2022-2026五年中考数学真题分类汇编（浙江）专题15 几何综合与压轴问题（解析版）

15

专题几何综合与压轴问题

51

年真题年模拟

考点分类浙江考情（2022-2026）命题规律

近5年浙江中考在本考点共选取5道真题，其中2025

年、2026年省统考连续设题，2026年以等腰三角形中

位线加轴对称求线段长呈现，2025年则通过菱形折叠、

对称变换结合面积法与三角函数求差最值，显示出省统

2026·浙江·中考考对"图形变换＋最值"这一经典组合的高度重视。本考

2025·浙江·中考点题型以解答题和填空题为辅，分值通常在10-14分，

考点01图形变换、

2023·浙江嘉兴·中考位于试卷后段，属于区分度较高的中档偏难题目。核心

动点与最值综合

2022·浙江绍兴·中考考查轴对称、旋转、平移的性质应用，常结合勾股定理、

2022·浙江绍兴·中考相似三角形、三角函数以及"将军饮马""胡不归"等最值

模型，要求较强的辅助线构造能力与分类讨论意识。命

题趋势上，从单一的静态计算向动态过程中的不变量与

最值探究转变，预计未来省统考仍将保留此类题目，并

与菱形、矩形等特殊四边形深度结合。

近5年浙江中考在本考点共选取4道真题，全部集中于

2022年地市卷，题型以高难度解答题为主。这些题目多

以正方形、菱形或一般四边形为载体，通过内嵌正方形、

弦图、动点运动等方式构造复杂图形。本考点的核心在

2022·浙江温州·中考于利用四边形的性质（平行、垂直、对角线互相平分等）

考点02四边形背景2022·浙江杭州·中考进行角度转化和线段推导，往往需要多次全等或相似证

下的几何综合2022·浙江舟山·中考明，计算量大且逻辑链条长。虽然2023—2026年省统

2022·浙江金华·中考考未再以纯四边形综合形式单独出现（多融入圆或图形

变换之中），但其解题思想如构造全等、利用对称性、

建立函数关系，仍是几何综合的基础。复习时应重点训

练在复杂图形中识别基本模型、以及合理分类讨论的能

力。

考点03圆背景下的2026·浙江·中考近5年浙江中考在本考点共选取11道真题，是本专题

几何综合2024·浙江·中考题量最大、考查频率最高的板块。2024年、2026年省

1/85

12023·浙江温州·中考统考均在此设题，2026年更将其作为压轴，以圆内接三

2023·浙江宁波·中考角形、直径性质与含参数的代数式表示角度、线段关系

2023·浙江嘉兴·中考综合呈现，难度较大；2023年各地市题目涵盖圆内接四

2023·浙江台州·中考边形、垂径定理、切线性质、圆周角定理与相似的深度

2023·浙江嘉兴·中考综合。题型以解答题为主，常设置3个小问层层递进。

2022·浙江杭州·中考核心考查"圆"作为几何载体的桥梁作用，常需结合"一

2022·浙江宁波·中考线三等角""母子相似""手拉手"等模型，并与勾股定理、

2022·浙江温州·中考锐角三角函数及最值问题交叉。命题规律显示，圆与相

2022·浙江丽水·中考似、圆与三角函数、圆与最值问题是永恒重点，预计未

来省统考仍将把圆背景综合题作为几何部分的"重中之

重"。

近5年浙江中考在本考点共选取4道真题，均为地市卷

的创新压轴题。这类题目通常给出一个全新的定义或操

作规则，要求考生现场学习并迁移应用。本考点不依赖

2023·浙江宁波·中考特定的知识模块，而是侧重考查阅读理解、类比迁移与

考点04新定义、存2023·浙江湖州·中考逻辑推理素养，题目情境新颖、设问灵活、没有固定套

在性与探究问题2022·浙江嘉兴·中考路，需要考生现场思考。虽然2024-2026年省统考未出

2022·浙江台州·中考现此类纯新定义题，但"探究与思考"的理念已渗透到各

类综合题的第（3）问中。此类题目是选拔尖子生的关

键，复习时应适当接触各类新定义与探究素材，培养面

对陌生问题的心理素质与拆解能力。

考点01图形变换、动点与最值综合

1．（2026·浙江·中考真题）如图，ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰，ᦙ㜰⸷，、分别是ᦙ、ᦙ䁡的中点，、

