2022-2026五年中考数学真题分类汇编（浙江）专题14 相似三角形与锐角三角函数（解析版）

专题14相似三角形与锐角三角函数

5年真题1年模拟

考点分类浙江考情（2022-2026）命题规律

2025·浙江·中考

2023·浙江嘉兴·中考

2023·浙江嘉兴·中考近5年浙江中考在本考点共选取约20道真题，是本专

2022·浙江嘉兴·中考题题量最大的考点。其中2026年省统考以"显示屏遮挡

2022·浙江绍兴·中考产生盲区"的生活情境考查相似，并叠加全等与矩形。

2022·浙江丽水·中考题型覆盖选择、填空与解答题，分值3-12分，难度跨

2022·浙江杭州·中考度大，基础题多为直接判定相似或利用相似求线段比

2022·浙江宁波·中考例，中档题则常与面积、比例线段、测量问题结合。该

考点01相似三角形2022·浙江衢州·中考考点的核心主线是"利用相似三角形对应边成比例求线

判定与性质2022·浙江金华·中考段或比例关系"，实际应用上大量出现在测量类情境（如

2022·浙江舟山·中考树高、旗杆、风车、镜面反射等），并借助相似与平行

2022·浙江温州·中考线分线段成比例定理、重心性质、四点共圆、轴对称、

2023·浙江嘉兴·中考折叠等知识综合呈现。整体来看，本考点是浙江中考几

2023·浙江湖州·中考何考查的重点，预计未来省统考将继续以"相似＋实际

2023·浙江温州·中考测量＋面积比例＋综合探究"为基本命题形态，并可能

2023·浙江衢州·中考保持较高的综合度。

2023·浙江金华·中考

2023·浙江杭州·中考

2026·浙江·中考

2025·浙江·中考近5年浙江中考在本考点共选取约20道真题，其中2026

2024·浙江·中考年、2025年、2024年省统考均连续设题，显示省统考

2023·浙江杭州·中考对本板块的高度重视。题型以解答题和选择题为主，分

考点02锐角三角函

2023·浙江衢州·中考值3-10分，核心考查三类模型：一是直角三角形中的

数与解直角三角形

2023·浙江温州·中考边角关系直接计算，常以真实物品为背景；二是仰角、

2023·浙江宁波·中考俯角、方位角的实际测量问题，往往需要构造直角三角

2023·浙江温州·中考形并结合参考数据换算；三是三角函数与圆、相似、面

2023·浙江嘉兴·中考积等知识的综合。整体上，本考点由"单一解直角"向"

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2023·浙江台州·中考情境建模＋多知识点综合"发展，预计未来省统考将继

2023·浙江嘉兴·中考续以真实情境中的仰俯角测量为核心，并可能融入函

2022·浙江嘉兴·中考数、几何最值等综合元素。

2022·浙江杭州·中考

2022·浙江台州·中考

2022·浙江金华·中考

2022·浙江衢州·中考

2022·浙江绍兴·中考

2022·浙江宁波·中考

2022·浙江嘉兴·中考

考点01相似三角形判定与性质

1．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根

等长的支架和连接墙面与显示屏，测得．

(1)证明：；

(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部

等高，眼睛到墙面的距离，ൌ锦 cm凌同学的视ൌ野 cm被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求

