2025-2026年高二数学第二十四章级数练习题

2025-2026年高二数学第二十四章级数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则该数列的通项公式a_n为（）A.1/(n-1)B.1/nC.1/(n+1)D.n/(n+1)解析：由a_n=S_n/(S_n-1)可得S_n-a_n=S_n，即a_n=1/(S_n-1)，又S_n=a_1+a_2+...+a_n，代入a_1=1可得S_n=1+a_2+...+a_n，整理得a_n=1/(S_n-1)=1/(a_1+a_2+...+a_n-1)，递推可得a_n=1/(n-1)，故选A。2.若等比数列{b_n}的前n项和为64，公比为2，则该数列的通项公式b_n为（）A.2^(n-1)B.2^nC.32×2^(n-1)D.32×2^n解析：由等比数列前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_n=64，q=2，可得b_1=2，故b_n=2×2^(n-1)=2^n，故选B。3.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=2c_n+1（n≥1），则该数列的前n项和S_n为（）A.2^n+1B.n^2+1C.n(n+1)D.2^n+n解析：由c_n+1=2c_n+1可得c_n+1-1=2(c_n-1)，即数列{c_n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，故c_n-1=2^(n-1)，c_n=2^(n-1)+1，S_n=2+2^1+...+2^(n-1)+n=2^n+n-1+1=2^n+n，故选D。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的第5项d_5为（）A.24B.30C.36D.42解析：由S_n=3n^2-2n可得d_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，代入n=5可得d_5=6×5-5=30，故选B。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第3项e_3为（）A.4B.6C.8D.10解析：由S_n=2^n-1可得d_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，代入n=3可得e_3=2^2=4，故选A。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=3f_n+2（n≥1），则该数列的通项公式f_n为（）A.3^(n-1)-1B.3^n-1C.3^(n-1)+1D.3^n+1解析：由f_n+1=3f_n+2可得f_n+1+1=3(f_n+1)，即数列{f_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故f_n+1=2×3^(n-1)，f_n=2×3^(n-1)-1=3^n-1，故选B。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第4项g_4为（）A.12B.14C.16D.18解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=2n，代入n=4可得g_4=2×4=8，故选C。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），则该数列的前n项和S_n为（）A.2^n-1B.n^2+1C.n(n+1)D.2^n+n解析：由h_n+1=2h_n+1可得h_n+1-1=2(h_n-1)，即数列{h_n-1}是首项为0，公比为2的等比数列，故h_n-1=0×2^(n-1)=0，h_n=1，S_n=1+1+...+1=n，故选C。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，则该数列的第3项i_3为（）A.12B.15C.18D.21解析：由S_n=4n^2-3n可得d_n=S_n-S_(n-1)=8n-7，代入n=3可得i_3=8×3-7=17，故选D。10.已知数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=3j_n-1（n≥1），则该数列的通项公式j_n为（）A.2×3^(n-1)B.3^n+1C.3^(n-1)+1D.3^n-1解析：由j_n+1=3j_n-1可得j_n+1+1=3(j_n+1)，即数列{j_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，故j_n+1=3×3^(n-1)=3^n，j_n=3^n-1，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等比数列{a_n}的前3项和为13，公比为2，则该数列的首项a_1为______。参考答案：1解析：由等比数列前3项和公式S_3=a_1(1-q^3)/(1-q)，代入S_3=13，q=2可得a_1(1-2^3)/(1-2)=13，解得a_1=1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第4项b_4为______。参考答案：8解析：由S_n=2^n-1可得b_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，代入n=4可得b_4=2^3=8。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=3c_n+2（n≥1），则该数列的通项公式c_n为______。参考答案：3^n-1解析：由c_n+1=3c_n+2可得c_n+1+1=3(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故c_n+1=2×3^(n-1)，c_n=3^n-1。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第5项d_5为______。参考答案：10解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=2n，代入n=5可得d_5=2×5=10。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第2项e_2为______。参考答案：3解析：由S_n=2^n-1可得e_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，代入n=2可得e_2=2^1=2。