2025-2026年高等数学二十一级数收敛性练习题

2025-2026年高等数学二十一级数收敛性练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n>0，则下列级数中一定收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞(a_n+1)B.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞\frac{1}{a_n}D.∑_{n=1}^∞a_n\sinn【答案】B【解析】级数∑_{n=1}^∞a_n收敛且a_n>0，说明a_n→0（级数收敛的必要条件）。选项A中∑_{n=1}^∞(a_n+1)=∑_{n=1}^∞a_n+∑_{n=1}^∞1，后者发散，故A错误；选项B中a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，故B收敛；选项C中\frac{1}{a_n}→∞，级数发散；选项D中a_n\sinn的绝对值不趋于0，级数发散。正确答案为B。2.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{n!}{n^n}的收敛性，下列方法正确的是（）A.比较判别法B.比值判别法C.根值判别法D.积分判别法【答案】B【解析】对于∑_{n=1}^∞\frac{n!}{n^n}，直接使用比值判别法：\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)!\cdotn^n}{(n+1)^{n+1}\cdotn!}=\lim_{n→∞}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n→∞}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=e^{-1}<1，故级数收敛。其他方法均不适用：比较判别法需找已知敛散性级数比较，根值判别法计算复杂，积分判别法适用于连续函数项级数。正确答案为B。3.若级数∑_{n=1}^∞b_n发散，且b_n>0，则下列结论正确的是（）A.∑_{n=1}^∞\frac{1}{b_n}收敛B.∑_{n=1}^∞b_n^2收敛C.∑_{n=1}^∞\frac{b_n}{n}收敛D.∑_{n=1}^∞b_n\lnn收敛【答案】C【解析】发散级数b_n>0意味着b_n不趋于0，但未必单调。选项A中\frac{1}{b_n}→∞，级数发散；选项B中b_n^2>0但发散时b_n^2不趋于0，级数发散；选项C中由比较判别法的极限形式：\lim_{n→∞}\frac{\frac{b_n}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n→∞}b_n=0，且∑_{n=1}^∞\frac{1}{n}发散，故∑_{n=1}^∞\frac{b_n}{n}收敛；选项D中b_n\lnn不趋于0，级数发散。正确答案为C。4.设幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛半径为2，则级数∑_{n=0}^∞a_n(2x-1)^n的收敛域为（）A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-3,1)D.[-3,1]【答案】A【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛半径为2，即|x-1|<2，解得x∈(-1,3)。对于∑_{n=0}^∞a_n(2x-1)^n，令t=2x-1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛半径仍为2，即|t|<2，解得t∈(-2,2)，还原为x∈(-1,3)。正确答案为A。5.若∑_{n=1}^∞a_n是条件收敛的交错级数，则下列级数中可能绝对收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞a_n^2B.∑_{n=1}^∞(-1)^n\frac{a_n}{n}C.∑_{n=1}^∞\frac{a_n}{\sqrt{n}}D.∑_{n=1}^∞a_n\cosn【答案】A【解析】条件收敛的交错级数∑_{n=1}^∞(-1)^na_n满足a_n→0且a_n单调递减。选项A中a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，故∑_{n=1}^∞a_n^2绝对收敛；选项B中(-1)^n\frac{a_n}{n}是条件收敛的；选项C中\frac{a_n}{\sqrt{n}}绝对值不趋于0，级数发散；选项D中a_n\cosn的绝对值不趋于0，级数发散。正确答案为A。6.设f(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}，则f(x)在x=2处的泰勒展开式为（）A.e^2\sum_{n=0}^∞\frac{(x-2)^n}{n!}B.e^2\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}C.\sum_{n=0}^∞\frac{(x+2)^n}{n!}D.\sum_{n=0}^∞\frac{(x-2)^n}{n!}【答案】A【解析】f(x)=e^x的麦克劳林展开式为∑_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}，在x=2处展开为e^2\sum_{n=0}^∞\frac{(x-2)^n}{n!}。选项B是原级数，选项C错误，选项D未体现平移。正确答案为A。7.若正项级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则下列级数中可能发散的是（）A.∑_{n=1}^∞\sqrt{a_n}B.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞\ln(1+a_n)D.∑_{n=1}^∞a_n\lnn【答案】D【解析】正项级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则a_n→0。选项A中\sqrt{a_n}→0，且由根值判别法\lim_{n→∞}\sqrt{a_n}=0<1，故收敛；选项B中a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，故收敛；选项C中\ln(1+a_n)≈a_n（当a_n→0），故收敛；选项D中a_n\lnn不趋于0（例如a_n=\frac{1}{n^2}，则a_n\lnn=\frac{\lnn}{n^2}→0慢于\frac{1}{n}），级数发散。正确答案为D。8.若级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则下列级数中一定收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞b_n^2B.∑_{n=1}^∞\frac{b_n}{n}C.∑_{n=1}^∞b_n\lnnD.∑_{n=1}^∞b_n\sin^2n【答案】A【解析】收敛级数b_n>0意味着b_n→0。选项A中b_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{b_n^2}{b_n}=\lim_{n→∞}b_n=0<1，故收敛；选项B中\frac{b_n}{n}绝对值不趋于0（例如b_n=\frac{1}{n\lnn}），级数发散；选项C中b_n\lnn不趋于0，级数发散；选项D中b_n\sin^2n绝对值不趋于0，级数发散。正确答案为A。9.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为[0,2]，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛域为（）A.[-2,0]B.(-2,0)C.(-3,1)D.[-3,1]【答案】A【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为[0,2]，即|x-1|≤2，解得x∈[-1,3]。对于∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n，令t=x+1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为[-1,3]，还原为x∈[-2,0]。