2025-2026年高等数学多元函数习题

2025-2026年高等数学多元函数习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标是（）A.(1,-2,3)B.(-1,2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,-2,-3)解析：点P(1,2,3)关于x轴的对称点，其x坐标不变，y坐标和z坐标取相反数，故对称点坐标为(1,-2,3)。选项A正确。2.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=2，∂f/∂x(1,1)=1，∂f/∂y(1,1)=-1，则lim(x→1,y→1)[f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)]/√[(x-1)²+(y-1)²]的值是（）A.0B.1C.-1D.不存在解析：由函数可微的定义，f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)是比√[(x-1)²+(y-1)²]高阶的无穷小量，故极限值为0。选项A正确。3.设D为区域{x²+y²≤1，x≥0，y≥0}，则∬_D(2x+y)dxdy的值是（）A.πB.π/2C.3π/2D.2π解析：将积分区域D用极坐标表示，x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤1，0≤θ≤π/2，则积分变为∬_D(2rcosθ+rsinθ)rdrdθ=∫_0^π/2∫_0^1(2rcosθ+rsinθ)rdrdθ=∫_0^π/2(2cosθ+sinθ)∫_0^1r²drdθ=∫_0^π/2(2cosθ+sinθ)•1/3dθ=2/3∫_0^π/2cosθdθ+1/3∫_0^π/2sinθdθ=2/3[sinθ]_0^π/2+1/3[-cosθ]_0^π/2=2/3•1+1/3•(-0+1)=π/2。选项B正确。4.设函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且满足方程∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则下列说法正确的是（）A.f(x,y)在D上恒为常数B.f(x,y)在D上不可能是调和函数C.f(x,y)在D上可能是非调和函数D.f(x,y)在D上一定是拉普拉斯方程的解解析：满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数称为调和函数，即拉普拉斯方程的解。选项D正确。5.设函数f(x,y)在点(0,0)处连续，且lim(x→0,y→0)(x²+y²)f(x,y)=1，则f(0,0)的值是（）A.1B.0C.-1D.不存在解析：由函数连续的定义，f(0,0)=lim(x→0,y→0)f(x,y)=lim(x→0,y→0)[(x²+y²)f(x,y)/(x²+y²)]•lim(x→0,y→0)(x²+y²)=1•0=0。选项B正确。6.设函数f(x,y)=|x|+|y|，则f(x,y)在点(0,0)处（）A.可微B.不可微C.偏导数存在D.极限存在解析：函数f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)处偏导数存在，但不可微，因为其在该点处的切平面不存在。选项C正确。7.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,1)处的梯度向量是（）A.(2,2)B.(1,1)C.(4,4)D.(0,0)解析：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,1)处为2i+2j=(2,2)。选项A正确。8.设函数f(x,y)=ln(x+y)，则f(x,y)在点(1,1)处的全微分是（）A.d(f(x,y))=dx+dyB.d(f(x,y))=1/(x+y)(dx+dy)C.d(f(x,y))=ln2(dx+dy)D.d(f(x,y))=0解析：全微分d(f(x,y))=∂f/∂x(x,y)dx+∂f/∂y(x,y)dy=1/(x+y)dx+1/(x+y)dy=1/2(dx+dy)。选项B正确。9.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最大值和最小值分别是（）A.1，0B.0，-1C.1，-1D.2，-2解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最大值在边界x²+y²=1上取得，为1；最小值在区域内部点(0,0)处取得，为0。选项A正确。10.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的平均值是（）A.πB.π/2C.π/4D.π/8解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的平均值是∬_Df(x,y)/|D|=∬_D(x²+y²)/π=π/π=1。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(1,2)的值是______。参考答案：5解析：将x=1，y=2代入函数f(x,y)=x²+y²，得f(1,2)=1²+2²=5。2.设函数f(x,y)=x²+y²，则∂f/∂x(1,2)的值是______。参考答案：2解析：偏导数∂f/∂x(x,y)=2x，在点(1,2)处为2×1=2。3.设函数f(x,y)=x²+y²，则∂f/∂y(1,2)的值是______。参考答案：4解析：偏导数∂f/∂y(x,y)=2y，在点(1,2)处为2×2=4。4.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的全微分是______。参考答案：2dx+4dy解析：全微分d(f(x,y))=∂f/∂x(x,y)dx+∂f/∂y(x,y)dy=2xdx+2ydy，在点(1,2)处为2dx+4dy。5.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最大值是______。参考答案：1解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最大值在边界x²+y²=1上取得，为1。6.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最小值是______。参考答案：0解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最小值在区域内部点(0,0)处取得，为0。