华东师范大学《材料力学》课件-第七-八章截面

材料力学截面的几何性质I1面积矩与形心位置2惯性矩、惯性积、极惯性矩3惯性矩和惯性积的平行移轴定理

截面的几何性质4惯性矩和惯性积的转轴定理*

截面的主惯性轴和主惯性矩1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积。dAxyyx二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标例1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转动惯量类似）

是面积与它到轴的距离的平方之积。

dAxyyxr二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=03惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC注意:C点必须为形心例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆4惯性矩和惯性积的转轴定理*

截面的主惯性轴和主惯性矩一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到

=

0

时；恰好有

与

0

对应的旋转轴x0

y0

称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。2.形心主轴和形心主惯性矩：

主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主轴方向

—

0

⑥求形心主惯性矩例3在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③

建立形心坐标系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1结束材料力学第八章组合变形第八章组合变形§8–1概述§8–2斜弯曲§8–3弯曲与扭转§8-4拉(压)弯组合偏心拉（压）截面核心一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。§8–1

概述MPRzxyPPPhg二、组合变形的研究方法——

叠加原理①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。xyzP§8–2

斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。PyPzPzPyyzPj2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。xyzPyPzPPzPyyzPj解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲①内力xyzPyPzPPzPyyzPjLmmxL②应力My引起的应力：Mz引起的应力：合应力：PzPyyzPjxyzPyPzPLmmx④最大正应力⑤变形计算③中性轴方程可见：只有当Iy=Iz时，中性轴与外力才垂直。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。当

=

时，即为平面弯曲。PzPyyzPjD1D2a中性轴ffzfyb例1结构如图，P过形心且与z轴成

角，求此梁的最大应力与挠度。最大正应力变形计算当Iy=Iz时，即发生平面弯曲。解：危险点分析如图ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a中性轴

例2矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，容许挠度为：L/200，E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。解：①外力分析—分解qa=26°34´hbyzqqLAB§8–3

弯曲与扭转80ºP2zyxP1150200100ABCD解：①外力向形心简化并分解建立图示杆件的强度条件弯扭组合变形80ºP2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx②每个外力分量对应的内力方程和内力图③叠加弯矩，并画图④确定危险面(Nm)MyxMz(Nm)xMn(Nm)xM(Nm)Mmaxx⑤画危险面应力分布图，找危险点⑥建立强度条件xMxB1B2MyMzMnM①外力分析：外力向形心简化并分解。②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：建立强度条件。弯扭组合问题的求解步骤：例3

图示空心圆杆，内径d=24mm，外径D=30mm，P1=600N，[

]=100MPa，试用第三强度理论校核此杆的强度。①外力分析：弯扭组合变形80ºP2zyxP1150200