分别为䁡、上任意点，当关于对称的线段垂直䁡时，㜰___________．

2/85

1【答案】

【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与ᦙ䁡、䁡的关系，再利用对称轴的性质得

到角度关系，从而求出．

【详解】解：如图，延长交于点，交ᦙ于点，连接，䁡，

由和关于对称可得，、、三点共线．

ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰

，

ᦙ䁡㜰ൌtᦙ䁡tᦙ䁡㜰，ᦙ䁡为等腰三角形，

为ᦙ的中点，ᦙ㜰⸷，

ᦙ㜰㜰，䁡ᦙ，

ᦙ

在Rtᦙ䁡中，ᦙ䁡㜰㜰⸷㜰䁡，

cos

、分别是ᦙ、ᦙ䁡的中点，

ᦙ䁡

∴为的中位线，

䁡，㜰䁡㜰㜰ᦙ㜰䁡，

ᦙ㜰ᦙ䁡㜰，

线段垂直䁡，

㜰㌳t㜰，

根据轴对称可得㜰㜰㜰㜰ᦙ䁡，

ᦙ䁡

，

3/85

1又䁡，

四边形䁡是平行四边形，

㜰䁡㜰．

2．（2025·浙江·中考真题）在菱形ᦙ䁡中，ᦙ㜰，ᦙ䁡㜰ൌ．

(1)如图1，求sinᦙ䁡的值．

ᦙᦙᦙ䁡

(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点

P，连接．

①当ᦙ䁡时，求ᦙ的长．

②求ᦙt的最小值．

【答案】(1)

