人教版高考数学必修二 题型突破 第30讲 面面垂直的判定定理及性质（解析版）

第30讲面面垂直的判定定理及性质题型一：面面垂直判定定理【例1】如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直；【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因为，所以⊥AD，因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；【例2】如图，四棱锥的底面是菱形，平面，点，分别为棱的中点.(1)求证：平面面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）连接，根据题意可证明平面，根据面面垂直判定定理即可证平面面；（2）取中点为G，连接，构造平行四边形证明，根据线面平行判定定理即可证明平面.【详解】（1）解：由题，连接，∵四边形是菱形，故；∵平面，且平面；∴；又，且平面；∴平面；∵平面∴平面面；（2）解：由题，取中点为G，连接；∵四边形是菱形，且点，分别为棱的中点；∴且；∴四边形是平行四边形，故；∵平面，平面；∴平面.【例3】图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2．(1)求证：平面平面；(2)已知点P为线段上一点，且，求三棱锥体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明，（2）由棱锥的体积公式求解，【详解】（1）由题意可知，，因为且，所以四边形为菱形，连接交于点，则，在中，，所以，在图2中，，因为，所以，又平面，平面.所以平面，又平面，故平面平面；（2）平面，所以到面距离为，所以P到面距离为，，所以【例4】如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）根据给定条件，利用等体积法计算作答.【详解】（1）在四棱锥中，因是的中点，则，在直角中，，有，在矩形中，，有，又因，在中，，则，而平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，且，于是得平面，又平面，则，即是直角三角形，而，则面积，又面积，又平面，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点到平面的距离为.【例5】如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得．【详解】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，∴平面，则，且，又，∴平面，又平面，所以平面平面.【例6】如图，已知在四棱锥中，，，，平面⊥平面．(1)求证：平面⊥平面；(2)若直线平面，直线平面，直线平面，求的值．【答案】(1)证明见解析.(2)的值为.【分析】（1）设与交于点，过点作交于点，由已知条件，，可设，，从而求出，运用相似和勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理可得到平面，接着根据面面垂直的判定定理即可证得平面⊥平面.（2）利用已知条件征得，即可得出，利用相似的比例即可求得的值.【详解】（1）证明：设与交于点，过点作交于点.，又，，四边形是矩形，，，，，所以设，则，又，，，，，，，，，由勾股定理可得：，，四边形是矩形，，，，，，由，，，即.，又平面⊥平面，平面平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：直线平面，直线平面，直线平面，平面即为平面.直线平面，平面，又平面平面，，，，由（1）可知，，，，，，的值为.【例7】如图，在三棱锥是，，且，O为的中点，若是边长为1的等边三角形，且．(1)证明：平面平面；(2)求点O到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直判定定理，先证线面垂直，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案；（2）利用等体积法，可得求得答案.【详解】（1）证明：，为中点，，，，又在中，，，，，，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）设点到平面ABC的距离为，，在（1）中已经证明平面，是边长为1的等边三角形，，，，所以，在中，由余弦定理可得，解得，在中，，在中，由余弦定理可得，，，，解得．【题型专练】1．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，，与交于点．(1)求证：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据线线垂直得线面垂直，进而由面面垂直的判断即可求证，（2）根据面积比得体积比，根据等体积法即可求解.【详解】（1）由，可知,由于故，因为底面，平面，所以，又，故,平面,所以平面,又平面，故平面平面.（2）由，可知，因此，因此,故四棱锥的体积为22．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后再根据面面垂直的判定定理即可说明平面平面；（2）首先根据（1）平面的条件，可得，方法一，借助相似三角形求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法二，通过建立平面直角坐标系，利用平面向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法三，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的判定条件求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法四，通过向量线性运算及数量积运算求出的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）因为底面平面，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）方法一：相似三角形法由（1）可知.于是，故.因为，所以，即.故四棱锥的体积.3．如图在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为的中点，且，底面，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而证明平面，，由，得；由等腰三角形的三线合一得，从而平面，由此能证明平面平面.（2）由平面得到，即可求解.【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，又，，、平面，∴平面，平面，；又在平行四边形，，则，∵在中，，为中点，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，平面平面.（2）由题知，，则在中，，是中点，所以，即，故平行四边形的面积；又因为平面，，所以四棱锥的体积.4．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据长度和角度关系可证得，得到，由线面垂直的性质可得，由此可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论；【详解】（1）连接，，，，，，，又，，，；平面，平面，，，平面，平面，又平面，平面平面.5．如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面，且M是的中点．(1)证明：平面平面；(2)若，求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）在平面中构造与平面垂直的直线，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）由，利用等体积法求出四面体的体积即可.【详解】（1）过作的平行线交分别于点，连接，如下所示：因为是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形为等边三角形，为中点，故；又面，，故面；因为，则确定一个平面，即面，又面，面面，故可得，则面，又面，故面面.（2）根据（1）中所证，可得，故四边形为平行四边形，在△中，因为，且点为中点，故可得，又，则，所以，又正三棱柱中到平面的距离为，即到平面的距离，所以.6．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求证：平面CDM⊥平面OAD；(2)点N是AB的中点，求OB与平面DMN的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判断定理、性质定理以及面面垂直的判断定理证明.（2）利用中位线、线面平行的判断定理以及余弦定理、等体积法进行求解.【详解】（1）证明：如图：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又因为OA⊥面ABCD，且CD⊂面ABCD，所以OA⊥CD，又OA∩AD＝A，故CD⊥面OAD，CD⊂面CDM，所以平面CDM⊥平面OAD；（2）如图，因为M，N分别为AO，AB的中点，所以，MN∥OB，又因为MN⊂面MND，OB面MND，所以，OB∥面MND，故OB到平面MND的距离即为点B也即点A到平面MND的距离，由题可知，AN＝1，AD＝2，AM＝1，所以，，，所以，故，设点A到平面MND的距离为h，则VA﹣MND＝VM﹣AND，即，解得，所以OB到平面MND的距离为．7．已知平面，，是正三角形，.(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；【详解】（1）取中点分别为，连接，如下所示:因为面面，故；又△为等边三角形，故；又面，故面；又在△中，分别为的中点，故//；因为面面，故//，又；故//，则四边形为平行四边形，则//，故面，又面，故面面.8．在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．(1)求证：平面平面；【答案】(1)详见解析；【分析】（1）由题可得，利用线面垂直的性质及判定定理可得平面，进而平面，然后根据面面垂直的判定定理即得；【详解】（1）因为，，所以，所以，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；9．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)当PA＝AB＝2，∠ABC＝时，求三棱锥的体积.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由平面ABCD得，由底面ABCD为菱形得，由直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；（2）由，结合棱锥体积公式求解即可．【详解】（1）平面，，底面为菱形，，又，平面，而平面，平面平面；（2），，底面ABCD为菱形，，，又平面，．三棱锥的体积为．题型二：面面垂直性质的应用【例1】已知：平面平面，，直线l在平面内，且，求证：直线平面.【答案】证明见解析【分析】根据得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】设直线与直线的交点为，在平面内过点作直线，因为，，，，，，所以直线，所成角为直角，即又，，，所以.【例2】如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.【详解】（1）因，则为等边三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.【例3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别是的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过作辅助线，利用三角形、面面垂直的性质以及线面垂直的判断定理.（2）利用面面垂直的性质定理、勾股定理、三棱锥的体积公式以及等体积法进行求解.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.连接，因为底面是边长为2的正方形，是的中点，所以.又是的中点，，所以.因为，所以平面.（2）由题可知，，点到平面的距离，则，因为，平面平面，所以平面，又平面，所以，则.又，所以，则,设点A到平面的距离为，因为，所以，解得，即点A到平面的距离为.【例4】如图.在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使得平面平面后.(1)求的长；(2)求异面直线与所成的角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知平面，进而有，结合勾股定理即可求解；（2）过作且，连接，，则为异面直线与所成的角，求出即可（1）在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使得平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，又平行四边形中，，，所以，，，，（2）过作且，连接，四边形为平行四边形，为异面直线与所成的角平面，平面，，是正三角形所以异面直线与所成的角的大小为【题型专练】1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，．(1)求证：平面ABCD；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质定理作答.（1）在四棱锥中，因平面平面ABCD，平面平面，又，平面，所以平面ABCD.2．在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）由中位线性质可得，结合四边形为正方形可得，然后利用线面平行的判定定理即可；（2）利用面面垂直的性质定理可得到平面，则，再利用等边三角形可得到，最后利用线面垂直的判定定理即可证明；（1）因为点M，N分别是的中点，所以，因为四边形为正方形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面底面，平面底