的长度．쳌 cm쳌쳌

【答案】(1)证明：连接，如图1，

在和中，

，，，

，

，SSS

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1

（内错角相等，两直线平行）．

(2)的长度为．

【分쳌析】（1）利用c已m知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，

即可得出结论．

（2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可．

【详解】（1）略쳌

（2）解：由题意，墙面地面，，，，

，，쳌쳌

쳌쳌，

四边形쳌是矩形，쳌耀

쳌，

又쳌ൌ，，

，쳌쳌耀

，쳌

쳌쳌，，

ൌ쳌，쳌ൌ耀

쳌的长ൌ度为ൌ耀．

2．（202쳌3·浙江杭州·cm中考真题）如图，在中，，点分别在边，

上，连接，已知点和点关于直线对称．设쳌，ᦙ若耀쳌쳌，쳌则_________（结쳌果

用含的代쳌数쳌式쳌表쳌示）．쳌쳌쳌

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1

【答案】

【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通

ൌ

쳌쳌

过证明，推出，即可求出的值．

ൌ

【详解】解：点和点关于直线对称，

，쳌

쳌쳌，

쳌쳌．

쳌쳌，

쳌쳌，

点和点쳌关于直线对称，

，쳌

又쳌쳌，

쳌㘮쳌，쳌㘮쳌

쳌，쳌

쳌，，

点和点쳌关于쳌直线对称，

，쳌

쳌쳌，

，

，

在和中，

，

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1

．

在中，，

，쳌，

쳌，쳌

쳌，

쳌ൌ

，

ൌ

，

，，

ൌ

．

，

，

ൌ

解得，

ൌ

ൌ．

ൌ

故答案为：．

3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于

点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（）

쳌쳌

A．15B．18C．24D．36

【答案】B

【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：

，证明쳌和,根据쳌相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．

【详解】쳌解：如图，쳌连接，쳌

쳌

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1

点P是的重心，点D是边的中点，P在上，

，쳌

，쳌

쳌，ൌ

쳌

쳌，

쳌ൌ

，

，

쳌，

쳌

设的쳌面积为m，则耀的面积为，的面积为，

四边쳌形的面积为6，쳌耀

쳌，

㘮耀，

ൌ的面积为9，

쳌的面积是18．

故选：B．

4．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架

放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线

后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的

长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于쳌点F，于点B，쳌

米，米，米，米，则这棵쳌树的쳌高度（的长）쳌是______米．쳌

쳌ൌ쳌ൌ

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1

【答案】4.1

【分析】

过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应

边成比例解答即可．쳌

【详解】

过点作水平线交于点，交于点，如图，

쳌

∵是水平线，都是铅垂线．

∴쳌쳌쳌쳌米，米，米，

∴쳌ൌ쳌（米），

又根据题意쳌，得쳌ൌൌൌ，

∴，耀쳌

，即，

ൌ

解得：米，

∴(米)．

故答案为：㘮．㘮ൌൌ

5．（2023·浙江温ൌ州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，

，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，쳌为线段쳌上

一点，过쳌点作쳌的平行线分别交，于点，，过点作ൌ于点．设，．

(1)求的长和关于的函数表达式．

(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．

(3)延长ᦙ交半圆于点，当时，求的长．

ൌൌ

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1

【答案】(1)，

ൌൌ

ൌൌ㘮

(2)或或

ൌ

ൌൌൌ

(3)