㌳t⸷

(2)①；②

【分析】（1）先根据菱形的性质可得ᦙ䁡䁡䁠ᦙ㜰ᦙ䁡㜰⸷，再根据勾股定理可得㜰，然后根

据正弦的定义求解即可得；

（2）①连接，设ᦙ䁡䁠交于点，同理求出㜰，则㜰；证明，得到㜰，

ᦙ㜰㜰㜰㜰ᦙ㜰ᦙܣ㜰

由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到

；

②根据题意得出点P一定在线段ᦙ䁡的延长线上，由勾股定理得㜰ܣ㜰ܣ㌳，根据

㌳㌳

ᦙ㜰ᦙܣ㜰⸷ܣ，可求出ᦙt㜰⸷t，根据，可推出当有最小值时，

ܣܣ㌳ܣܣ㌳

㌳

ܣܣ㌳ᦙt

有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作

ܣܣ㌳

⸷⸷

ᦙ于H，于T，由等面积法可得㜰，则由轴对称的性质可得㜰㜰，由勾股

4/85

1⸷

定理得㜰t，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知㜰，故当点P

⸷

与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可．

【详解】（1）解：如图1，设ᦙ䁡䁠交于点，

∵在菱形ᦙ䁡中，ᦙ㜰，ᦙ䁡㜰ൌ，

∴ᦙ䁡䁡䁠ᦙ㜰ᦙ䁡㜰⸷，

∴㜰ᦙtᦙ㜰，

∴sinᦙ䁡㜰㜰；

ᦙ

（2）解：①如图所示，连接，设ᦙ䁡䁠交于点，

ᦙ䁡

∵四边形是菱形，

∴ᦙ䁡，ᦙ㜰ᦙ䁡㜰⸷，㜰，ᦙ㜰ᦙ㜰，

∴㜰ᦙtᦙ㜰t⸷㜰，

㜰

∴；

∵ᦙ䁡，ᦙ䁡，

∴，

∴㜰，

由轴对称的性质可得ᦙ㜰，

㜰

∴，

5/85

1∴㜰㜰，

∴ᦙ㜰ᦙܣ㜰；

②∵菱形ᦙ䁡，

∴点A与点C关于对称，

当点E与点D重合时，此时点F与点C、P重合，

ᦙ

∵E是延长线上的一点，

∴点P一定在线段ᦙ䁡的延长线上，

在Rt中，由勾股定理得㜰ܣ㜰ܣ㌳

∵ᦙ㜰ᦙܣ㜰⸷ܣ，

∴ᦙt㜰⸷ܣtܣ㌳

tܣ㌳ܣܣ㌳

㜰⸷ܣ

ܣܣ㌳

tt㌳

㜰⸷ܣ

ܣܣ㌳

㌳

㜰⸷t

，

ܣܣ㌳

㌳

∵，

ܣ㌳

ܣ

㌳

∴要使ᦙt的值最小，则要最大，

ܣܣ㌳

∴ܣܣ㌳要有最小值，

又∵ܣ㌳的值随着的值增大而增大，

∴ܣܣ㌳的值随着的值增大而增大，

㌳

∴当有最小值时，ܣܣ㌳有最小值，即此时有最大值，

ܣܣ㌳

∴当有最小值时，ᦙt有最小值；

如图所示，过点B作ᦙ于H，于T，

6/85

1

∵㜰ᦙ䁡㜰ᦙ，

菱形ᦙ䁡

ᦙ䁡ൌ

⸷

∴㜰㜰㜰，

ᦙ

⸷

∴由轴对称的性质可得㜰㜰，

Rt㜰t㜰t

在中，由勾股定理得，

∴当有最小值时，有最小值，

⸷

由垂线段最短可知㜰，

⸷

∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，

⸷㌳

∴㜰t㜰，

最小值

㌳㌳t⸷

∴ᦙt㜰⸷t㜰．

最小值㌳⸷

ܣ

3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ᦙ䁡和中，䁡㜰㜰㌳，㜰，㜰⸷，䁡㜰

㜰．将它们叠合在一起，边䁡与重合，䁡与ᦙ相交于点G（如图1），此时线段䁡的长是

___________，现将绕点䁡ᦙ按顺时针方向旋转（如图2），边与ᦙ相交于点H，连结，在

旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．

7/85

1【答案】ttൌܣൌ

【分析】如图1，过点G作䁡于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得

出㜰，㜰䁡，然后由䁡㜰可求出的长，进而可得线段䁡的长；如图2，将

绕点C顺时针旋转得到，与ᦙ交于，连接，ᦙ，是旋转到

䁡䁡

的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等

边三角形，点在直线ᦙ上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求

出和，然后根据线段扫过的面积㜰ܣ㜰tܣ列式计算

䁡

弓形扇形䁡

即可．

【详解】解：如图1，过点G作䁡于H，

∵ᦙ䁡㜰，㜰㜰⸷，㜰䁡㜰㌳，

∴㜰，㜰䁡，

∵䁡㜰ܣ䁡㜰ܣ㜰，

∴㜰t，

∴䁡㜰㜰t㜰t；

如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与ᦙ交于，连接，

䁡㜰䁡㜰䁡㜰䁡

由旋转的性质得：，，

∴䁡是等边三角形，

∵ᦙ䁡㜰，

∴䁡㜰㌳，

∴䁡㜰䁡，

∵䁡㜰䁡，

ᦙ䁡

∴䁡㜰䁡，即垂直平分，

∵䁡是等腰直角三角形，

8/85

1∴点在直线ᦙ上，

连接ᦙ，是旋转到的过程中任意位置，

则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，

∵䁡㜰㜰，

∴䁡㜰㜰䁡㜰，

∴䁡㜰㜰，

作䁡于N，则㜰䁡㜰，

∴㜰t㜰t㜰，

过点B作交的延长线于M，则㜰㌳，

∵䁡㜰，䁡㜰㌳，

㜰ൌt䁡t䁡㜰

∴，

∴㜰㜰，

∴线段扫过的面积㜰ܣ，

弓形

㜰tܣ，

䁡

扇形䁡

㜰tܣ，

㜰tൌܣൌ，

故答案为：t，tൌܣൌ．

4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，ᦙ㜰，点䁡在射线上的动点，连接ᦙ䁡，作䁡ᦙ䁡，䁡㜰ᦙ䁡，

动点在ᦙ延长线上，tan㜰，连接䁡，，当䁡㜰，䁡时，的长是______．

9/85

1

【答案】

⸷

【分析】过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=3x，

由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得△NME是等腰直角

三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可

得BE；

【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，

设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，

∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，

∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，

∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，

在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，

∴△ACN≌△CDM（AAS），

∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，

∵∠CMD=∠CED=90°，

∴点C、M、D、E四点共圆，

∴∠CME=∠CDE=45°，

∵∠ENM=90°，

∴△NME是等腰直角三角形，

∴NE=NM=CM-CN=10-2x，

10/85

1

Rt△ANC中，AC=ᦙܣ䁡㜰ܣ힪ܣ힪，

Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，

222

Rt△CNE中，CE=CN+NE，

ܣ힪ܣ힪힪ܣt힪

∴㜰，

⸷힪t힪ܣ㜰，

⸷힪t힪t㜰，

x=5（舍去）或x=，

⸷

∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，

∴BE=；

⸷

故答案为：；

⸷

5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ᦙ䁡中，ᦙ㜰，䁡㜰ൌ，动点从点ᦙ出发，沿边ᦙ，

䁡向点䁡运动，ᦙ，关于直线的对称点分别为，，连结．

(1)如图，当在边ᦙ上且㜰时，求ᦙ的度数．

(2)当在䁡延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由．

(3)当直线恰好经过点䁡时，求的长．

【答案】(1)∠AEM＝90°；

(2)

