2026年人教版高二数学第三章数列练习题

2026年人教版高二数学第三章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√2)^6+(1-√2)^6]=64。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=√(f_n+3)，则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，由f_{n+1}=√(f_n+3)可得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得h_n=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前5项和为0+1+2+3+4=10。选项A正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2√i_n+1，则i_4等于（）A.25B.36C.49D.64解析：由递推关系可得i_{n+1}=(√i_n+1)^2，故i_2=2^2=4，i_3=3^2=9，i_4=4^2=16。选项D正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前5项和j_1+j_2+...+j_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列通项公式j_6=j_1q^5=64，解得q=2，故前5项和S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=0，d=5/3，故a_n=5/3(n-1)。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_3=_________。参考答案：8解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=4n-5，验证n=1时成立，故b_3=7。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=_________。参考答案：35解析：由递推关系可得c_n=2+(n-1)×3/2+3×(1+2+...+(n-1))=2+3/2(n-1)+3(n-1)n/2=3n^2/2-n+2，故c_5=35。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=_________。参考答案：±2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_4=_________。参考答案：8解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_4=8。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=2f_n+1，则f_6=_________。参考答案：63解析：由递推关系可得f_n=2^n-1，故f_6=63。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=1，d=2，则a_10+a_11+a_12+a_13+a_14=_________。参考答案：100解析：由等差数列性质可得该和=5a_12=5×(1+13×2)=100。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则h_n=_________。参考答案：n+1解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=2n，验证n=1时成立，故h_n=n+1。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2√i_n，则i_4=_________。参考答案：25解析：由递推关系可得i_n=n^2，故i_4=25。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则j_1+j_2+...+j_6=_________。参考答案：728解析：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=6，得S_6=728。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解析：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=5，当n≥2时a_n=4n+1，故该数列不是等差数列。参考答案：×2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故数列{b_n}是递增数列。参考答案：√3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列是等差数列。（）解析：由递推关系可知该数列是斐波那契数列，不是等差数列。参考答案：×4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3+a_4=10。（）解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=5，同理a_3+a_4=2a_3.5=10。参考答案：√5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。参考答案：√6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=2f_n（n≥1），则该数列是等比数列。（）解析：由递推关系可知该数列是等比数列，公比q=2。参考答案：√7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q=3。（）解析：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，联立解得q=3。参考答案：√8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（）解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2^{n-1}。参考答案：√9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1（n≥1），则该数列是等差数列。（）解析：由递推关系可知该数列是等差数列，公差d=1。参考答案：√10.在等差数列{j_n}中，若a_1=1，d=2，则a_10>a_9>a_8>...>a_1。（）解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，因d=2>0，故数列{a_n}是递增数列。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，求该数列的前6项和b_1+b_2+...+b_6。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，解得q=2，故前6项和S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求c_5的值。解：由递推关系可得c_n=n^2，故c_5=25。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_4的值。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_4=8。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n/2，求该数列的通项公式f_n。解：由递推关系可知该数列是等比数列，公比q=1/2，故f_n=3×(1/2)^{n-1}。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=4，g_4=g_1q^3=16，联立解得q=±2。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，求h_3+h_4+h_5的值。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_3+h_4+h_5=7+8+9=24。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加200件，求第10年的产量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=1000，d=200，故a_{10}=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，故b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第5年年末的存款总额（按复利计算）。解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1000，q=1.05，n=5，得S_5≈5525.63元。4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，求使得a_n>100的最小正整数n。解：由等差数列通项公式a_n=2+3(n-1)>100，解得n>32.67，故n=33。5.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，q=2，求使得b_n>1000的最小正整数n。解：由等比数列通项公式b_n=2^{n-1}>1000，解得n>10，故n=11。6.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年的种植数量比前一年增加10棵，求第8年种植的树木数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=100，d=10，故a_8=100+7×10=170