ൌ

【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得

쳌

쳌쳌쳌

出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得；

ൌൌ

ൌൌ

（2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当㘮时，当

时，分别列出比例式，进ൌ而即可求解．ൌൌ

（3）连接，，过点作于点，根据，得出，

ൌൌൌ

tantan

由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．

ൌ耀

ൌ

【详解】㘮（1）解：如图1，连接．

쳌

∵切半圆于点，

∴쳌．쳌

∵쳌，，

ൌ

∴，

ൌ

∴．

∵쳌，

∴，

∴쳌，

쳌

即ൌ，

∴．

ൌ

ൌ

如图2，，

∴．耀

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1

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴．

ൌ

sinൌsinൌ

∵，

∴ൌൌ，

ൌ

ൌ

ൌ

∴．

ൌ

ൌ㘮

（2）∵，，三边之比为（如图2），

ൌ

∴可分为三种情况ൌ．ൌ㘮ᦙൌ

i）当时，

，ൌ，

ൌൌൌ

ൌ㘮

解得，

ൌ

∴．

ൌ

ൌൌ

ii）当时，

，ൌ，

ൌൌൌ

ൌ㘮

解得，

耀

ൌ

∴．

iii）当时，

，，

ൌ

ൌ㘮

解得，

ൌ

∴．

ൌ

ൌ

（3）如图3，连接，，过点作于点，

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1

则，，

∴．耀

∵，，

ൌൌൌ

ൌൌ㘮

∴．

ൌ

㘮

∵，

∴，

∴㘮，

ൌ

tantan

∴，

ൌൌ

∴，，

ൌ耀

㘮ൌ

∴，即的长为．

ൌൌൌ

ൌ

6．（2023·浙江㘮嘉兴·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角

三角形，顶点恰好落在边上，若，则쳌的长是쳌（쳌）ൌ

쳌쳌ൌ

A．B．C．2D．1

【答案】A

【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出

点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得ൌ，耀

，쳌然쳌后쳌쳌根据相似三角形的判定可得쳌，根据相似三角形的性质쳌即可得耀．쳌

ൌ【详解】解：是以为腰的等쳌腰直角三角形，

，，，

ൌ耀

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1

，

쳌쳌ൌ，

쳌ൌൌ，ൌ

点쳌㘮四点共圆ൌ，在以为直径的圆上，

如图，쳌连쳌接쳌쳌，

쳌

由圆周角定理得：，，

쳌耀，쳌ൌ

쳌쳌ൌ，

쳌㘮쳌，ൌ㘮쳌

在쳌和中，，

쳌

쳌

，쳌

쳌，

쳌，

故选：A．쳌ൌ

7．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，

四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向耀剪裁成四ᦙ部分，

并与正方形쳌，拼成图2．

쳌

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1

（1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．

cos

（2）若，则________．

ൌ耀

ൌൌ

【答案】9/

ൌ

耀耀

【分析（】1）在图1中，过作于，由，可得，，故

cos㌠㌠

，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为；

耀ൌൌ

ൌ

（2）标识字母如图，设，证明，可得㌠㌠㌠，由耀，

有，即㌠ൌ耀㌳，可得hASA或，而h㌳，㌠，h即㌠

可得㌠到答h案㌠．㌠㌠㌳㌠ൌൌ㌳㌠耀㌳㌠ൌ㌳㌠h㌠

【详解】（1）在图1中，过作于，如图：

，

㌠，

，㌠

cos

，即，

㌠

cos㌠12/105

1

，

㌠，

耀，即，

coscos

，

，

耀

ൌ

㌠的面积为16，

，

ൌ

ൌ，

，

纸㌠片Ⅲ的面ൌ积为；

ൌൌ

故答案为：9；㌠㌠㌠耀

（2）如图：

，

ൌ耀

ൌൌ

，

㌠ൌ耀

设㌠ൌൌ，则，，

㌠ൌ耀㌳㌠ൌൌ㌳，㌳，，

耀，hh耀

h，ASA

h，㌳，

㌠h㌠㌠h㌠耀

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1

，

㌠，h㌠

㌠㌠

h㌠㌠，

㌠h㌠㌠，

解得㌠㌳或㌠ൌൌ㌳，

当㌠耀时㌳，㌠ൌ㌳，这情况不符合题意，舍去；

当㌠耀㌳时，h㌠ൌ㌳，

而㌠ൌ㌳，h㌠，耀㌳

．㌠h㌠

ൌ

耀

故答案为：．

ൌ

耀

8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正

方形，点在上，与交于点，Rt与交于点．耀若，则四边形的值是（）

正方形

A．B．C．D．

ൌൌ

【答案】Bൌൌൌ

【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，

ൌ

tantan

，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，

ൌൌ

RtRt

四边形，据此求解即可．

【详解】解：∵四边形是正方形，且，

设，则，

∵四边形是正方形，

∴，

∴耀，

耀

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1

∴，即，

ൌ

tantan

∴，

ൌ

∴，

ൌ

同理，即，

ൌ

∴tan，tan

同理，

ൌ

∴，

ൌ

，，

ൌൌൌൌൌ

∵㘮，

RtRt

∴ൌ，

ൌ

ൌ

ൌ

∴，

ൌ

ൌ

∴四边形，

∵正方形，

㘮㘮ൌ

∴四边形，

正方形ൌ

ൌൌ

故选：B．

9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是

一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

__________

【答案】

【分析】根据题意得出，进而即可求解．

쳌㐹

【详解】解：∵

㐹

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1

∴

∴쳌㐹，

㐹

故答案为：．

10．（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M