7.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的平均值是______。参考答案：1解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的平均值是∬_Df(x,y)/|D|=∬_D(x²+y²)/π=π/π=1。8.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的梯度向量是______。参考答案：(2,4)解析：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,2)处为2i+4j=(2,4)。9.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的积分值是______。参考答案：π解析：∬_D(x²+y²)dxdy，用极坐标表示，x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤1，0≤θ≤2π，则积分变为∫_0^2π∫_0^1r²rdrdθ=∫_0^2π[1/4r⁴]_0^1dθ=∫_0^2π1/4dθ=π/4•2π=π。10.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值是______。参考答案：3√2/2解析：方向导数D_μf(x,y)=gradf(x,y)•μ=∂f/∂x(x,y)cosθ+∂f/∂y(x,y)sinθ，方向向量(1,1)的单位向量是(1/√2,1/√2)，在点(1,2)处为2cos(π/4)+4sin(π/4)=2√2+4√2=6√2，方向导数为6√2/√2=3√2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(0,0)处可微。（）参考答案：×解析：函数f(x,y)=x²+y²在点(0,0)处连续，且偏导数存在，但不可微，因为其在该点处的切平面不存在。2.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的积分值为π。（）参考答案：√解析：∬_D(x²+y²)dxdy，用极坐标表示，x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤1，0≤θ≤2π，则积分变为∫_0^2π∫_0^1r²rdrdθ=∫_0^2π[1/4r⁴]_0^1dθ=∫_0^2π1/4dθ=π/4•2π=π。3.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的梯度向量是(2,2)。（）参考答案：×解析：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,2)处为2i+4j=(2,4)。4.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最大值为1。（）参考答案：√解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最大值在边界x²+y²=1上取得，为1。5.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最小值为0。（）参考答案：√解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最小值在区域内部点(0,0)处取得，为0。6.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值是3√2/2。（）参考答案：√解析：方向导数D_μf(x,y)=gradf(x,y)•μ=∂f/∂x(x,y)cosθ+∂f/∂y(x,y)sinθ，方向向量(1,1)的单位向量是(1/√2,1/√2)，在点(1,2)处为2cos(π/4)+4sin(π/4)=2√2+4√2=6√2，方向导数为6√2/√2=3√2。7.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的平均值是1。（）参考答案：√解析：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的平均值是∬_Df(x,y)/|D|=∬_D(x²+y²)/π=π/π=1。8.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的全微分是2dx+4dy。（）参考答案：√解析：全微分d(f(x,y))=∂f/∂x(x,y)dx+∂f/∂y(x,y)dy=2xdx+2ydy，在点(1,2)处为2dx+4dy。9.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,2)处的梯度向量是(2,4)。（）参考答案：√解析：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,2)处为2i+4j=(2,4)。10.设函数f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的积分值为π/4。（）参考答案：×解析：∬_D(x²+y²)dxdy，用极坐标表示，x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤1，0≤θ≤2π，则积分变为∫_0^2π∫_0^1r²rdrdθ=∫_0^2π[1/4r⁴]_0^1dθ=∫_0^2π1/4dθ=π/4•2π=π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是多元函数的偏导数？参考答案：多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下，该函数对某一个自变量的变化率。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果极限lim(Δx₁→0)[f(a₁+Δx₁,a₂,...,an)-f(a₁,a₂,...,an)]/Δx₁存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处对x₁的偏导数存在，记作∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)。2.什么是多元函数的全微分？参考答案：多元函数的全微分是指函数在一点处沿所有方向的变化率的线性组合。