⊥AB…………3分

因为点C为AB的中点，所以OC是等腰△AOB中∠AOB的平分线

所以OC⊥AB

因为PO∩OC=0,所以AB⊥平面POC

又因为PCc平面POC,所以PC⊥AB…6分

数学评分标准第1页(共6页)

(2)证明：在平面ABO内过0作OH⊥OB,以O为原点，OH,OB,OP所在直线为

x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设PO=2,则P(0,0,2),

B(0,1,0),)…………8分

所以,PB=(0,1,-2)

设平面PBC的法向量n=(x,y,z)

则即

令x=2,则n=(2,2√3,√3)……………10分

因为

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为……13分

来源：人教A版必修第二册P104第3题；人教A版选择性必修第一册P41第3题：

人教A版选择性必修第一册P41习题1.4第2题

16.(15分)

解：(1)因为bcosC+bsinC=a+√2c

由正弦定理得sinBcosC+sinBsinC=sinA+√2sinC

即sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C)+√2sinC

即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+sinCcosB+√2sinC

即sinBsinC-sinCcosB=√2sinC…2分

因为0<C<π,所以sinC≠0,故sinB-cosB=√2

即…………4分

因为0<B<π,

得,所以…………7分

(2)由(1)知,设a=BC,b=BA,|a|=√2,1b|=2

则a·b=-2……………8分

数学评分标准第2页(共6页)

所以

则|

所以∠MPN的余弦值为…15分

来源：人教A版必修第二册P53第12题：人教A版必修第二册P54第22题

17.(15分)

解：(1)记“游客在一次游戏中获得礼品”为事件A,获得礼品等价于小球落入的格子的编

号为奇数.

故游客在一次游戏中获得礼品的概率为…4分

(2)由ξ=|20-5m|,可知ξ的可能取值为0,5,10,15

……·8分

因此ξ的分布列为：

ξ051015

P

…………9分

设一次游戏需要支付x积分，由游客在一次游戏中获得的积分不超过支付积分的75%,得

0,解得x≥6.25,故一次游戏最低支付7积分，……………10分

(3)此工作人员的说法是合理的，理由如下：

设送出礼品X件，

装置正常时：

数学评分标准第3页(共6页)

……………12分

因为且,可认为X近似服从正态分布N(50,5²)………13分

;

根据正态分布的3σ原则；若装置正常，送出礼品数几乎全部落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内，

即[35,65],而实际送出礼品为32件，落在[35,65]之外，属于正常情况下几乎不可能发生

的小概率事件，因此有理由认为装置存在系统偏差，此工作人员的说法是合理的.…15分

来源：人教A版选择性必修第三册P74例2

18.(17分)

解：(1)由题知M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支，c=2√3,2a=2√6,得

a=√6,b=√c²=q²=√6,所以C的方程为……3分

(2)(i)由题可知，直线!的斜率存在且不为0,

设1:y=kx+m(k≠0),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),S(x₀,y₀),

得(1-k²)x²-2kmx-m²-6=0,

则(*)

所以.………………6分

又因为R(0,1),所以直线RS的斜率

化简得1-k²=2m………………8分

所以.,即

,即RT|=2|ST|……10分

(ii)由|RT|=2|ST|,得T(k,0),

因为1-k²=2m,则