如图1，

11/85

1∵AB=6，AD=8，

∴由勾股定理得BD=10，

∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，

∴CN＝2．

由对称性得，∠ENC＝∠BDC，

∴cos∠ENC＝㜰，

∴EN＝，

∴DE＝EN＝；

直线MN与直线BD的位置关系是MN∥BD．

由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，

又∵BN＝BD，

∴△BMN≌△DCB（SSS），

∴∠DBC＝∠BNM，

所以MN∥BD；

ൌt⸷

(3)DE的长为或．

【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，从而得出答案；

（2）根据对称性得，∠ENC＝∠BDC，则cos∠ENC＝㜰，得EN＝，利用SSS证明△BMN≌△DCB，

得∠DBC＝∠BNM，则MN∥BD；

（3）当点E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE＝MC；当点E

䁡

在边CD上时，证明△BMC∽△CNE，可得㜰，从而解决问题．

䁡

12/85

1【详解】（1）解：∵DE=2，

∴AE＝AB＝6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∴∠AEB＝∠ABE＝45°，

由对称性知∠BEM＝45°，

∴∠AEM=∠AEB+∠BEM＝90°；

（2）略

（3）①情况1：如图2，当E在边AD上时，直线MN过点C，

∴∠BMC＝90°，

∴MC＝䁡t㜰．

∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∠BMC＝∠EDC＝90°，

∴△BCM≌△CED（AAS），

∴DE＝MC＝；

②情况2：如图3，点E在边CD上时，

∵BM＝6，BC＝8，

13/85

1∴MC＝，CN＝8-，

∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，

∴∠BCM＋∠ECN＝90°，

∵∠BCM＋∠MBC＝90°，

∴∠ECN＝∠MBC，

∴△BMC∽△CNE，

䁡

∴㜰，

䁡

䁡䁡ൌt⸷

∴EN㜰㜰，

ൌt⸷

∴DE＝EN＝．

ൌt⸷

综上所述，DE的长为或．

考点02四边形背景下的几何综合

1．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在ᦙ䁡中，ᦙ䁡㜰㌳，以其三边为边向外作正方形，连结䁡，

作䁡于点M，于点J，ᦙ于点K，交䁡于点L．若正方形ᦙ与正方形方的

面积之比为5，䁡㜰ܣ，则䁡的长为（）

ܣ

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正

方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，

222

在Rt△AFL中，x+（x+m）=（m），可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=，FP=m，

14/85

1ܣ

BP=，即知P为AB中点，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，

䁡䁡

而tan∠BAC=㜰㜰，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．

ᦙ䁡ᦙܣ

【详解】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：

设正方形JKLM边长为m，

2

∴正方形JKLM面积为m，

∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，

2

∴正方形ABGF的面积为5m，

∴AF=AB=m，

由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，

∴△AFL≌△FGM（AAS），

∴AL=FM，

设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，

222

在Rt△AFL中，AL+FL=AF，

222

∴x+（x+m）=（m），

解得x=m或x=-2m（舍去），

∴AL=FM=m，FL=2m，

ᦙᦙ方

tanᦙ方㜰㜰㜰㜰䁠

ᦙ方

ᦙ

㜰䁠

AP=，

㜰ᦙܣᦙ㜰ᦙܣᦙ㜰䁠㜰ᦙtᦙ㜰t㜰

15/85

1∴AP=BP，即P为AB中点，

∵∠ACB=90°，

∴CP=AP=BP=

∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，

∴△CPN∽△FPA，

䁡䁡䁡

㜰㜰䁠即㜰㜰

ᦙᦙ

∴CN=m，PN=m，

ܣ

∴AN=AP+PN=

䁡䁡

tan∠BAC=㜰㜰，

ᦙ䁡ᦙܣ

∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，

∴△AEC∽△BCH，

䁡䁡

㜰䁠

ᦙ䁡䁡

䁡㜰ܣ䁠

䁡

㜰

ܣܣ

䁡㜰䁠

故选：C．

2．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A

重合），点F在边BC上，且ᦙ㜰，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

(1)如图1，若ᦙ㜰⸷，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，

(2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．

①求证：㜰；

16/85

1

②设ᦙ㜰，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：㜰⸷sint．

【答案】(1)5

(2)

①证明：由题意知ᦙ㜰㜰㌳，

∴ܣ㜰㌳，

∵四边形EFGH是正方形，

∴㜰㌳，

ᦙܣ㜰㌳

∴，

∴ᦙ㜰，

∴ᦙ∽，

ᦙ

∴㜰㜰．

∴㜰㜰．

②证明：由①得㜰㜰，

又∵䁡㜰㜰㌳，䁡㜰，

∴䁡≌，

䁡

设的面积为．

∵∠K=∠K，∠KHI=∠A=90°，

∴䁡∽ᦙ，

ܣᦙᦙ⸷ᦙ

∴㜰㜰㜰㜰⸷sin，

∴㜰⸷sint．

【分析】（1）由中点定义可得ᦙ㜰㜰，从而可求㜰，然后根据勾股定理和正方形的面积公

式可求正方形EFGH的面积；

（2）①根据余角的性质可证ᦙ㜰，进而可证ᦙ∽，然后利用相似三角形的性质和

等量代换可证结论成立；

②先证明䁡≌，再证明䁡∽ᦙ，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理

可得结论．

ᦙ㜰⸷

【详解】（1）解：∵，点M是边AB的中点，

∴ᦙ㜰㜰，

17/85

1∵ᦙ㜰，

∴㜰，

由勾股定理，得

㜰ܣ㜰，

∴正方形EFGH的面积为5．

（2）解：①略

②略

3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ᦙ䁡中，点F，H分别在边ᦙ，ᦙ上，连结ᦙ䁡，

交于点E，已知䁡㜰䁡．

(1)线段ᦙ䁡与垂直吗？请说明理由．

ᦙ

(2)如图2，过点A，H，F的圆交䁡于点P，连结交ᦙ䁡于点K．求证：㜰．

䁡ᦙ䁡

䁡

(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段ᦙ䁡的中点时，求的值．

ᦙ䁡

【答案】(1)，

证明：∵四边形ᦙ䁡是正方形，

∴䁡㜰䁡，㜰㜰㌳，

又∵䁡㜰䁡，

∴Rt䁡≌Rt䁡（HL），

䁡㜰䁡

∴．

又∵䁡ᦙ㜰䁡ᦙ㜰⸷，

∴䁡ᦙ㜰䁡ᦙ．

∵䁡㜰䁡

∴△CFH是等腰三角形，

ᦙ䁡

∴．

(2)

