第1课时　弧长和扇形面积

29.3弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积教师备课素材示例●情景导入制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及计算弧长的问题．提出问题后，指出解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．【教学与建议】教学：通过计算“展直长度”的导入，建立圆和扇形的模型．建议：探索扇形弧长时，可以让学生先理解圆心角是1°的弧长是多少．●类比导入(1)圆的周长公式和圆的面积公式分别是什么？(2)如图，某圆拱桥的半径是40m，桥拱eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角∠AOB＝90°，你会求桥拱eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度吗？(3)180°，90°，45°，n°的圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？圆心角为180°，90°，45°，n°的扇形面积分别是圆面积的几分之几？分析：如图①，圆心角是180°，占整个周角的__eq\f(180,360)__，因此180°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(180,360)__，圆心角是180°的扇形面积是圆面积的__eq\f(180,360)__；eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图④))如图②，圆心角是90°，占整个周角的__eq\f(90,360)__，因此90°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(90,360)__，圆心角是90°的扇形面积是圆面积的__eq\f(90,360)__；如图③，圆心角是45°，占整个周角的__eq\f(45,360)__，因此45°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(45,360)__，圆心角是45°的扇形面积是圆面积的__eq\f(45,360)__；如图④，圆心角是n°，占整个周角的__eq\f(n,360)__，因此n°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(n,360)__，圆心角是n°的扇形面积是圆面积的__eq\f(n,360)__.(4)在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长是__eq\f(nπR,180)__，面积是__eq\f(nπR2,360)__．【教学与建议】教学：通过对圆周长和面积公式的回顾，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：从n°的圆心角所对的弧长和扇形面积分别占圆周长和面积的比例引导学生推导弧长公式及扇形面积公式．●置疑导入如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？【教学与建议】教学：圆心角从0到n°计算弧长，得出弧长公式．建议：探索弧长公式时，先理解1°的圆心角所对的弧长是多少．命题角度1利用弧长公式进行计算灵活运用弧长公式解决问题．【例1】(1)已知扇形的半径为6，圆心角为90°，则它的弧长是__3π__．(2)已知扇形的弧长为3π，半径为eq\f(9,2)，则此扇形的圆心角为__120°__．命题角度2利用扇形的面积公式进行计算利用S＝eq\f(nπR2,360°)＝eq\f(1,2)lR灵活解决扇形有关计算．【例2】(1)一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，则此扇形的面积是__6π__cm2.(2)一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为__6__cm.命题角度3求图中阴影部分的面积求组合图形的面积就是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差．【例3】(1)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为(B)A．eq\f(1,2)πB．πC．eq\f(3,2)πD．2πeq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2.将△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为__2π－eq\r(3)__．高效课堂教学设计1．以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形的面积公式，并会用来计算弧长和扇形面积．2．能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积．▲重点经历探究弧长和扇形面积公式的过程．▲难点用公式解决实际问题．◆活动1新课导入中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展，扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱的工艺品．如图，扇子面的纸张面积如何计算，外围弧长又如何计算？◆活动2探究新知1．教材P134思考．提出问题：(1)你还记得圆周长的计算公式吗？写出来：__C＝2πR__．(2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？__答：360°__．(3)1°的圆心角所对的弧长是多少？__答：eq\f(2πR,360)__．n°的圆心角所对的弧长是多少？__答：eq\f(nπR,180)__．(4)由此不难得出：半径是R，所对圆心角是n°的弧的弧长是__eq\f(nπR,180)__．学生完成并交流展示．2．类比弧长公式的推导，如何推导扇形的面积公式？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是__eq\f(πR,180)__，n°的圆心角所对的弧长是__eq\f(nπR,180)__．2．在半径为R的圆中，圆心角为1°的扇形面积是__eq\f(πR2,360)__，圆心角为n°的扇形面积是__eq\f(nπR2,360)__．3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__eq\f(1,2)lR__．◆活动4例题与练习例1如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵)).已知半径OA＝60cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即AB的长)为多少？(结果保留π)解：设eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为lcm.∵R＝60cm，n°＝108°，∴l＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(108×π×60,180)＝36π(cm).答：管道的长度为36πcm.例2如图，两个同心圆被两条半径截得的eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度为5π，eq\o(CD,\s\up8(︵))的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积(ABDC的面积)．解：设圆心角为n°，则eq\o(CD,\s\up8(︵))的长l1＝eq\f(nπR1,180)，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长l2＝eq\f(nπR2,180).∴S阴影＝eq\f(nπReq\o\al(2,1),360)－eq\f(nπReq\o\al(2,2),360)＝eq\f(nπ,360)(Req\o\al(2,1)－Req\o\al(2,2))＝eq\f(nπ,360)(R1＋R2)(R1－R2)＝eq\f(1,2)(eq\f(nπR1,180)＋eq\f(nπR2,180))(R1－R2)＝eq\f(1,2)(l1＋l2)(R1－R2)＝eq\f(1,2)(7π＋5π)×4＝24π.答：阴影部分的面积为24π.练习1．教材P136练习第1，2，3题．2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为(C)A．πB．1C．2D．eq\f(2,3)π3．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是(A)A．6πB．5πC．4πD．3π◆活动5课堂小结1．弧长公式．2．扇形的面积公式．1．作业布置(1)教材P138习题29.3第2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE