人教版高考数学必修二 题型突破 第27讲 线面平行面面平行性质定理的应用（解析版）

第27讲线面平行面面平行性质定理的应用【知识梳理】一：线面平行性质定理的应用①直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行图形语言符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b作用证明两直线平行②平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b作用证明两直线平行题型一：线面平行证线线平行【例1】如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据面面平行的性质进行证明即可.（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.【例2】如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面【答案】证明见解析【分析】由平面平面，结合面面平行的性质可得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论.【详解】证明：在正方体中，平面平面，又因为平面平面＝l，平面平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．【例3】如图，平面，平面，，求证：【答案】证明见解析【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.【详解】由题意，平面，平面，∴平面，又平面，，∴平面平面，而平面平面，平面平面，∴.【例4】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，点是的中点，过点作平行于平面的截面，与直线分别交于点.（1）证明：.【答案】（1）证明见解析；【解析】(1)根据线面平行的判断定理可得平面，再由平面平面，可得平面，再由线面平行的性质定理可得和，即可证出；【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，.所以,同理，，所以.【例5】如图，在四棱锥PABCD中，M是PA上的点，为正三角形，，．（1）若，平面BPC，求证：点M为线段PA的中点．【答案】（1）证明见解析.【分析】（1）取AB的中点N，连结MN和DN，首先可得，，所以，即可得到平面BPC．又由平面BPC，可得平面平面BPC．根据面面平行的性质可得，即可得证；【详解】（1）取AB的中点N，连结MN和DN，因为，且，所以所以，即．∵为正三角形，∴．又DN，BC，AB共面，∴．∵平面BPC，平面BPC，∴平面BPC．∵平面BPC，DN，平面DMN，∴平面平面BPC．∵平面DMN，∴平面BPC．∵平面PAB，平面平面BPC=PB，∴．∵N是AB的中点，∴M为线段PA的中点．【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面平行以及面面平行的性质定理及判定定理的应用，属于中档题.【例6】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：(1)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)在侧棱上存在一点，使平面，满足．【分析】（1）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.（1）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，【题型专练】1．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.（1）求证：G为SB的中点；【答案】（1）见解析；【解析】连接交于点，连接,利用线面平行的性质定理可得,//,再由为的中点即可得证;【详解】（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，∵平面，平面平面，平面，∴，而为的中点，∴为的中点.2．在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接，即可得到，从而得到平面，根据线面平行的性质即可得证；【详解】（1）证明：连接，∵，分别为，的中点，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴3．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点．(1)设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，【详解】（1）因为底面为矩形，所以.又平面，且平面，所以平面.又平面ABE，且平面平面，所以.又因为，所以因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.4．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立；【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，.5．如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.(1)若点为线段中点，求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，根据、勾股定理可确定，由为正三角形可知，由线面平行的判定得到平面；由可得平面；由面面平行判定知平面平面，由面面平行和线面平行性质可证得结论；(1)取中点，连接，，，，且，，，，为中点，为正三角形，即，，平面，平面，平面；在中，为中位线，，又平面，平面，平面；又，平面，平面平面，又平面，平面，又平面平面，平面，.6．如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点F.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）由面面平行的性质可得面，再由线面平行的性质即可证结论.(1)由长方体的性质知：面面，又面，∴面，又面面，且面，∴.题型二：面面平行证线线平行【例1】如图,矩形平面,平面与棱交于点G．(1)求证：;【答案】(1)证明见解析；【分析】(1)由题意，根据面面平行的判定定理证明平面与平面平行，再根据面面平行的性质定理得到线线平行；【详解】（1）证明：由题知，矩形，，，且平面，平面，，平面，平面，，平面平面，平面与棱交于点G，且平面，平面平面，平面平面，平面平面，故，得证;【例2】如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为矩形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面//平面得到两条交线平行即可；(1)四棱柱中，平面//平面，设过和的平面为，由题可知面，面，//【例3】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1分别交于E，G两点．(1)求证：四边形AEFG为平行四边形；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件及平面与平面平行的性质定理得出，，再结合平形四边形的判断即可证明；(1)∵平面平面，平面平面且平面平面∴，同理可证：，故四边形AEFG为平行四边形【题型专练】1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）通过延伸平面内的直线来作出平面与平面的交线.通过面面平行的性质定理证得、，由此证得.（1）如图，延长交的延长线于，连接交于，则所在的直线即为平面与平面的交线.证明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M是的中点.过点M且平行于平面的平面交棱于点E.求的值.【答案】【分析】设过点M且平行于平面的平面交棱于点N，由面面平行性质得线线平行，由平行线性质得结论．【详解】解：设过点M且平行于平面的平面交棱于点N，连接，，，如图所示.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.同理可证.因为M是的中点，，所以N是的中点.所以E是的中点.所以.3．已知四棱锥的底面是正方形，平面．（Ⅰ）设平面平面，求证：；【答案】（Ⅰ）证明见解析；【分析】（Ⅰ）由得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行；