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处可微，则函数在点(a₁,a₂,...,an)处的全微分为d(f(x₁,x₂,...,xn))=∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)dx₁+∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)dx₂+...+∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)dxn。3.什么是多元函数的梯度？参考答案：多元函数的梯度是指函数在一点处所有方向导数中最大的方向导数及其方向。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处可微，则函数在点(a₁,a₂,...,an)处的梯度向量为gradf(a₁,a₂,...,an)=∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)i+∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)j+...+∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)kn。4.什么是多元函数的方向导数？参考答案：多元函数的方向导数是指函数在一点处沿某一方向的变化率。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，μ是单位向量，如果极限lim(λ→0)[f(a₁+λμ,a₂+λμ,...,an+λμ)-f(a₁,a₂,...,an)]/λ存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处沿方向μ的方向导数存在，记作D_μf(a₁,a₂,...,an)。5.什么是多元函数的极值？参考答案：多元函数的极值是指函数在一点处的值比其附近所有点的值都要大或都要小。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内所有异于(a₁,a₂,...,an)的点(x₁,x₂,...,xn)，都有f(x₁,x₂,...,xn)<f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得极大值；如果都有f(x₁,x₂,...,xn)>f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得极小值。6.什么是多元函数的条件极值？参考答案：多元函数的条件极值是指在满足某些约束条件的情况下，函数的极值。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，约束条件为g(x₁,x₂,...,xn)=0，如果对于该邻域内所有满足g(x₁,x₂,...,xn)=0的异于(a₁,a₂,...,an)的点(x₁,x₂,...,xn)，都有f(x₁,x₂,...,xn)<f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得条件极大值；如果都有f(x₁,x₂,...,xn)>f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得条件极小值。7.什么是多元函数的重积分？参考答案：多元函数的重积分是指函数在某一区域上的积分。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在区域D上连续，将区域D任意分割为n个小区域ΔD₁,ΔD₂,...,ΔDn，记每个小区域的面积为|ΔD₁|,|ΔD₂|,...,|ΔDn|，在每一个小区域ΔD₁上任取一点(x₁^(i),x₂^(i),...,xn^(i))，作和式S=∑f(x₁^(i),x₂^(i),...,xn^(i))|ΔDī|，如果当所有小区域的直径的最大值λ→0时，和式S的极限存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在区域D上的重积分存在，记作∫∫∫_Df(x₁,x₂,...,xn)dV。8.什么是多元函数的雅可比行列式？参考答案：多元函数的雅可比行列式是指函数的偏导数组成的行列式。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果函数在该邻域内所有点处都可微，则称函数在点(a₁,a₂,...,an)处的雅可比行列式为Jf(a₁,a₂,...,an)=|∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)...∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)|。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x,y)=x²+y²在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的最大值和最小值。解：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的最大值在边界x²+y²=1上取得，为1；最小值在区域内部点(0,0)处取得，为0。参考答案：最大值为1，最小值为0。2.求函数f(x,y)=x²+y²在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的平均值。解：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的平均值是∬_Df(x,y)/|D|=∬_D(x²+y²)/π=π/π=1。参考答案：平均值为1。3.求函数f(x,y)=x²+y²在点(1,2)处的梯度向量。解：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,2)处为2i+4j=(2,4)。参考答案：梯度向量为(2,4)。4.求函数f(x,y)=x²+y²在点(1,2)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值。解：方向导数D_μf(x,y)=gradf(x,y)•μ=∂f/∂x(x,y)cosθ+∂f/∂y(x,y)sinθ，方向向量(1,1)的单位向量是(1/√2,1/√2)，在点(1,2)处为2cos(π/4)+4sin(π/4)=2√2+4√2=6√2，方向导数为6√2/√2=3√2。参考答案：方向导数为3√2。5.求函数f(x,y)=x²+y²在点(1,2)处的全微分。解：全微分d(f(x,y))=∂f/∂x(x,y)dx+∂f/∂y(x,y)dy=2xdx+2ydy，在点(1,2)处为2dx+4dy。