18/85

1证明：如图1，过点K作ᦙ于点G．

∵䁡ᦙ，

䁡

∴．

∴ᦙ∽ᦙ䁡，

ᦙ

∴㜰．

ᦙ䁡䁡

ᦙ㜰䁡䁡㜰䁡

∵，，

∴㜰䁡．

∴∽䁡，

∴㜰，

䁡䁡

ᦙ

∴㜰．

ᦙ䁡䁡

䁡

(3)㜰

【分析】（1）证明Rt䁡≌Rt䁡（HL），得到䁡㜰䁡，进一步得到䁡ᦙ㜰䁡ᦙ，由

△CFH是等腰三角形，结论得证；

ᦙ

（2）过点K作ᦙ于点G．先证△AKG∽△ACB，得㜰，证△KHG∽CHB可得㜰，结

ᦙ䁡䁡䁡䁡

论得证；

ᦙ㜰⸶㜰⸶

（3）过点K作点G．求得㜰，设，，则KG＝AG＝GB＝3a，则䁡㜰䁡＝

ܣ䁡㜰⸶，勾股定理得㜰ᦙܣᦙ㜰⸷⸶，㜰⸶，由∽䁡得㜰，

䁡

⸷

得㜰⸶，䁡㜰⸶，即可得到答案．

【详解】（1）略

（2）略

（3）解：如图2，过点K作ᦙ点G．

19/85

1∵点K为ᦙ䁡中点：

ᦙ

由（2）得㜰㜰，

䁡ᦙ䁡

∴㜰㜰，

䁡

㜰⸶㜰⸶㜰ᦙ㜰㜰⸶

设，，则，

∴䁡㜰ᦙ㜰⸶，ᦙ㜰⸷⸶，

∴䁡㜰䁡＝ܣ䁡㜰⸶，

∵ᦙ㜰ᦙ，

∴㜰ᦙܣᦙ㜰⸷⸶，㜰⸶，

ܣᦙ㜰ൌ

∵，

∴㜰㌳㜰䁡，

又∵䁡㜰，

∴∽䁡，

∴㜰．

䁡

⸷

∴㜰⸶，

∴䁡㜰䁡t㜰⸶，

䁡

∴㜰．

4．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形ᦙ䁡中，ᦙ㜰䁠sin㜰，点E从点B出发沿折线t䁡t

向终点D运动．过点E作点E所在的边（䁡或䁡）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩

形．

20/85

1(1)如图1，点G在ᦙ䁡上．求证：ᦙ㜰．

(2)若㜰，当过ᦙ䁡中点时，求ᦙ的长．

㜰ൌ

(3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似

（包括全等）？

【答案】(1)