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则该数列的前3项和S_3为______。参考答案：11解析：由f_n+1=2f_n+1可得f_n=2^n-1，S_3=2+2^2+2^3-3=11。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3n^2-n，则该数列的第4项g_4为______。参考答案：20解析：由S_n=3n^2-n可得g_n=S_n-S_(n-1)=6n-4，代入n=4可得g_4=6×4-4=20。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=4h_n-1（n≥1），则该数列的通项公式h_n为______。参考答案：3^n-2解析：由h_n+1=4h_n-1可得h_n+1-1=4(h_n-1)，即数列{h_n-1}是首项为0，公比为4的等比数列，故h_n-1=0×4^(n-1)=0，h_n=1。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=5n^2-3n，则该数列的第3项i_3为______。参考答案：16解析：由S_n=5n^2-3n可得i_n=S_n-S_(n-1)=10n-8，代入n=3可得i_3=10×3-8=16。10.已知数列{j_n}满足j_1=3，j_n+1=5j_n-2（n≥1），则该数列的前4项和S_4为______。参考答案：328解析：由j_n+1=5j_n-2可得j_n=5^n-1，S_4=3+5+5^2+5^3-4=328。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故该数列是首项为1，公比为2的等比数列。2.若数列{b_n}满足b_n+1=2b_n+1（n≥1），则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由b_n+1=2b_n+1可得b_n+1-1=2(b_n-1)，即数列{b_n-1}是首项为0，公比为2的等比数列，但b_n=1，故该数列不是等比数列。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=2n，故该数列是首项为2，公差为2的等差数列。4.若数列{d_n}满足d_n+1=3d_n-1（n≥1），则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由d_n+1=3d_n-1可得d_n+1+1=3(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，但d_n=3^n-2，故该数列不是等比数列。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=3n^2-n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=3n^2-n可得d_n=S_n-S_(n-1)=6n-4，故该数列是首项为2，公差为6的等差数列。6.若数列{f_n}满足f_n+1=2f_n+1（n≥1），则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由f_n+1=2f_n+1可得f_n+1-1=2(f_n-1)，即数列{f_n-1}是首项为0，公比为2的等比数列，但f_n=1，故该数列不是等比数列。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=2^n-1可得g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故该数列是首项为1，公比为2的等比数列。8.若数列{h_n}满足h_n+1=4h_n-1（n≥1），则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由h_n+1=4h_n-1可得h_n+1-1=4(h_n-1)，即数列{h_n-1}是首项为0，公比为4的等比数列，但h_n=4^n-2，故该数列不是等比数列。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=5n^2-3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=5n^2-3n可得d_n=S_n-S_(n-1)=10n-8，故该数列是首项为2，公差为10的等差数列。10.若数列{j_n}满足j_n+1=5j_n-2（n≥1），则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由j_n+1=5j_n-2可得j_n+1-1=5(j_n-1)，即数列{j_n-1}是首项为2，公比为5的等比数列，但j_n=5^n-1，故该数列不是等比数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：6n-4解析：由S_n=3n^2-n可得d_n=S_n-S_(n-1)=6n-4，故该数列的通项公式a_n=6n-4。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n≥1），求该数列的前n项和S_n。参考答案：n(n+1)解析：由b_n+1=2b_n+1可得b_n=2^n-1，S_n=2+2^2+...+2^n-n=2^(n+1)-n-2，故该数列的前n项和S_n=n(n+1)。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第3项c_3。参考答案：4解析：由S_n=2^n-1可得c_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，代入n=3可得c_3=2^2=4。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2（n≥1），求该数列的通项公式d_n。参考答案：3^n-1解析：由d_n+1=3d_n+2可得d_n+1+1=3(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故d_n+1=2×3^(n-1)，d_n=3^n-1。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第4项e_4。参考答案：8解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=2n，代入n=4可得e_4=2×4=8。6.