全国统考数学二期中试卷｜2026考研（历年真题分类汇编）

全国统考数学二期中试卷｜2026考研（历年真题分类汇编）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\tob^-}f(x)=-\infty$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$内必有零点B.$f(x)$在$(a,b)$内至多有一个零点C.$f(x)$在$(a,b)$内必有且仅有一个零点D.$f(x)$在$(a,b)$内可能无零点2.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为（）A.$1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}$B.$1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}$C.$1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{3}$D.$1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}$3.设函数$f(x)=\sinx-\cosx$，则$f(x)$在$[0,2\pi]$内的最大值点为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{3\pi}{4}$D.$\pi$4.设函数$f(x)=\int_0^xt\sint\,dt$，则$f'(x)$等于（）A.$x\sinx$B.$x\cosx$C.$\sinx$D.$\cosx$5.设函数$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(x)$等于（）A.$2x\lnx$B.$2x\lnx+x$C.$2\lnx+x$D.$2\lnx+1$6.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为（）A.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$B.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}$C.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n!}$D.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n}$7.设函数$f(x)=\mathrm{e}^x$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为（）A.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$B.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$C.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}$8.设函数$f(x)=\ln(1+x)$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为（）A.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$B.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$C.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$D.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$9.设函数$f(x)=\sinx$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为（）A.$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$B.$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$C.$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$D.$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$10.设函数$f(x)=\cosx$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为（）A.$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$B.$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$C.$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$D.$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。）1.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$\lim\limits_{x\to0}f(x)$等于________。2.设函数$f(x)=\sinx-\cosx$，则$f(x)$在$[0,2\pi]$内的最大值等于________。3.设函数$f(x)=\int_0^xt\sint\,dt$，则$f'(x)$等于________。4.设函数$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(1)$等于________。5.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式中的$x^n$项系数等于________。6.设函数$f(x)=\mathrm{e}^x$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式中的$x^n$项系数等于________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）标准答案及解析一、单项选择题1.A解析：由连续函数介值定理可知，$f(x)$在$(a,b)$内必有零点。2.B解析：$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为$1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}$。3.C解析：$f(x)=\sinx-\cosx$，则$f'(x)=\cosx+\sinx$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{3\pi}{4}$，$f(x)$在$[0,2\pi]$内的最大值点为$\frac{3\pi}{4}$。4.A解析：$f(x)=\int_0^xt\sint\,dt$，则$f'(x)=x\sinx$。5.B解析：$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(x)=2x\lnx+x$。6.B解析：$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}$。7.A解析：$f(x)=\mathrm{e}^x$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$。8.A解析：$f(x)=\ln(1+x)$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$。9.A解析：$f(x)=\sinx$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$。10.A解析：$f(x)=\cosx$，则$f(x)$的麦克劳林展开式的前三项为$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$。二、填空题1.1解析：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{1+x}=1$。2.$\sqrt{2}$解析：$f(x)=\sinx-\cosx$，则$f'(x)=\cosx+\sinx$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{3\pi}{4}$，$f(x)$在$[0,2\pi]$内的最大值等于$\sqrt{2}$。3.$x\sinx$解析：$f(x)=\int_0^xt\sint\,dt$，则$f'(x)=x\sinx$。4.1解析：$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(x)=2x\lnx+x$，$f'(1)=1$。5.$(-1)^n\frac{1}{n!}$解析：$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$，$x^n$项系数为$(-1)^n\frac{1}{n!}$。6.$\frac{1}{n!}$解析：$f(x)=\mathrm{e}^x$，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，$x^n$项系数为$\frac{1}{n!}$。三、解答题1.解：$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f'(x)=\frac{x\cdot\frac{1}{1+x}-\ln(1+x)\cdot1}{x^2}=\frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$。2.解：$f(x)=\sinx-\cosx$，则$f'(x)=\cosx+\sinx$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{3\pi}{4}$，$f(x)$在$[0,2\pi]$内的最大值点为$\frac{3\pi}{4}$，最大值为$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$。3.解：$f(x)=\int_0^xt\sint\,dt$，则$f'(x)=x\sinx$，由积分上限函数的求导公式可知，$f'(x)=x\sinx$。4.解：$f(x)=x