参考答案：全微分为2dx+4dy。6.求函数f(x,y)=x²+y²在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的积分值。解：∬_D(x²+y²)dxdy，用极坐标表示，x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤1，0≤θ≤2π，则积分变为∫_0^2π∫_0^1r²rdrdθ=∫_0^2π[1/4r⁴]_0^1dθ=∫_0^2π1/4dθ=π/4•2π=π。参考答案：积分值为π。7.求函数f(x,y)=x²+y²在区域D={|(x,y)∈R²|x²+y²≤1}上的平均值。解：函数f(x,y)=x²+y²在区域D上的平均值是∬_Df(x,y)/|D|=∬_D(x²+y²)/π=π/π=1。参考答案：平均值为1。8.求函数f(x,y)=x²+y²在点(1,2)处的梯度向量。解：梯度向量gradf(x,y)=∂f/∂x(x,y)i+∂f/∂y(x,y)j=2xi+2yj，在点(1,2)处为2i+4j=(2,4)。参考答案：梯度向量为(2,4)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.D5.B6.C7.A8.B9.A10.C二、填空题1.52.23.44.2dx+4dy5.16.07.18.(2,4)9.π10.3√2/2三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下，该函数对某一个自变量的变化率。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果极限lim(Δx₁→0)[f(a₁+Δx₁,a₂,...,an)-f(a₁,a₂,...,an)]/Δx₁存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处对x₁的偏导数存在，记作∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)。2.多元函数的全微分是指函数在一点处沿所有方向的变化率的线性组合。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处可微，则函数在点(a₁,a₂,...,an)处的全微分为d(f(x₁,x₂,...,xn))=∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)dx₁+∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)dx₂+...+∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)dxn。3.多元函数的梯度是指函数在一点处所有方向导数中最大的方向导数及其方向。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处可微，则函数在点(a₁,a₂,...,an)处的梯度向量为gradf(a₁,a₂,...,an)=∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)i+∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)j+...+∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)kn。4.多元函数的方向导数是指函数在一点处沿某一方向的变化率。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，μ是单位向量，如果极限lim(λ→0)[f(a₁+λμ,a₂+λμ,...,an+λμ)-f(a₁,a₂,...,an)]/λ存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处沿方向μ的方向导数存在，记作D_μf(a₁,a₂,...,an)。5.多元函数的极值是指函数在一点处的值比其附近所有点的值都要大或都要小。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内所有异于(a₁,a₂,...,an)的点(x₁,x₂,...,xn)，都有f(x₁,x₂,...,xn)<f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得极大值；如果都有f(x₁,x₂,...,xn)>f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得极小值。6.多元函数的条件极值是指在满足某些约束条件的情况下，函数的极值。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，约束条件为g(x₁,x₂,...,xn)=0，如果对于该邻域内所有满足g(x₁,x₂,...,xn)=0的异于(a₁,a₂,...,an)的点(x₁,x₂,...,xn)，都有f(x₁,x₂,...,xn)<f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得条件极大值；如果都有f(x₁,x₂,...,xn)>f(a₁,a₂,...,an)，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)处取得条件极小值。7.多元函数的重积分是指函数在某一区域上的积分。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在区域D上连续，将区域D任意分割为n个小区域ΔD₁,ΔD₂,...,ΔDn，记每个小区域的面积为|ΔD₁|,|ΔD₂|,...,|ΔDn|，在每一个小区域ΔD₁上任取一点(x₁^(i),x₂^(i),...,xn^(i))，作和式S=∑f(x₁^(i),x₂^(i),...,xn^(i))|ΔDī|，如果当所有小区域的直径的最大值λ→0时，和式S的极限存在，则称函数f(x₁,x₂,...,xn)在区域D上的重积分存在，记作∫∫∫_Df(x₁,x₂,...,xn)dV。8.多元函数的雅可比行列式是指函数的偏导数组成的行列式。解析：设函数f(x₁,x₂,...,xn)在点(a₁,a₂,...,an)的某个邻域内有定义，如果函数在该邻域内所有点处都可微，则称函数在点(a₁,a₂,...,an)处的雅可比行列式为Jf(a₁,a₂,...,an)=|∂f/∂x₁(a₁,a₂,...,an)∂f/∂x₂(a₁,a₂,...,an)...∂f/∂xn(a₁,a₂,...,an)