在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线

段，测得，垂直于地面的木棒与影子쳌的比为2∶3，则点O，M之间的距

离等쳌于___________米ൌ．m转쳌动쳌时ൌ，叶m片外端离地面的最大高度等于___________米．

【答案】10

【分析】过点O作AC、BൌD的㘮平ൌ行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，

垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，

䳌䳌

得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．

耀

【䳌详解】䳌如图䳌，过䳌点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B

作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，

由题意可知，点O是AB的中点，

∵，

∴点H是CD的쳌中点，

∵，

∴쳌ൌm，

ൌ

∴쳌쳌ൌm，

又∵由题意可㘮知：ൌ㘮ൌ，ൌൌm

∴，解得，

ൌൌൌm

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1

∴点O、M之间的距离等于，

∵BI⊥OJ，ൌm

∴，

∵由题䳌意可知䳌：耀，

又∵，䳌㘮䳌耀

∴䳌㘮，䳌耀

∴䳌䳌，

∴䳌，䳌

䳌䳌

䳌䳌

∴，，

∵䳌䳌䳌耀，䳌

∴四边形쳌O쳌HDJ쳌是平行四边形，

∴，

∵쳌ൌm，

∴䳌㘮，䳌耀䳌㘮，䳌ൌm，

∵䳌在ൌm中䳌，由m勾股定䳌理得m：，

∴㌳䳌，䳌㘮䳌

∴䳌㘮䳌，㘮ൌm

∴ൌm，

∴叶片外端离㘮地面的最ൌ大高㘮度ൌ等于m，

故答案为：10，．ൌ㘮ൌm

ൌ㘮ൌ

11．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE

直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已

知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．

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1

【答案】9.88

【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明RtABC∽△RtDEF，然后利用相似三

角形的性质即可求解．

【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．

∴AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE，

∵AB⊥BC，DE⊥EF，

∴∠ABC=∠DEF=90°，

∴RtABC∽RtDEF，

∴，即，

쳌ൌ

解得AB=9.88，

∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．

12．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，

将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是쳌___________．ൌcm

cm

【答案】

【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，

，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可쳌得DE，FE，耀根据旋쳌转的性质得쳌是直角三角形，根

据直角三ൌ角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即

cm，根据，得，即，解得

쳌耀쳌쳌쳌쳌

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1

，即可得．

【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，

由题意得，，，，，BC=DF=12，

在中쳌，耀쳌，쳌ൌ

쳌ൌ

㌳쳌쳌tan쳌tan

，

쳌ൌ

sin쳌sin

∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，

∴，

∴쳌，

∴㘮耀，

∴是ൌ直角三角形，耀

∴（cm），

ൌ

∴（cm），

∵，

∴耀，

∴是ൌ直角三角形，耀

∴，

∴是ൌ等腰直角三角形，ൌ

∴cm，

∵，，

∴쳌，耀쳌

即，쳌

쳌쳌

，

ൌ，

∴（cm），

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1

故答案为：．

13．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩

下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四

边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长

不．可．能．是（쳌）耀耀쳌쳌

A．B．C．10D．

ൌൌൌ

【答案】A

【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两

个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．

【详解】解：当△DFE∽△ECB时，如图，

∴，

쳌쳌

设DF=x，CE=y，

∴，解得：，

耀㘮

㘮ൌ

∴，故B选项不符合题意；

ൌൌ

쳌쳌㘮㘮

∴，故选项D不符合题意；

ൌ

如图，当쳌△D㘮CF쳌∽△FE㘮B时，

20/105

1

∴，

쳌쳌

设FC=m，FD=n，

∴，解得：，

耀㘮㘮

∴FD=10，故选项C不符合题意ൌ；

，故选项A符合题意；

故选：A㘮㘮ൌ

14．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放

置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，

即可算得物高．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表

达式为（）

A．B．C．D．

ൌൌൌ

【答案】B㘮ൌ㘮ൌ㘮ൌ

【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，

再根据相似三角形的判定证出，然后根据相m似쳌三角形的性ൌ质m即可得出结