2026西安石油大学函授《电磁场》作业1

2026西安石油大学函授《电磁场》作业1本作业为2026学年西安石油大学函授工科专业《电磁场》课程第一次课后作业，覆盖课程前2章静电场核心知识点，对应函授教学大纲要求的库仑定律与电场叠加原理、高斯定理与电场分布计算、静电场无旋性与电位函数、介质极化与电位移矢量、静电场边界条件5个核心考点，总分100分，设置基础计算题、核心规律推导题、油气工程应用题三类题型，所有计算过程均采用国际单位制，介电常数真空取值为ε₀=8.854×10^-12F/m，静电力常量k=9×10^9N·m²/C²，各题型详细解答如下：一、基础计算题（共40分）1.（20分）真空中直角坐标系原点处放置点电荷q₁=3.2×10^-6C，点电荷q₂=-1.6×10^-6C放置于坐标点P(3,4,0)，单位为m，试计算空间点A(0,0,4)处的电场强度矢量、电位标量，以及将试验电荷q₀=1×10^-9C从A点沿直线路径移动至坐标点B(1,0,0)过程中外电场力的总做功。2.（20分）鄂尔多斯盆地某致密砂岩储层的带电粘土颗粒等效体电荷分布满足球对称分布规律ρ(r)=ρ₀(1-r/R)，其中r为球坐标系径向坐标，R为储层的径向影响半径，取值为150m，ρ₀为等效体电荷密度，取值为1.2×10^-9C/m³，试分别计算r<R的储层内部区域、r>R的外部围岩区域的电场强度径向分布，以及电位的径向分布，电位参考点选取为无穷远处。解答过程：由于电荷分布具备严格球对称性，可直接应用高斯定理简化电场计算，取半径为r的同心球面作为高斯面，高斯面上电场强度的大小处处相等，方向沿径向向外。对于r<R的储层内部区域，高斯面包围的总电荷量为q_in=∫_0^rρ(r')·4πr'^2dr'=4πρ₀∫_0^r(1-r'/R)r'^2dr'=4πρ₀(r³/3-r⁴/(4R))，代入高斯定理∮_SE·dS=q_in/ε₀，得到E_in·4πr²=4πρ₀(r³/3-r⁴/(4R))/ε₀，化简得到储层内部电场分布E_in=ρ₀/ε₀·(r/3-r²/(4R))，方向沿径向向外。代入给定参数可得R处的内部电场E(R)=1.2×10^-9/(8.854×10^-12)×(150/3-150²/(4×150))≈6.78V/m。对于r>R的外部围岩区域，高斯面包围的储层总电荷量Q为r=R时的积分结果，即Q=4πρ₀(R³/3-R⁴/(4R))=πρ₀R³/3，代入数值得到总电荷量Q≈3.1416×1.2×10^-9×150³/3≈4.24×10^-3C。再代入高斯定理得到外部电场分布E_out=Q/(4πε₀r²)=ρ₀R³/(12ε₀r²)，方向沿径向向外，r=150m处的外部电场与内部电场连续，数值完全匹配。电位分布计算采用电场的线积分方法，对于r>R的外部区域，φ_out(r)=∫_r^∞E_out(r')dr'=∫_r^∞ρ₀R³/(12ε₀r'^2)dr'=ρ₀R³/(12ε₀r)，代入r=150m得到储层边界电位约为1017V。对于r<R的内部区域，电位需要分段积分，φ_in(r)=∫_r^RE_in(r')dr'+φ_out(R)，代入E_in的表达式计算积分项：∫_r^Rρ₀/ε₀(r'/3-r'^2/(4R))dr'=ρ₀/ε₀[(R²-r²)/6-(R³-r³)/(12R)]，再叠加边界处的电位φ_out(R)，最终化简得到内部电位分布φ_in(r)=ρ₀/(36ε₀)(3R²-4r²+3r³/R)，代入r=0得到储层中心点电位约为3051V。该电荷分布模型广泛用于粘土矿物附加导电性评价，是致密油储层介电测井响应正演的基础理论模型。二、核心规律推导题（共30分）1.（15分）从库仑定律的点电荷电场表达式出发，严格推导电场强度的旋度恒等于零的结论，验证静电场的无旋性。解答过程：真空环境中静电场的高斯定理微分形式为∇·E=ρ_total/ε₀，其中ρ_total为空间所有电荷的总密度。引入介质后，电荷可分为自由电荷ρ_f和极化电荷ρ_p两类，其中极化电荷的体密度满足ρ_p=-∇·P，P为介质的极化强度矢量，代表单位体积内的分子电偶极矩矢量和。将总电荷代入高斯定理表达式得到∇·E=(ρ_f+ρ_p)/ε₀，整理后得到∇·(ε₀E+P)=ρ_f，定义电位移矢量D=ε₀E+P，即可得到介质中高斯定理的简化微分形式∇·D=ρ_f。对于各向同性线性介质，极化强度与电场强度满足线性本构关系P=χ_eε₀E，其中χ_e为介质的电极化率，代入D的定义式可得D=ε₀(1+χ_e)E=ε_rε₀E=εE，ε_r为介质的相对介电常数，ε为介质的介电常数。结合静电场的无旋性结论，最终得到各向同性线性介质中静电场的两个核心微分方程：∇×E=0、∇·D=ρ_f。在此基础上应用高斯定理和环流定理，可推导得到介质分界面的边界条件：取跨越分界面的扁圆柱高斯面，令圆柱高度趋近于零，得到D的法向分量满足D₁n-D₂n=σ_f，σ_f为分界面上的自由面电荷密度，无自由电荷时D的法向分量连续；取跨越分界面的矩形闭合环路，令环路的短边长度趋近于零，得到E的切向分量满足E₁t=E₂t，电场强度的切向分量在任意介质分界面上始终连续。该边界条件是处理多介质分层电场问题的核心依据，在侧向测井响应数值模拟中不可或缺，能有效解决泥浆-侵入带-原状地层三层结构的电场分布求解问题，为测井仪器的电极系结构优化提供理论支撑。三、油气工程应用题（共30分）针对鄂尔多斯盆地致密油气储层介电测井的简化球形电极模型开展计算，已知储层孔隙度为20%，含油气饱和度为60%，剩余孔隙空间为矿化地层水填充，储层岩石骨架的相对介电常数为4.5，地层水相对介电常数为80，原油相对介电常数为2.2，放置于储层中心的球形金属电极半径为a=0.01m，电极相对于无穷远参考点的施加电压为U=100V，忽略电极表面接触电阻与电极尺寸带来的边缘效应，求解以下四个参数：1）储层等效平均相对介电常数；2）电极表面携带的自由电荷总量；3）距离电极中心1m处的电场强度；4）距离电极中心5m处的电位值。解答过程：首先采用体积加权混合介电模型计算等效介电常数，各组分的体积占比分别为：岩石骨架占比V_rock=1-0.2=0.8，原油体积占比V_oil=0.2×0.6=0.12，地层水体积占比V_water=0.2×(1-0.6)=0.08，因此等效介电常数ε_eq=ε₀(V_rockε_r_rock+V_oilε_r_oil+V_waterε_r_water)=8.854×10^-12×(0.8×4.5+0.12×2.2+0.08×80)≈8.02×10^-11F/m，对应的等效相对介电常数ε_r_eq≈9.06。均匀介质中球形电极的电位分布为φ(r)=Q/(4πε_eqr)，代入r=a时φ(a)=U，可解得电极表面自由电荷总量Q=4πε_eqaU≈4×3.1416×8.02×10^-11×0.01×100≈1.007×10^-9C，约为1纳库仑。距离中心r=1m处的电场强度E(r)=-dφ/dr=Q/(4πε_eqr²)=Ua/r²=100×0.01/1²=1V/m，该结果与稳恒电流场的电场计算结果完全等价，符合均匀介质中静电场与稳恒电流场的等效性原理。距离中心r=5m处的电位φ(r)=Ua/r