正确答案为A。10.若∑_{n=1}^∞a_n是绝对收敛的级数，则下列级数中一定绝对收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞(-1)^na_nB.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞\frac{a_n}{n}D.∑_{n=1}^∞a_n\cosn【答案】B【解析】绝对收敛级数∑_{n=1}^∞a_n意味着∑_{n=1}^∞|a_n|收敛。选项A中(-1)^na_n可能条件收敛；选项B中a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{|a_n|}=\lim_{n→∞}|a_n|=0<1，故绝对收敛；选项C中\frac{a_n}{n}绝对值不趋于0，级数发散；选项D中a_n\cosn的绝对值不趋于0，级数发散。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n>0，则级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{a_n}的敛散性为________。【答案】发散【解析】收敛级数a_n>0意味着a_n→0，故\frac{1}{a_n}→∞，级数发散。2.若级数∑_{n=1}^∞b_n发散，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{b_n}的敛散性为________。【答案】发散【解析】发散级数b_n>0意味着b_n不趋于0，故\frac{1}{b_n}→0，但级数发散。3.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-2)^n的收敛半径为3，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛域为________。【答案】(-4,-1]【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-2)^n的收敛域为|x-2|<3，即x∈(-1,5)。对于∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n，令t=x+1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为(-1,5)，还原为x∈(-4,4)。由于a_n(x+1)^n在x=-4处收敛（交错级数），故收敛域为(-4,-1]。4.若级数∑_{n=1}^∞a_n是条件收敛的交错级数，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2的敛散性为________。【答案】收敛【解析】条件收敛的交错级数a_n→0，故a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，级数绝对收敛。5.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为[0,2]，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x-3)^n的收敛域为________。【答案】[2,4]【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为|x-1|≤2，即x∈[-1,3]。对于∑_{n=0}^∞a_n(x-3)^n，令t=x-3，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为[-1,3]，还原为x∈[2,4]。由于a_n(x-3)^n在x=2处收敛（交错级数），故收敛域为[2,4]。6.若正项级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n→0，则级数∑_{n=1}^∞a_n\lnn的敛散性为________。【答案】发散【解析】a_n\lnn不趋于0（例如a_n=\frac{1}{n^2}，则a_n\lnn=\frac{\lnn}{n^2}→0慢于\frac{1}{n}），级数发散。7.若级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞b_n^2的敛散性为________。【答案】收敛【解析】收敛级数b_n>0意味着b_n→0，故b_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{b_n^2}{b_n}=\lim_{n→∞}b_n=0<1，级数绝对收敛。8.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛半径为2，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛域为________。【答案】(-3,1)【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为|x-1|<2，即x∈(-1,3)。对于∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n，令t=x+1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为(-1,3)，还原为x∈(-3,1)。9.若级数∑_{n=1}^∞a_n是绝对收敛的级数，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2的敛散性为________。【答案】收敛【解析】绝对收敛级数∑_{n=1}^∞a_n意味着∑_{n=1}^∞|a_n|收敛，故a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{|a_n|}=\lim_{n→∞}|a_n|=0<1，级数绝对收敛。10.若级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞b_n\lnn的敛散性为________。【答案】发散【解析】b_n\lnn不趋于0（例如b_n=\frac{1}{n^2}，则b_n\lnn=\frac{\lnn}{n^2}→0慢于\frac{1}{n}），级数发散。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞|a_n|收敛。（×）【解析】收敛级数未必绝对收敛，例如∑_{n=1}^∞(-1)^n\frac{1}{n}收敛但∑_{n=1}^∞\frac{1}{n}发散。2.若级数∑_{n=1}^∞b_n发散，则级数∑_{n=1}^∞|b_n|发散。（√）【解析】发散级数|b_n|>0，故\frac{1}{|b_n|}→∞，级数发散。3.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛半径为2，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛半径为4。（×）【解析】收敛半径与平移无关，仍为2。4.若级数∑_{n=1}^∞a_n是条件收敛的交错级数，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2收敛。（√）【解析】条件收敛的交错级数a_n→0，故a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，级数绝对收敛。5.若正项级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞a_n\lnn收敛。（×）【解析】a_n\lnn不趋于0（例如a_n=\frac{1}{n^2}，则a_n\lnn=\frac{\lnn}{n^2}→0慢于\frac{1}{n}），级数发散。6.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为[0,2]，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛域为[-2,0]。（×）【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为|x-1|≤2，即x∈[-1,3]。对于∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n，令t=x+1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为[-1,3]，还原为x∈[-2,4]。由于a_n(x+1)^n在x=-2处收敛（交错级数），故收敛域为[-2,4]。7.若级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞b_n^2收敛。（√）【解析】收敛级数b_n>0意味着b_n→0，故b_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{b_n^2}{b_n}=\lim_{n→∞}b_n=0<1，级数绝对收敛。8.若幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛半径为2，则级数∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n的收敛域为(-3,1)。（√）【解析】原级数∑_{n=0}^∞a_n(x-1)^n的收敛域为|x-1|<2，即x∈(-1,3)。对于∑_{n=0}^∞a_n(x+1)^n，令t=x+1，则级数变为∑_{n=0}^∞a_nt^n，其收敛域仍为(-1,3)，还原为x∈(-3,1)。9.若级数∑_{n=1}^∞a_n是绝对收敛的级数，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2收敛。（√）【解析】绝对收敛级数∑_{n=1}^∞a_n意味着∑_{n=1}^∞|a_n|收敛，故a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{|a_n|}=\lim_{n→∞}|a_n|=0<1，级数绝对收敛。10.若级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞b_n\lnn收敛。（×）【解析】b_n\lnn不趋于0（例如b_n=\frac{1}{n^2}，则b_n\lnn=\frac{\lnn}{n^2}→0慢于\frac{1}{n}），级数发散。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述交错级数收敛的充分条件。【参考答案】交错级数∑_{n=1}^∞(-1)^na_n收敛的充分条件是：①a_n>0；②a_n单调递减；③a_n→0。2.幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-x_0)^n的收敛半径如何确定？【参考答案】幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-x_0)^n的收敛半径R可由公式R=\frac{1}{\limsup_{n→∞}|a_n|^{1/n}}或R=\lim_{n→∞}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|（若极限存在）确定。3.级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}的敛散性如何判断？【参考答案】级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}当p>1时收敛，当p≤1时发散。4.简述绝对收敛级数的性质。【参考答案】绝对收敛级数具有可重排性、绝对收敛级数的和仍绝对收敛等性质。5.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2的敛散性如何？【参考答案】若∑_{n=1}^∞a_n收敛且a_n>0，则∑_{n=1}^∞a_n^2收敛；若∑_{n=1}^∞a_n条件收敛，则∑_{n=1}^∞a_n^2发散。6.幂级数∑_{n=0}^∞a_n(x-x_0)^n的收敛域如何确定？【参考答案】幂级数的收敛域由收敛半径确定，需分别讨论端点x=x_0±R处的敛散性。7.级数∑_{n=1}^∞b_n收敛，且b_n>0，则级数∑_{n=1}^∞b_n^2的敛散性如何？【参考答案】若∑_{n=1}^∞b_n收敛且b_n>0，则∑_{n=1}^∞b_n^2收敛。8.简述正项级数收敛的判别法。【参考答案】正项级数收敛的判别法包括比值判别法、根值判别法、比较判别法、积分判别法等。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{n}{2^n}的敛散性。【参考答案】使用比值判别法：\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n→∞}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\lim_{n→∞}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}<1，故级数收敛。2.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{n\lnn}的敛散性。【参考答案】使用积分判别法：\int_1^∞\frac{1}{x\lnx}dx=\ln(\lnx)\big|_1^∞→∞，故级数发散。3.求幂级数∑_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}的收敛域。【参考答案】使用根值判别法：\limsup_{n→∞}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=\limsup_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}|x|^n}=0<1，故收敛域为(-∞,+∞)。4.判断级数∑_{n=1}^∞(-1)^n\frac{n}{n+1}的敛散性。【参考答案】交错级数不满足a_n单调递减（\frac{n}{n+1}→1），故发散。5.求幂级数∑_{n=0}^∞\frac{(x-2)^n}{3^n}的收敛域。【参考答案】使用比值判别法：\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n→∞}\left|\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}\right|=\frac{1}{3}，故收敛半径R=3，收敛域为[2-3,2+3]=[-1,5]。6.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}的敛散性。【参考答案】p-级数，p=2>1，故级数收敛。7.求幂级数∑_{n=1}^∞n^2x^n的收敛域。【参考答案】使用比值判别法：\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n→∞}\left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=1，故收敛半径R=1，收敛域为(-1,1)。8.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^2\lnn}的敛散性。【参考答案】使用积分判别法：\int_2^∞\frac{1}{x^2\lnx}dx=-\frac{1}{x\lnx}\big|_2^∞=\frac{1}{2\ln2}，故级数收敛。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B【解析】2.∑_{n=1}^∞a_n收敛且a_n>0意味着a_n→0，但∑_{n=1}^∞(a_n+1)=∑_{n=1}^∞a_n+∑_{n=1}^∞1，后者发散，故A错误；a_n^2→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，故B正确；\frac{1}{a_n}→∞，级数发散，故C错误；a_n\sinn的绝对值不趋于0，级数发散，故D错误。3.∑_{n=1}^∞a_n收敛且a_n>0意味着a_n→0，且由比值判别法\lim_{n→∞}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim_{n→∞}a_n=0<1，故B正确；其他选项均不满足绝对收敛条件。4