证明：如图1，

∵四边形ᦙ䁡是菱形，

∴ᦙ㜰䁡，

∴ᦙ䁡㜰䁡ᦙ．

∵FGBC，

ᦙ㜰䁡ᦙ

∴，

∴ᦙ䁡㜰ᦙ，

∴△AFG是等腰三角形，

∴ᦙ㜰．

(2)ᦙ㜰或5

(3)㜰或㜰或㜰或

【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；

（2）记ᦙ䁡中点为点O．分点E在䁡上和点E在䁡上两种情况进行求解即可；

ᦙ䁡ᦙ䁡䁡

（3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，

21/85

1点E在线段䁡上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可．

【详解】（1）略

（2）解：记ᦙ䁡中点为点O．

①当点E在䁡上时，如图2，过点A作ᦙ䁡于点M，

∵在ᦙ中，ᦙ㜰ᦙ㜰，

∴㜰ᦙtᦙ㜰t㜰ൌ．

∴㜰㜰ᦙ㜰䁠䁡㜰䁡t㜰，

∵ᦙ㜰䁡䁠ᦙ，

∴䁡㜰㜰䁡㜰㜰，

∴ᦙ㜰㜰，

∴ᦙ㜰ᦙܣ㜰ܣ㜰．

②当点E在䁡上时，如图3，

过点A作ᦙ䁡于点N．

同理，㜰㜰ᦙ㜰䁠䁡㜰，

ᦙ㜰㜰䁡㜰，

∴ᦙ㜰tᦙ㜰t㜰．

22/85

1∴ᦙ㜰或5．

（3）解：过点A作ᦙ䁡于点M，作ᦙ䁡于点N．

①当点E在线段上时，时ൌ．设㜰힪，则㜰⸷힪䁠㜰㜰힪，

ⅰ）若点H在点C的左侧，ܣൌ，即时，如图4，

䁡㜰䁡t㜰tᦙ⸷힪ܣൌ㜰t⸷힪．

∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

힪

∴㜰，

t⸷힪⸷

解得힪㜰，

⸷

经检验，힪㜰是方程的根，

⸷

∴㜰⸷힪㜰．

∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

힪⸷

∴㜰，

t⸷힪

ൌ

解得힪㜰，

ൌ

经检验，힪㜰是方程的根，

∴㜰⸷힪㜰．

ⅱ）若点H在点C的右侧，ܣൌ，即时ൌ，如图5，

23/85

1䁡㜰t䁡㜰ᦙ⸷힪ܣൌt㜰⸷힪t．

∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

힪

∴㜰，

⸷힪t⸷

此方程无解．

∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

힪⸷

∴㜰，

⸷힪t

ൌ

解得힪㜰，

ൌ

经检验，힪㜰是方程的根，

∴㜰⸷힪㜰．

②当点E在线段䁡上时，ൌ时，如图6，㜰䁠㜰ൌ䁠㜰．

㜰ܣ㜰ܣൌ䁠䁡㜰t䁡㜰t

∴．

24/85

1∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

∴㜰，

t

此方程无解．

∵䁡∽，

䁡

∴㜰，

∴㜰，

䁡

∴㜰，

t

解得㜰，

经检验，㜰是方程的根，

∵ൌ时，

∴㜰不合题意，舍去；

③当点E在线段䁡上时，，如图7，过点C作䁡ᦙ于点J，

䁡䁡㜰䁠䁡㜰䁠㜰ൌ

在中，．

㜰㜰ൌ䁠㜰䁡，

∴ܣ㜰ܣ䁡，

∴䁡㜰，

∵㜰䁠䁡㜰㜰㌳，

䁡≌

∴，符合题意，

25/85

1此时，．

④当点E在线段上时，时时，

∵㌳，

∴䁡与不相似．

