第5讲复合函数的导数与函数的单调性

第5讲复合函数的导数与函数的单调性第5讲复合函数的导数与函数的单调性第5讲复合函数的导数与函数的单调性第5讲复合函数的导数与函数的单调性一．基础知识回顾1。复合函数的导数复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u）和u＝g(x），如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f（u)和u＝g(x)的复合函数，记作复合函数的求导法则复合函数y＝f(g（x))的导数和函数y＝f(u)，u＝；g（x)的导数间的关系为yx′＝即y对x的导数等于2.函数单调性：一般地,在区间(a，b）内函数的单调性与导数有如下关系:导数函数的单调性f′(x)〉0单调递f′(x）〈0单调递f′(x）＝0二．题型探究例1：指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝（3＋5x）2;(2）y＝log3（x2－2x＋5);(3)y＝cos3x。跟踪训练1：指出下列函数由哪些函数复合而成：(1）y＝lneq\r(x）；（2)y＝esinx；(3)y＝cos（eq\r(3)x＋1）．例2:求下列函数的导数:(1)y＝（2x－1）4；（2）y＝eq\f(1,\r（1－2x））；（3)y＝sin（－2x＋eq\f(π，3))；(4)y＝102x＋3.跟踪训练2:求下列函数的导数．(1)y＝lneq\f（1,x)；(2）y＝e3x;（3)y＝5log2(2x＋1)．例3：求曲线f（x)＝e2x＋1在点(－eq\f(1,2），1)处的切线方程．跟踪训练3：曲线f(x）＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r（5)，求直线l的方程．例4：已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时,f′(x）〉0；当x>4，或x<1时,f′(x）<0；当x＝4，或x＝1时，f′（x)＝0.试画出函数f（x)图像的大致形状．跟踪训练5:函数y＝f（x）的图像如图所示，试画出导函数f′（x）图像的大致形状．例6：求下列函数的单调区间:（1）f（x）＝2x3－3x2－36x＋16；(2)f（x）＝3x2－2lnx。跟踪训练6：求下列函数的单调区间：(1)f（x）＝x2－lnx；(2）f(x)＝eq\f(ex，x－2）；(3)f(x)＝sinx（1＋cosx)(0≤x<2π)．三、方法小结：1.求简单复合函数f（ax＋b）的导数：求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u）,u＝ax＋b的形式,然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导,并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f（u）,u＝ax＋b的形式是关键.2．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．3．利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤为：（1)确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3)在函数f(x）的定义域内解不等式f′(x）〉0和f′（x)<0；(4)根据（3)的结果确定函数f(x)的单调区间.课后作业：一．选择题1．下列函数不是复合函数的是 (）A．y＝－x3－eq\f(1，x）＋1B．y＝cos（x＋eq\f(π,4)）C．y＝eq\f（1,lnx） D．y＝（2x＋3)42．函数y＝eq\f（1,3x－12）的导数是 （）A。eq\f（6，3x－13) B。eq\f（6,3x－12)C．－eq\f(6，3x－13） D．－eq\f（6，3x－12)3．函数y＝x2cos2x的导数为 （）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x4．已知直线y＝x＋1与曲线f（x）＝ln(x＋a)相切，则a的值为 ()A．1 B．2 C．－1 D．－25．曲线f(x）＝eeq\f（1，2)x在点(4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ()A.eq\f(9,2)e2 B．4e2 C．2e2 D．e26．命题甲：对任意x∈(a，b）,有f′(x）>0;命题乙：f(x）在(a，b）内是单调递增的．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数f（x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 （)A．(－∞，2)B．(0,3）C．（1,4) D．（2，＋∞)8．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b,c为实数，当a2－3b<0时,f(x）是 （)A．增函数B．减函数C．常数 D．既不是增函数也不是减函数9．下列函数中，在（0,＋∞)内为增函数的是 （)A．y＝sinx B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝lnx－x10．如果函数f（x）的图像如图,那么导函数y＝f′（x）的图像可能是 (）11．函数y＝（2011－8x)3的导数y′＝12．曲线y＝cos（2x＋eq\f（π,6))在x＝eq\f(π，6)处切线的斜率为13．函数f（x）＝x（1－ax)2(a>0）,且f′（2)＝5，则实数a的值为14．函数y＝x－2sinx在（0，2π)内的单调递增区间为．15．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．16．求下列函数的导数:（1）y＝(1＋2x2)8；(2)y＝eq\f（1,\r（1－x2)）；（3)y＝sin2x－cos2x；(4）y＝cosx2.17．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln（x＋1)，l是曲线y＝f（x）在点P（0，f（0）)处的切线．求切线l的方程．18．已知函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像经过点P(0，2)，且在点M（－1,f（－1）)处的切线方程为6x－y＋7＝0。(1)求函数y＝f（x)的解析式；(2)求函数y＝f（x)的单调区间．19．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位：s）的函数为s＝s(t)＝5－eq\r(25－9t2).求函