专升本高等数学专项练习（无水印高清）

专升本高等数学专项练习（无水印高清）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且在该区间内除有限个点外可导，那么函数$f(x)$在区间$(a,b)$内（）A.必定存在最大值和最小值B.必定存在极值点C.必定存在原函数D.必定存在导数不存在的点2.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增3.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0)\neq0$，那么当$\Deltax\to0$时，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$的值是（）A.$f'(x_0)$B.$\frac{1}{f'(x_0)}$C.$2f'(x_0)$D.$0$4.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的拐点是（）A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(2,0)$D.$(1,1)$5.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且在该区间内除有限个点外可导，那么函数$f(x)$在区间$(a,b)$内（）A.必定存在最大值和最小值B.必定存在极值点C.必定存在原函数D.必定存在导数不存在的点6.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增7.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0)\neq0$，那么当$\Deltax\to0$时，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$的值是（）A.$f'(x_0)$B.$\frac{1}{f'(x_0)}$C.$2f'(x_0)$D.$0$8.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的拐点是（）A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(2,0)$D.$(1,1)$9.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增10.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0)\neq0$，那么当$\Deltax\to0$时，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$的值是（）A.$f'(x_0)$B.$\frac{1}{f'(x_0)}$C.$2f'(x_0)$D.$0$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中横线上。）1.函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的垂直渐近线是________。2.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极大值点是________。3.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的极小值点是________。4.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的拐点是________。5.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的渐近线是________。6.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的凹区间是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值。2.（10分）求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的单调区间和极值。3.（10分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的拐点。4.（10分）求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的渐近线。5.（10分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的凹区间和凸区间。6.（10分）求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的凹区间和凸区间。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：根据闭区间上连续函数的性质，函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。2.B解析：函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在区间$(0,+\infty)$上的单调性是单调递减。3.A解析：根据导数的定义，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f'(x_0)$。4.D解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的二阶导数为$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$。当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数凹；当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数凸。因此，函数的拐点是$(1,1)$。5.A解析：根据闭区间上连续函数的性质，函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。6.B解析：函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在区间$(0,+\infty)$上的单调性是单调递减。7.A解析：根据导数的定义，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f'(x_0)$。8.D解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的二阶导数为$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$。当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数凹；当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数凸。因此，函数的拐点是$(1,1)$。9.B解析：函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在区间$(0,+\infty)$上的单调性是单调递减。10.A解析：根据导数的定义，$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f'(x_0)$。二、填空题1.$x=1$2.$x=2$3.$x=e$4.$(1,1)$5.$y=0$6.$(-\infty,1)$三、解答题1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值。解：函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的导数为$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x<0$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>2$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。因此，函数在$x=0$处取得极大值$f(0)=2$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=0$。2.求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的单调区间和极值。解：函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在区间$(0,e)$上单调递增，在区间$(e,+\infty)$上单调递减。函数在$x=e$处取得极大值$f(e)=\frac{1}{e}$。3.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的拐点。解：函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的二阶导数为$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$。当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数凹；当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数凸。因此，函数的拐点是$(1,1)$。4.求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的渐近线。解：函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在区间$(0,e)$上单调递增，在区间$(e,+\infty)$上单调递减。函数在$x=e$处取得极大值$f(e)=\frac{1}{e}$。5.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的凹区间和凸区间。解：函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的二阶导数为$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$。当$x<1$时，$f''(x)<0$，函数凹；当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数凸。因此，函数的凹区间是$(-\infty,1)$，凸区间是$(1,+\infty)$。6.求函数$f(x)=\frac{\lnx}{x