已知数列{f_n}满足f_n+1=2f_n+1（n≥1），求该数列的前3项和S_3。参考答案：11解析：由f_n+1=2f_n+1可得f_n=2^n-1，S_3=2+2^2+2^3-3=11。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=5n^2-3n，求该数列的第5项g_5。参考答案：16解析：由S_n=5n^2-3n可得d_n=S_n-S_(n-1)=10n-8，代入n=5可得g_5=10×5-8=16。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=5h_n-2（n≥1），求该数列的通项公式h_n。参考答案：5^n-2解析：由h_n+1=5h_n-2可得h_n+1-1=5(h_n-1)，即数列{h_n-1}是首项为2，公比为5的等比数列，故h_n-1=2×5^(n-1)，h_n=5^n-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n，求该数列的第10项a_10。参考答案：56解析：由S_n=3n^2-n可得d_n=S_n-S_(n-1)=6n-4，代入n=10可得a_10=6×10-4=56。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n≥1），求该数列的前5项和S_5。参考答案：55解析：由b_n+1=2b_n+1可得b_n=2^n-1，S_5=2+2^2+2^3+2^4+2^5-5=55。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第6项c_6。参考答案：32解析：由S_n=2^n-1可得c_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，代入n=6可得c_6=2^5=32。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2（n≥1），求该数列的前4项和S_4。参考答案：34解析：由d_n+1=3d_n+2可得d_n=3^n-2，S_4=1+3+3^2+3^3-8=34。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第7项e_7。参考答案：14解析：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=2n，代入n=7可得e_7=2×7=14。6.已知数列{f_n}满足f_n+1=2f_n+1（n≥1），求该数列的前6项和S_6。参考答案：63解析：由f_n+1=2f_n+1可得f_n=2^n-1，S_6=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6-6=63。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=5n^2-3n，求该数列的第8项g_8。参考答案：38解析：由S_n=5n^2-3n可得d_n=S_n-S_(n-1)=10n-8，代入n=8可得g_8=10×8-8=38。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=5h_n-2（n≥1），求该数列的前7项和S_7。参考答案：1585解析：由h_n+1=5h_n-2可得h_n=5^n-2，S_7=3+5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6-14=1585。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.D解析：2.由a_n=S_n/(S_n-1)可得a_n=1/(S_n-1)，S_n=a_1+a_2+...+a_n，代入a_1=1可得a_n=1/(n-1)。3.由S_n=64，q=2可得a_1=2，b_n=2×2^(n-1)=2^n。4.由c_n+1=2c_n+1可得c_n=3^n-2。5.由S_n=n^2+n可得d_n=2n。6.由S_n=2^n-1可得e_n=2^(n-1)。7.由f_n+1=3f_n+2可得f_n=3^n-1。8.由S_n=n^2+n可得g_n=2n。9.由h_n+1=2h_n+1可得h_n=2^n-1。10.由S_n=4n^2-3n可得d_n=8n-7。11.由j_n+1=3j_n-1可得j_n=3^n-2。二、填空题1.12.83.3^n-14.105.26.117.208.3^n-29.1610.328解析：2.由S_3=a_1(1-2^3)/(1-2)=13可得a_1=1。3.由S_n=2^n-1可得b_n=2^(n-1)，b_4=2^3=8。4.由c_n+1=3c_n+2可得c_n=3^n-1。5.由S_n=n^2+n可得d_n=2n，d_5=2×5=10。6.由S_n=2^n-1可得e_n=2^(n-1)，e_2=2^1=2。7.由f_n+1=2f_n+1可得f_n=2^n-1，S_3=2+2^2+2^3-3=11。8.由S_n=3n^2-n可得g_n=6n-4，g_4=6×4-4=20。9.由h_n+1=4h_n-1可得h_n=4^n-2。10.由S_n=5n^2-3n可得i_n=10n-8，i_3=10×3-8=16。11.由j_n+1=5j_n-2可得j_n=5^n-1，S_4=3+5+5^2+5^3-4=328。三、判断题1.正确2.错误3.正确4.错误5.正确6.错误7.正确8.错误9.正确10.错误解析：2.由S_n=2^n-1可得a_n=2^(n-1)，故该数列是等比数列。3.由b_n+1=2b_n+1可得b_n=1，故该数列不是等比数列。4.由S_n=n^2+n可得d_n=2n，故该数列是等差数列。5.由d_n+1=3d_n-1可得d_n=3^n-2，故该数列不是等比数列。6.由S_n=3n^2-n可得e_n=6n-4，故该数列是等差数列。7.由f_n+1=2f_n+1可得f_n=1，故该数列不是等比数列。8.由S_n=2^n-1可得g_n=2^(n-1)，故该数列是等比数列。9.由h_n+1=4h_n-1可得h_n=4^n-2，故该数列不是等比数列。10.由S_n=5n^2-3n可得i_n=10n-8，故该数列是等差数列。11.由j_n+1=5j_n-2可得j_n=5^n-1，故该数列不是等比数列。四、简答题1.a_n=6n-4解析：由S_n=3n^2-n可得d_n=S_n-S_(n-1)=6n-4，故a_n=6n-4。2.S_n=n(n+1)解析：由b_n+1=2b_n+1可得b_n=2^n-1，S_n=2+2^2+...+2^n-n=2^(n+1)-n-2，故S_n=n(n+1)。3.c_3=4解析：由S_n=2^n-1可得c_