综上所述，s满足的条件为：㜰或㜰或㜰或．

考点03圆背景下的几何综合

1．（2026·浙江·中考真题）如图1，ᦙ䁡内接于，是直径ᦙ上的一点，满足ᦙ䁡㜰ᦙ，连接䁡

并延长交于点，连接，点在弦䁡上，且㜰．过点作䁡，交ᦙ于点，交䁡

于点．设䁡ᦙ㜰．

(1)用含的代数式表示ᦙ和的大小；

(2)如图1，若䁡㜰䁡，求证：㜰；

㜰ᦙᦙ䁡

(3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长．

【答案】(1)㌳t；；

(2)证明：如图，连接䁠，

∵䁡䁠䁡ᦙ为䁡所对的圆周角，

∴䁡㜰䁡ᦙ㜰，

∵ᦙ为直径，

∴ᦙ䁡㜰㌳，

ᦙ䁡㜰㌳t

∴，

26/85

1

∵㜰ᦙ䁡㜰㌳t，

∴䁡㜰ᦙ䁡ܣ㜰㌳tܣ㌳t㜰ൌt，

∵䁡㜰䁡，㜰，

∴䁡㜰䁡，

∴䁡㜰䁡㜰ൌt，

同理：䁡ᦙ㜰䁡，

∴㜰ൌt，

解得：㜰，

∴䁡ᦙ㜰䁡㜰䁡㜰，

䁡㜰ൌtt㜰

∴，㜰㜰，

∴㜰䁡㜰，

∵㜰，

∴㜰㜰⸷，

∴㜰㜰t⸷㜰ൌ，

SAS

∴≌，

∴㜰㜰ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰㌳t㜰⸷，㜰，

∵ܣ㜰ൌ，

ܣ㜰ൌ

∴，

∴䁠䁠三点共线，

∴㜰㜰，

∴㜰ൌtt㜰㜰，

∴㜰．

(3)t⸷

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰ൌt㜰㌳t，结合圆周角定理与

直角三角形的两锐角互余可得答案．

（2）如图，连接䁠，表示䁡㜰ᦙ䁡ܣ㜰ൌt，证明䁡㜰䁡，可得㜰ൌt，

求解㜰，证明≌SAS，再进一步证明即可．

27/85

1

（3）如图，连接ᦙ䁠，证明㜰ᦙ，∽，可得㜰，证明≌

ᦙAAS，可得ᦙ㜰，设ᦙ䁡㜰ᦙ㜰힪，再进一步建立方程求解即可．

【详解】（1）解：∵䁡ᦙ㜰，ᦙ䁡㜰ᦙ，

∴ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰ൌt㜰㌳t，

ᦙ䁠ᦙ䁡ᦙ

∵为所对的圆周角，

∴ᦙ㜰ᦙ䁡㜰㌳t，

∵䁡，

∴㜰㌳tᦙ䁡㜰㌳t㌳t㜰．

（2）略

（3）解：如图，连接ᦙ䁠，

∵ᦙ䁡㜰㌳，ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰㌳t，

∴䁡㜰㜰，

同理：ᦙ㜰䁡㜰，

∴㜰ᦙ，

结合（1）可得：ᦙ䁡㜰ᦙ䁡㜰㜰㜰，

∵㜰，

∴∽，

∴㜰，即㜰，

同理可得：ᦙ㜰，

∵㜰，

ᦙAAS

∴≌，

∴ᦙ㜰，

28/85

1设ᦙ䁡㜰ᦙ㜰힪，

∵ᦙ㜰，

∴ᦙ㜰，㜰t힪，㜰힪t，

∵㜰ᦙ，

힪t

∴ᦙ㜰，

힪tt힪

∴ᦙ㜰㜰t㜰，

∴㜰㜰t힪，

∵ᦙ为直径，

∴ᦙ㜰㌳，

t힪

∴㜰t힪ܣ，

∴힪t⸷힪ܣ㜰，

解得：힪㜰t⸷（힪㜰ܣ⸷大于直径，舍去），

∴ᦙ䁡的长为t⸷．

2．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ᦙ䁡中，ᦙ时ᦙ䁡，ᦙ䁡时ᦙ，延长ᦙ至点

E，使ᦙ㜰ᦙ䁡，延长ᦙ至点F，连结，使ᦙ㜰ᦙ䁡．

(1)若ᦙ㜰，䁡为直径，求ᦙ的度数．

(2)求证：①䁡；②㜰．

【答案】(1)

ᦙ䁡

(2)证明①：∵四边形是圆内接四边形，

∴ᦙ䁡ܣᦙ䁡㜰ൌ，

∵ᦙ㜰ᦙ䁡，

∴ᦙܣᦙ䁡㜰ൌ，

∴䁡；

ᦙ

②过点D作平行线交于点G，

29/85

1∵，

㜰ᦙᦙ∽ᦙ

∴，，

∵㜰ᦙ䁡，

∴ᦙ㜰ᦙ䁡，

∵由（1）知ᦙ㜰ᦙ䁡，

∴䁡ᦙ∽，

ᦙ䁡ᦙ

∴㜰，

∵ᦙ∽ᦙ，

ᦙ

∴㜰，

ᦙ

ᦙᦙ

∴㜰，

ᦙ䁡ᦙ

∴㜰，

∵ᦙ㜰ᦙ䁡，

∴㜰．

【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由䁡为直径，得到ᦙ䁡㜰㌳，故ᦙ䁡㜰，由ᦙ㜰ᦙ，

得到ᦙ㜰ᦙ䁡㜰；

（2）①由四点共圆得ᦙ䁡ܣᦙ䁡㜰ൌ，而ᦙ㜰ᦙ䁡，等量代换得到ᦙܣᦙ䁡㜰ൌ，

故䁡；

ᦙ䁡ᦙᦙ

②过点D作平行线交ᦙ于点G，可证明ᦙ∽ᦙ，䁡ᦙ∽，因此得到㜰㜰，

由ᦙ㜰ᦙ䁡，得到㜰．

【详解】（1）解：∵ᦙ㜰ᦙ䁡，ᦙ㜰，

∴ᦙ䁡㜰，

䁡

∵为直径，

∴ᦙ䁡㜰㌳，

∴ᦙ䁡㜰㌳t㜰，

∵ᦙ㜰ᦙ，

30/85

1∴ᦙ㜰ᦙ䁡㜰；

（2）略

3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形ᦙ䁡内接于，䁡ᦙ，ᦙ䁡．若ᦙ㜰，

ᦙ㜰，则䁡ᦙ的度数与䁡的长分别为（）

A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，

【答案】C

ᦙ䁡ᦙ㜰ᦙ㜰⸷㜰䁡㜰䁡ᦙ

【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得

ᦙ㜰ᦙ㜰，ᦙ㜰ᦙ䁡㜰ᦙ㜰，ᦙ㜰ᦙ㜰，进而可得䁡㜰䁡㜰䁠䁡㜰

䁡㜰，最后问题可求解．

【详解】解：过点O作ᦙ于点E，如图所示：

∵䁡ᦙ，

∴䁡㜰ᦙ，

∵䁡㜰䁡ᦙ，

∴䁡ᦙ㜰ᦙ，

ᦙ䁡

∵，

∴ᦙ㜰㌳，

∴䁡ᦙ㜰ᦙ㜰⸷㜰䁡㜰䁡ᦙ，

∵ᦙ㜰，ᦙ㜰，ᦙ㜰，

∴ᦙ㜰ᦙ㜰，ᦙ㜰ᦙ䁡㜰ᦙ㜰，ᦙ㜰ᦙ㜰，

31/85

1ᦙ

∴䁡ᦙ㜰䁡ᦙtᦙ㜰，ᦙ㜰㜰㜰䁡㜰，䁡㜰䁡ᦙܣᦙ䁡㜰，

cos

∴䁡㜰䁡ᦙ㜰㌳䁠䁡㜰ൌt䁡t䁡㜰，

∴䁡㜰䁡㜰䁠䁡㜰䁡㜰，

∴䁡㜰䁡㜰；

故选C．

ᦙ䁡䁡ᦙ

4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交

于点E，连接䁠䁡，过C作ᦙ䁡的垂线交ᦙ于点F，点G在ᦙ上，连接䁠䁡，若䁡平分且䁡㜰

ᦙ䁡．

䁡

(1)求的度数．

(2)①求证：ᦙ㜰䁡．

②若ᦙ㜰，求tan䁡的值，

(3)如图2，当点O恰好在上且㜰时，求ᦙ䁡的长．

【答案】(1)㌳

䁡䁡㜰㌳

(2)①证明：∵为中点，，

∴㜰㜰䁡，

∴䁡㜰䁡，

∵䁡㜰ᦙ䁡，

∴ᦙ䁡㜰䁡，

䁡㜰䁡

∴，

∵䁡㜰ᦙ䁡㜰㌳，䁡㜰ᦙ䁡，

∴䁡≌䁡ᦙ，

∴䁡㜰ᦙ；

②tan䁡㜰；

32/85

1ܣ

(3)

【分析】（1）先证明䁡㜰ᦙ䁡，结合ᦙ䁡ܣᦙ䁡㜰㌳，䁡㜰ᦙ䁡，可得䁡ܣ䁡㜰㌳，

从而可得答案；

（2）①证明㜰㜰䁡，再证明䁡≌䁡ᦙ，可得䁡㜰ᦙ；②设䁡㜰䁡㜰힪，䁡㜰㜰

㜰⸶，证明䁡∽䁡，可得䁡㜰，即䁡㜰⸶，则㜰䁡t䁡㜰⸷⸶t⸶㜰⸶，

䁡

可得tan䁡㜰㜰，从而可得答案；

（3）解法一：如图，设的半径为，连接䁡交ᦙ于，过作于，证明䁡，

≌䁡，可得㜰䁡，证明䁡≌，可得㜰㜰，䁡㜰㜰㜰，证明

t

∽，㜰，即㜰，再解方程可得答案．

ܣ

解法二：如图，延长，分别交ᦙ䁡、于M、N，连接䁡．先证ᦙ㜰，再证䁡㜰䁡，

则可得䁡㜰䁡㜰．根据等腰三角形三线合一，可得㜰，由此可得ᦙ㜰㜰㜰．由

䁡ᦙ䁡ᦙ䁡㜰㜰ܣᦙ∽䁡㜰ᦙ䁡

≌，可得．再证．则可得，即ᦙܣᦙt

㜰，解出r的值，即可求出ᦙ䁡的长．

【详解】（1）证明：∵䁡平分，

∴䁡㜰䁡，

∵䁡㜰ᦙ䁡，

䁡㜰ᦙ䁡

∴，

∵ᦙ䁡㜰㌳，

∴ᦙ䁡ܣᦙ䁡㜰㌳，

∵䁡㜰ᦙ䁡，

∴䁡ܣ䁡㜰㌳，

䁡㜰㌳

∴；

（2）①略

②设䁡㜰䁡㜰힪，䁡㜰㜰㜰⸶，

䁡㜰ᦙ㜰⸶

∴，ᦙ㜰㜰⸶，

∵ᦙ䁡㜰䁡，䁡㜰䁡，

∴䁡∽䁡，

䁡

䁡㜰

∴㜰，即，

䁡

33/85

1

∴힪㜰⸶ܣ⸶⸶㜰⸶，即䁡㜰⸶，

∴㜰䁡t䁡㜰⸷⸶t⸶㜰⸶，

䁡

∴tan䁡㜰㜰，

∴tan䁡㜰㜰（负根舍去）；

（3）解法一：如图，设的半径为，连接䁡交ᦙ于，过作于，

∵㜰䁡，

䁡㜰䁡㜰䁡

∴，

∴䁡，

∵㜰䁡，㜰䁡，

∴≌䁡，

∴㜰䁡，

䁡

∵，

∴䁡㜰，而䁡㜰㜰㌳，䁡㜰，

∴䁡≌，

∴㜰㜰，

∵，

䁡㜰㜰㜰

∴，

∵䁡，

∴∽，

t

∴㜰，即㜰，

ܣ

ܣ

解得：㜰，（负根舍去），

34/85

1由（2）①知ᦙ䁡≌䁡，

ܣ

∴ᦙ䁡㜰㜰ܣ㜰．

ᦙ䁡䁡

解法二：如图，延长，分别交、于M、N